（计算机应用技术专业论文）隐式曲面上图像分割的变分水平集方法.pdf

摘要 图像分割是计算机视觉的一个重要研究课题，图像分割就是把图像分割成 具有相同强度、纹理、运动、颜色的子区域。平面图像分割已经取得了丰富的 成果，但在许多情况下，曲面上的图像比平面图像更能准确地反映相关区域的 感兴趣的信息，诸如大脑皮层不同区域的面积、周长、三维地形曲面上山川、 植被的分布等。由于曲面上的图像和曲面的几何特征耦合在一起，平面上图像 分割的数学模型不能直接应用于曲面上的图像分割，因而曲面上图像分割模型 的研究具有重要的意义。本文对基于变分水平集方法的隐式曲面上的图像分割 问题进行了深入的研究，主要包括以下几个方面：第一，系统地研究了隐式曲 面上图像的定义，空间曲线的表达，为隐式曲面上的图像分割的研究提供了理 论基础。第二，在平面分段常值图像分割的基础上提出隐式曲面上分段常值图 像分割的c h a n v e s e 模型，并在c h a n - v e s e 提出的区域竞争策略的基础上，对于 分段常值图像，根据不同的图像区域分布建立了不同的多相图像分割模型，分 别用于分割噪声符合g a u s s 分布和r a y l e i g h 分布的图像。第三，在平面分段光 滑图像分割的基础上提出隐式曲面上分段光滑图像分割的c h a n v e s e 模型和分 段光滑的多相图像分割模型。第四，编程实现了基于变分水平集方法的隐式曲 面上的图像分割，包括分段常值的图像分割和分段光滑的图像分割，并将其应 用于人工图像和真实的医学图像中。大量的实验结果表明，本文提出的图像分 割模型充分利用图像噪声的概率分布规律以及区域划分策略，达到了图像分割 的预期效果，并且在图像分割的同时能够完全保持曲面固有的几何特征。最后， 针对实验中出现的问题与存在的缺陷，提出了该工作下一步的研究方向。 关键词：隐式曲面；图像分割；c h a n v e s e 模型；多相 a b s t r a c t i m a g es e g m e n t a t i o ni sa ni m p o r t a n tr e s e a r c ha s p e c ti nc o m p u t e rv i s i o n t h e g o a lo fi ti st od i v i d ea ni m a g ei n t od i f f e r e n tr e g i o n so rd e t e c to b j e c t si na ni m a g e b a s e do ni n t e n s i t y ，t e x t u r e ，c o l o r ，o p t i cf l o wa n ds oo n m a n yr e s e a r c h e sh a v eg o t p r o m i s i n gr e s u l t s i n2 di m a g es e g m e n t a t i o n h o w e v e r ，s o m e t i m e si m a g e so n s u r f a c e sc a nr e f l e c ti n f o r m a t i o no fi n t e r e s tm o r ec o r r e c t l yt h a n2 di m a g e s ，s u c h a st h ec e r e b r a lc o r t e x ，t h em o u n t a i n s ，a n dv e g e t a t i o n so ft h et e r r a i n ，e t c s i n c e i m a g e so nas u r f a c ea r ec o m b i n e dw i t ht h eg e o m e t r i c a lf e a t u r e so ft h es u r f a c e ，t h e m o d e l sf o r2 di m a g es e g m e n t a t i o nc a n n o tb ea p p l i e dt ot h ei m a g es e g m e n t a t i o n o ns u r f a c ed i r e c t l y t h u st h er e s e a r c ho fi m a g es e g m e n t a t i o no ns u r f a c eh a sg r e a t i m p o r t a n