分式运算的十种常用方法.doc

分式运算的十种常用方法1、拆项后合并例1（1999年第十一届“五羊杯”初中数学竞赛题）计算：=_。分析直接计算较繁，仔细观察各分母数发现各项可利用公式：=()达到裂项求和的目的。解原式=。评注根据分数的性质，将分数拆项为两数的和（或差），利用互为相反数的两个数之和为0这一性质简化计算。2、分解后约分例2（1996年北京市初中数学竞赛题）计算：分析仔细观察分子、分母中各因式，可发现这些因式可用代数式n(n+3)+2（其中n为自然数）表示，由于n(n+3)+2=n2+3n+2=(n+1)(n+2)，因此每个因式均可分解为二个连续自然数之积约分便可。解因为n(n+3)+2=n2+3n+2=(n+1)(n+2)，所以原式=998。评注有些计算题，运算关系比较复杂，可通过观察分式的分子，分母的特征，借助因式分解的技巧将分子，分母分解后，利用约分简化计算。3、分组后通分例3（1995年天津市初二数学竞赛题）化简：+-分析观察各分母分解后易知，第一、二项，第三、四项分别组合通分较容易。解原式=+-=-=0。评注以容易通分为原则，把原分式分为若干组，然后分组运算再合并。4、逐项合并通分例4（1999年全国初中数学联赛题）计算：+的值。分析若一次性完成通分，运算量很大，注意到分母(1-)与(1+)和(1-)与(1+)可用平方差公式逐项通分可以化简。解原式=+=-2评注各分母之间若存在某种递进关系，一次通分难于完成时，可逐项通分。5、换元后通分例5（1997年北京市第十二届“迎春杯”数学竞赛题）计算：(1-)(+)-(1-)(+)分析在算式中，四个因数并不是相互独立的，都有，若用x=+，算式便得到简化。解设x=+，则原式=(1-a)(a+)-(1-a-)a=(1-a)a+(1-a)-(1-a)a+=-+=。评注有时计算题中的数字较大或乘方次数较高，直接计算难度很大，若能抓住数学特征，用字母去代替数字，可使数字计算转化为代数式的化简。6、巧用比例性质例6（1990年匈牙利数学竞赛题）若=，记A=+证明A是一个整数。分析观察已知条件，针对题中分式的特点，可联想到使用比例的等比性质作为突破口，可达到目的。证明若x+y+z0，由等比性质得=。则解得：x=y=z=t，故A=A整数。若x+y+t+z=0，则A=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4，也是整数。评注：运用等比性质解题，一定要注意各分母相加后不能为零。7、巧取例数关系例7（1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛题）已知：a,b,c为实数，且=，=，=，那么的值是_。分析注意到因为已知条件联立等式得到的方程组是一个复杂的三元二次方程组，求解不容易，考虑取倒数，将方程组进行简化。解由已知条件得：=3，=4，所以2(+)=12。即+=6。所以=+=6。所以=。评注对于一些非零代数式，不进行直接求解，而对等式实施取其倒数式“，常能提示其一些内在的特征，可达到快速解题的目的。8、引入参数例8（2001年第十二届“希望杯“全国数学邀请赛题）若，求的值。分析由于已知条件以连比形式出现可引入一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。解令=k，则有a=kb，b=kc，c=kd，d=ka。所以a=kb=k2c=k3b=k4a，所以k4=1，即k=1，当k=1时，有a=b=c=d，所以，所以=0，当k=-1时，有a=-b=c=-d，所以=-2。评注若把a= kb，b=kc，c=kd，d=ka四式左右相加，得k=1或a+b+c+d=0试问问题能否得出同样的解？请读者思考。9、整体代换后求值例9（1993年河北省初中数学竞赛题）已知：x-=4，则x+=_。分析如果先求出x-=4的根直接代入计算过程较繁。但若把代数式变形，运用整体代入，则不仅化难为易，且妙趣横生。解：因为x-=4，所以(x+)2=(x-)2+4=42+4=20，所以x+=2。评注有些题按常规方法求解，往往带有繁杂的运算，如能根据题目的特点，巧用“整体代入法”，常收到事半功倍之效。10、和积代入例10（2001年TI杯全国初中数学竞赛题）已知：x=，y=，那么=_。分析因为待求式可变为用x+y与xy表示的代数式，故通过变换已知条件先求出x+y与xy的值，再进行通分代入计算便可。解因为x