c e i nt h i sp a p e r ，s o m er e s e a r c h e sh a v e b e e nd o n ea b o u tt h ei m a g e s e g m e n t a t i o no nt h ei m p l i c i ts u r f a c e s e v e r a la s p e c t sa r ei n t r o d u c e di nt h i sp a p e r ： f i r s t l y ，t h ed e f i n i t i o no fi m a g eo ni m p l i c i ts u r f a c ea n dt h er e p r e s e n t a t i o no ft h e3 d c u r v e sa r es y s t e m a t i c a l l ye x p l a i n e da st h ef o u n d a t i o no ft h er e s e a r c ho fi m a g e s e g m e n t a t i o no ni m p l i c i ts u r f a c e s e c o n d l y ，t h ec h a n - v e s em o d e lf o rp i e c e w i s e c o n s t a n ti m a g es eg m e n t a t i o no ni m p l i c i ts u r f a c ei s p r e s e n t e db a s e do nt h e c h a n - v e s em o d e lf o r2 di m a g es e g m e n t a t i o n f o rt h ep i e c e w i s e c o n s t a n ti m a g e s ， d i f f e r e n tm u l t i p h a s ei m a g es e g m e n t a t i o nm o d e l sa r ed e f i n e db a s e do nt h er e g i o n c o m p e t i t i o ns t r a t e g yp r o p o s e db yc h a na n dv e s ea n du s e di ns e g m e n t a t i o no f i m a g e s t h a tf o l l o wd i f f e r e n t p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n s ，f o ri n s t a n c e ，g a u s s p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o na n dr a y l e i g hp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n t h i r d l y ，t h em o d e l i se x t e n d e dt ot h ep i e c e w i s e s m o o t hi m a g e s c h a n v e s em o d e la n dm u l t i p h a s e i m a g es e g m e n t a t i o nm o d e l sf o rs e g m e n t i n gp i e c e w i s e s m o o t hi m a g e so ni m p l i c i t s u r f a c ea r ed e d u c e d f o u r t h l y ，a l lt h em o d e l sm e n t i o n e da b o v ea r ei m p l e m e n t e d ， i n c l u d i n gp i e c e w i s e - c o n s t a n ti m a g es e g m e n t a t i o na n dp i e c e w i s e - s m o o t hi m a g e s e g m e n t a t i o no ni m p l i c i ts u r f a c e e x p e r i m e n t sd e n o t et h a ts a t i s f a c t o r yr e s u l t s u s i n gc o r r e s p o n d i n gi m a g es e g m e n t a t i o nm o d e l sc a nb eg o ta n dt h ei n t r i n s i c f e a t u r e so ft h es u r f a c ec a nb ef u l l yp r e s e r v e d f i n a l l y ，f u t u r er e s e a r c hd i r e c t i o n s a r ep u tf o r w a r da c c o r d i n gt ot h ep r o b l e m sa n dl i m i t a t i o n se m e r g e dd u r i n gt h e r e s e a r c hw o r k k e yw o r d s ：i m p l i c i ts u r f a c e ；i m a g es e g m e n t a t i o n ；c h a n - v e s em o d e l ； m u l t i p h a s e 学位论文独创性声明与知识产权权属声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均己做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名：巷建因 日期：弘矽年月夕日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密瓯 ( 请在以上方框内打“4 ) 论文作者签名本建因 日期：。哆年月夕日 导师签名： l 饥 i ( 本声明的版权归青岛大学所有， 日期：呻年多月少日 未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用) 5 5 第一章绪论 1 1 课题背景及其意义 第一章绪论 图像分割是图像处理中的一种非常重要的技术。图像分割是将图像中包含 有意义的特征的部分提取出来，其有意义的特征包括图像中的边缘、区域、噪 声分布、纹理分布，运动等，图像分割是图像识别、分析和理解的基础。 图像分割作为一种重要的图像处理技术得到了广泛的研究和应用，它是计 算机图像识别与理解领域的一个非常活跃的分支，是图像处理、图像分析和计 算机视觉等领域最重要的研究内容，也是计算机图像理解方法实现的基础。当 得到一幅图像，人们感兴趣的是图像中有几个区域，每个区域是怎样构成的， 例如一幅卫星图像，人们想确定不同类型星体的数目，并能够确定他们的位置， 或者一幅医学核磁共振图像，医生想知道有多少组织结构有病变，并需要确定 病变的位置，图像分割就是用来解决以上这类问题的。图像分割就是指把图像 分成符合不同分布的区域提取出感兴趣目标的过程。一方面，它是目标表达 的基础，对特征的测量有重要影响；另一方面，图像分割及其基于分割的目标 表达、特征提取和参数测量可以将原始图像信息转化为更抽象、更紧凑的形式， 使得更高层次的图像分析和理解成为可能。因此，图像分割是图像分析和图像 识别前期处理的一个重要步骤。图像分割在不同领域中名称也不尽相同，目标 检测等技术的核心实质上就是图像分割技术。 图像分割按照相数分为两相图像分割和多相图像分割，按照图像区域性质 差别分为分段常值图像和分段光滑图像，按照维数分为二维的图像分割和三维 图像分割，按照图像的载体可分为平面图像分割和曲面图像分割。在这里，“相 可以看作是灰度相同的区域，符合相同分布模型的区域，或符合某种纹理特征 或光流特征的区域。 在平面图像分割方面已经取得了丰富的成果，但在许多情况下，曲面上的 图像比平面更能准确地反映相关区域的感兴趣的信息，诸如大脑皮层不同区域 的面积、周长、三维地形曲面上山川、植被的分布等。由于曲面上的图像和曲 面的几何特征耦合在一起，平面上图像分割的数学模型不能直接应用于曲面上 的图像分割，曲面上图像分割模型的研究具有重要的意义。， 三维重建瞳3 是计算机视觉口】【们领域最热门的研究方向之一，它是研究如何 通过物体的二维信息获取物体在空间中的三维信息，其研究方法主要有三种： 青岛大学硕士学位论文 断层图像重建隋1 、点云重建哺3 和多视角图像重建 1 ，这些方法都得到了广泛的 应用。三维重建不仅要给出目标物体的几何信息，通常也要给出物体表面的颜 色信息与纹理特征。与平面图像的问题一样，这里的图像数据同样存在噪音问 题，模糊问题，损坏问题，以及很多应用中涉及的图像分割问题等等。因此在 处理目标物体的几何信息的同时，通常伴随着其表面上的图像信息的处理。本 文将主要介绍三维重建后对目标物体表面的图像分割问题。 1 2 研究现状 近2 0 年来，变分方法阳1 、水平集方法p 3 在平面上图像处理的理论和应用 研究中取得了巨大的成功，基于变分水平集方法的平面图像分割的研究已经取 得了丰富的成果。 m u m f o r d - s h a h 模型们是图像分割中经典的模型之一，它是由d m u m f o r d 和j s h a h 于1 9 8 9 年提出的。该模型的能量函数综合考虑图像的区域、边界信 息，不需要图像区域和边界的先验知识，完全基于图像数据的驱动完成。通过 优化该模型的能量函数，可以获得噪声图像的区域、边界及平滑化的图像。 主动轮廓模型1 分为参数主动轮廓模型( p a r a m e t r i ca c m ) 和几何主动轮 廓模型( g e o m e t r i ca c m ) 。参数主动轮廓模型以弧长等参数来表达轮廓模型， 具有良好的交互性和直观的物理意义。对该类模型的改进主要包括模型参数 化、不同形式的外力设计、该模型对变拓扑结构的适应性等工作。但随着模型 的演化，所使用的参数必须不断进行重新参数化，不但严重影响计算效率和稳 定性，并且从根本上难以处理变拓扑结构的问题。而几何主动轮廓模型始于 c a s e l l e s ，s e t h i a n 等的研究，以水平集方法为基础。 水平集方法( 1 e v e ls e tm e t h o d ) 最早由o s h e r 和s e t h i a nn 幻n 3 1 提出，用 于解决遵循热力学方程下火苗外形的变化过程，由于火苗外形的拓扑结构变 化的复杂性和随意性，用参数化的曲线或曲面无法描述火苗外形的变化过程 所以，o s h e r 和s e t h i a n 提出水平集方法，以一种隐含的方式来表达平面闭合 曲线或立体闭合曲面，有效地解决了在拓扑结构变化时参数化所带来的麻烦。 传统的单水平集函数可以描述两相图像，而多相图像通常要由多个水平集 函数来描述。多相图像分割始于1 9 9 6 年z h a o n 4 1 等关于多相运动的研究，该方 法用玎个水平集函数划分万个区域，为避免水平集函数划分区域的重叠和漏分 现象，还要附加相应约束条件，同时，为保持水平集函数在数值计算过程中的 2 第一章绪论 符号距离函数特性，需要不断的对水平集函数进行重新初始化，计算量大。有 一部分人使用z h a o 提出的多水平集函数方案，但s a m s o n n 副使用分段图像分类， p a r a g i o s n 剐使用基于测地线活动区域模型，b r o x n 7 1 使用基于最小化b a y e s 误 差。 v e s e - c h a n n 8 1 对他们先前提出的梯度无关活动轮廓模型进行了推广，提出 用咒个水平集函数划分2 “个区域的区域竞争策略。a n g e l i n i n 们将v e s e - c h a n 方 法应用在分段常值图像分割上。l i e 心叫设计了一个基于简化m s 模型的分段常 值水平集函数图像分割和二进制水平集模型，而为了避免重叠和漏分现象，这 两种方法都需要设定约束条件。而c h u n g ，v e s e 口采用连续的水平集函数，其 不同的水平线对应着图像分割的轮廓线。 2 0 0 1 年，b e r t a l m i o ，c h e n g ，o s h e ra n ds a p i r o 心2 1 用零水平集表达隐式 曲面，建立了曲面上图像噪声去除的均匀扩散模型和t v 模型心3 | ，拓展出隐式 曲面上图像处理研究的新方向。 c h e n g 乜引对基于水平集方法的空间曲线的表示、曲面上曲线的运动等做了 奠基性的研究，空间曲线用两个零水平集表示的空间曲面相交来表示。j i n 乜引 采用c h e n g 凹盯的空间曲面表达，实现了在基于多视角图像的三维重建的同时， 对曲面上的图像进行两相图像分割。针对隐式曲面上的图像扩散与修复相关问 题，吴春林乜副和b e r t a l m i o 强7 3 对隐式曲面上的图像去噪、图像修复、图像增强 等变分模型做了研究。 1 3 论文的主要工作与章节安排 针对隐式曲面上图像分割的特点和实际工作的需要，本文在平面图像分割 和空问曲线运动的理论基础上提出了隐式曲面上图像分割的c h a n v e s e 模型， 并根据v e s e - c h a n 提出的区域竞争方法建立了隐式曲面上的多相图像分割模 型，对与之相关的各种问题进行了研究和讨论。 本文主要研究以下几个方面：介绍了隐式曲面上的图像和内蕴梯度算子的 定义；介绍了空间曲线的表达和空间曲线的运动等相关理论；在平面图像分割 的原理和区域竞争策略的基础上，结合c h e n g 心们对基于水平集方法的空间曲线 的表示、曲面上曲线的运动的研究，提出隐式曲面上的图像分割模型，对噪声 符合不同概率分布模型的多相图像分割作了研究，并由分段常值图像延伸到分 段光滑图像的分割上，最后通过实验证明了该图像分割模型的有效性。 3 青岛大学硕十学位论文 本文的章节安排如下： 第一章概述了本课题的研究背景及其意义、图像分割技术的研究现状，并 介绍本论文的主要研究内容和创新之处。 第二章首先对水平集方法做了简单介绍，然后主要介绍了隐式曲面上图像 的定义，内蕴梯度算子的定义以及隐式曲面上空间眭线的表达和运动，为后面 提出隐式曲面的图像分割模型做铺垫。 第三章首先对二维图像分割做了简单概述，然后提出了隐式曲面上图像分 割的c h a n g e s e 模型和多相图像分割模型，介绍了多相图像分割的区域竞争策 略和基于区域的参数估计模型，对噪声符合不同概率分布模型的多相图像分割 作了研究。 第四章首先介绍了平面分段光滑图像分割的原理，然后将平面分段光滑图 像分割拓展到隐式曲面上的分段光滑图像分割，并编程实现结果验证。 第五章总结了本论文的主要工作，并展望了下一步研究重点以及隐式曲面 上图像分割算法的发展趋势。 4 第二章隐式曲面上图像处理和变分水平集方法概述 第二章隐式曲面上图像处理和水平集方法概述 平面图像分割中的经典方法推广到曲面上的图像分割时存在困难，而基于 变分水平集方法的方法可很方便的做到这一点。在利用变分水平集方法研究隐 式曲面上图像分割问题之前，需要给出隐式曲面上的内蕴梯度算子的定义和空 间曲线的演化方程。 2 1 水平集方法 水平集方法( l e v e ls e tm e t h o d ) 最早由o s h e r 和s e t h i a nn 2 h 川提出，用于 解决遵循热力学方程下火苗外形的变化过程，由于火苗外形的拓扑结构变化的 复杂性和随意性，用参数化的曲线或曲面无法描述火苗外形的变化过程，而水 平集方法以一种隐含的方式来表达平面闭合曲线或立体闭合曲面，有效的解决 了在拓扑结构变化时参数化所带来的麻烦。水平集方法的思想中最重要的是 h a m il t o n - j a c o b i 方程，它的作用是解决运动的隐式曲面基于时间的方程的数 值求解的问题。该方法的基本原理心胡是，将运动界面作为零水平集嵌入到高一 维的水平集函数中，通过高维的函数来表达低维的曲线或曲面的演化过程。既 将演化的曲线或曲面表达为高一维空间当中的函数，只要确定零水平集的位 置，即可确定运动界面演化的结果。目前，水平集方法已经成为研究闭合界面 演化的一种强有力的分析工具。 平面闭合曲线被水平集方法隐含地表达为三维连续函数曲面妒( 毛y ) 的一 个具有相同函数值的同值曲线，通常 妒( x ，y ) 一0 称为零水平集，而( x ，) ，) 则称 为水平集函数。 曲线演化问题在数学研究领域中可以描述为：在二维欧氏空间尺2 中的一 条闭合曲线c 沿着其法线方向以速度y 运动，结果形成以时间为变量的曲线 族c q ) 。描述曲线几何特征的重要参数是曲线的单位法矢和曲率。所谓曲线的 演化实质上描述的是曲线参数的变化，在具体求解中以偏微分方程乜耵的形式来 表达，其表达方式包括显式和隐式两种表达方式叫。 假设c ： o ，1 - 尺2 ，p _ c ( p ) 1 是一条参数化的闭合初始曲线， 5 青岛大学硕士学位论文 c ( p ，f ) 一 x ( p ，f ) ，y ( e ，f ) 是f 时刻初始曲线向单位法矢方向的演化曲线，那么 c ( p ，t ) 满足下列方程： f c f v ( k ) n ， 1 c ( p ，o ) 一c o ( p ) 2 一( 1 ) 其中，v ( k ) 是速度函数，决定演化曲线上每点的演化速度。曲线演化如图2 1 所示。图2 1 中箭头方向表示为曲线的单位法矢，曲线的演化就是沿着单位法 矢的方向。 图2 1 曲线演化示意图 为了根据方程2 一( 1 ) 来表示曲线方程，可以考虑拉格朗日方法产生曲线上 各点相联系的运动方程，由差分方案来更新这些位置。这种方法主要的缺点是 不能有效地处理曲线运动所可能产生的拓扑结构变化，而水平集方法能很好地 解决这个问题。 设连续函数( x ，y ，f ) ：尺2x r 一呻尺是闭合演化曲线c ( p ，t ) ：osp s 1 在t 时刻 的隐含表达，即t 时刻，c ( p ，f ) 对应于( x ，y ，t ) 的零水平集： 陇尝嬲嬲爿 2 吨， l c ( p ，f ) = ( 石，) ，) l ( z ，y ，f ) 一o 使水平集函数妒( x ，y ，f ) 在演化过程中，妒的零水平集的平面闭合曲线： 6 第二章隐式曲面上图像处理和变分水平集方法概述 c ( f ) ，1 = o 始终满足曲线演化的偏微分方程堕y ( 七) 万，对2 一( 3 ) 求全微分得： a f 、7 v 妒詈+ 警一o 2 一( 3 ) 2 一( 4 ) 式中，v 妒是的梯度。 设s 是闭合曲线c 的弧长参数，根据水平集函数的定义沿着曲线c 的切 线方向变化为零：即唬- o - , x , + 方虬- ( v ，e ) ，那么，v 驴就垂直于闭合曲线 c 的切线c ，因此，v 驴和e 的法线同向。 定义妒为如下形式： f 0 ， l 妒 - 0 i 0 ，如 0 为参数，前两项使曲线c 保持一定的正则性，后 两项使曲线c 逐渐靠近物体的边缘。 为用水平集函数妒的零水平集表达c ，引入如下h e a v i s i d e 函数及其导函 数d i r a c 函数： 3 一( 2 ) 0 0 、， 口 口 2- l o riil，il i 、- ， 口 ，j、 日 第三章隐式曲面上分段常值的图像分割 6 ( 口) ；1 d h _ ( a ) 3 一( 3 ) 为提高数值性态，在计算过程中通常使用如下规整化的h e a v is i d e 函数和 d i r a c 函数 q 。( z ) 一 矿z 暑 f 0 矿fi i 二三哦f g 。t 砉 1 + c o s ( 警) 】 h 墨f rl 。j h 占 3 一( 4 ) l z i s i 删2 扣吾n ( 魏屯”南 3 娟， 其中f 为小常数。h 1 ，h 2 ，6 ，。，6 2 。如图3 1 所示。 图3 1 规整化的h e a v i s i d e 函数与d i r a c 函数 由此可计算轮廓线包围的区域的面积和轮廓线的长度： a r e a ( 妒苫o ) 一正h ( ( 工，y ) ) d x d y 3 一( 6 ) l e n g t h ( o = o ) = 正l v 日( 妒( x ，y ) ) l 血a y 一正6 ( ( 训) ) l v 妒( x ，y ) i 血d y 3 一( 7 ) 利用变分原理，由泛函3 一( 1 ) 得至u c h a n - v e s e 模型的梯度降方程： 1 3 、l l _ - 、 竺 ，-_ii n s 1 0 1 一万 + z 一占 + 。r【 1 2 青岛大学硬士学位论文 警吲巾t v 静砷胁m f 啡阱划2 1 。砌 平面分段常值图像分割的c h a n v e s e 模型实验结果如图32 所示 ( a ) 腰始图像( b ) 水平集初始化( c ) 分割后的图像 图3 2 平面图像分割的c h a n v e s e 模型分割过程 31 2 平面分段常值多相图像分割 用= 协，如，晦 表示水平集函数的集合，z - 五，恐，而+ 。1 表示 特征函数的集合，8 = 慨，0 2 吃) 表示要估计的参数集合，b = q ，b ：一以) 表示 第i 个区域的参数集合，g - q 扣( x ) ，b ) 表示第i 个区域的图像模型，平面图像 多相分割变分水平集方法的能量泛函如下所示，该模型由区域模型、面积最小 约束项、基于边缘的模型和使水平集函数保持为符号距离函数的约束项四部分 构成。 s ( 哪，p ) = 薹n 。l q 石凹+ 薯辟p 删+ 雾n s “) i v x , i d x + 等薯丘( 1 v t 2 叫 3 一( 9 ) 由变分方法，可得到能量泛函取极小值的水平集函数的演化方程 第三章隐式曲面上分段常值的图像分割 挚叫扣( g 尚灿，一萋僦加，一秘加) + 卜口c 剐 伽加 尚等 旃( o 石) = 谚。( x ) 枷一南，碧l 。伽a 口 nq 3 一( 1 0 ) 当图像的区域模型为参数模型时，水平集函数的演化和区域模型的参数估 计构成一个交替迭代的过程。 当图像噪声符合g a u s s 分布时， 霉t 志e 一等 3 一( 1 1 ) i 2 ll l n 压+ l n q + 可( u - - u i ) 2 全l n q + 可u - - u i ) 3 一( 1 2 ) ”牮坐，彳；世堂 3 - ( 1 3 ) i l q x 赵ll q x 雕 当图像噪声符合r a y l e i g h 分布时， 只一- 兰- t e 一2 砰 q q i 一2 i n q 山“+ 耳u 2 t | f 2 0 l i d 2 z i 西d x 平面图像多相图像分割过程如图3 3 所示。 1 5 3 一( 1 4 ) 3 一( 1 5 ) 3 一( 1 6 ) 青岛大学硕士学位论文 ( a ) 原始图像( b ) 水平集韧始化( c ) 分割后的圈像 图3 3 平面图像多相图像分割过程 3 2 隐式曲面上分段常值图像分割的c h a n v e s e 模型 c h a n v e s e 模型的能量泛函包括用零水平集划分的区域模型能量项和最 小轮廓线模型能量项。对于曲面上的两相图像分割，需用空间轮廓线将曲面分 成两个不同的区域，当空间曲面用一个水平集函数的零等值面表达时空问轮 廓线可定义为该隐式曲面与另一个动态水平集函数的零等值面的交线。 32 ，曲线演化方程 假设隐式曲面s 用水平集函数妒的零水平集表示，m 。是曲面s 上的图像强 度，曲面上的图像分为两个区域，每个区域中各点的图像强度是相同的。庐是 一个四维的水平集函数，用a 0 表示一个闭合曲面，它和妒- 0 表示的闭合曲 面s 相交产生一条空间闭合曲线，用这条初始轮廓线做曲面图像分割的分割 线，。和u 2 是依赖于初始轮廓线的常数用u i 和h ：分别表示分割线内部和外部 的平均图像强度。通过演化水平集函数庐使这条曲线在曲面上运动并最终找到 曲面图像的两个区域的边缘。 本章设计的隐式曲面上图像分割的能量泛函( ) 包括零水平集表达的轮 廓线长度日如) 、区域模型e ( ) 和演化水平集保持为符号距离函数的惩罚项 毛( 庐) 。即， 第三章隐式曲面上分段常值的图像分割 其中， e ( ) = 置( 驴) + 易( 驴) + 易( ) 臣( 驴) = 咀阮v 驴l f v 妒1 6 ( 妒) 6 ( 妒) 3 一( 1 7 ) 3 一( 1 8 ) 易( 驴) 一口以( “。一蚝) 2 l v 妒1 6 咖) h ( 驴) 出+ 口：正( u o - - u 2 ) 2 i v 妒p ) ( 1 一日( 妒) ) 凹 毛( ) 一瓠( v 妒l - 1 ) 2v v6 ( v ) d x y o ，q 0 口： 0 ，p 0 为参数，足廿v 为内蕴梯度 6 ，其展开式为： 利用变分原理， 同理， 由3 一( 1 7 ) 可得： 飞峰 3 一( 1 9 ) 3 一( 2 0 ) 3 一( 2 1 ) 善一。辛正( 吨) 酬6 ( 缈) h ( ) 嘏t 。 3 _ ( 2 2 ) l i v 妒1 6 ( 妒) h ( 妒) 凹 正i v 妒1 6 ( 妒) ( 1 一日( 妒) ) 凹 1 7 3 一( 2 3 ) 3 一( 2 4 ) 青岛大学硕士学位论文 其中， 型坐到。堕坠型i + 丝盟型i + 堡地到 o e i 。oa l # - o a i # - 0 a l 3 一( 2 5 ) 珊妒( 锗p 椰嘎口黼脚咖叩出 3 一( 2 6 ) 掣l o 最l 掣剖。曲 a 占i t 6 ( 妒) 6 ( 驴) ( q ( 1 - - u o ) 2l v 外哆u - - u 0 ) 2l v 妒1 ) 3 一( 2 7 ) 一吐刚l 。1 ) 蹦l 一啦切出3 吨8 ， 叱业铲w 砀出 一 式3 一( 2 6 ) 的推导过程如下所示： 其中， 汹i y i 口 l v 妒1 6 缈) 6 ( 驴) d x 一咀背i v 卯肌咀塑瞄产v 刁赵 一咿( 业铲卜吐口错附帅c 舭 一7 正o v ( 锗p c 舭一咀锴叫州叩凹 黼m 3 一( 2 9 ) 第三章隐式曲面上分段常值的图像分割 即 v ( 6 劬) 6 ( 驴) ) = v 妒6 缈) 6 ( 妒) + v 加 ) 6 ( 驴) 臀l v 妒1 6 缈) 6 ( 矽) 2 。 箫m 一型学 3 一( 3 0 ) 3 一( 3 1 ) 一i 弓妒v 妒l i v 妒1 6 ) 6 ( ) 3 一( 3 2 ) 一l 弓妒v 妒- v 妒1 6 缈) 6 静) = o 二! 专兰害三冬铲，v ( 6 劬，6 c 妒，) 叼d x 一。 3 一c 3 3 ， 式3 一( 2 6 ) 得证。式3 一( 2 7 ) 和式3 一( 2 8 ) 不再一一证明。 由3 一( 2 6 ) 、3 一( 2 7 ) 、3 一( 2 8 ) 可得3 一( 1 7 ) 的梯度最速下降方程如下： 生o t 巾( 蹦脚i 卜”2 | v 小引”2 l v 妒i 棚h 叫- 1 ) 蹦l 驴( o ) 一办 i n ( o , o o ) xf l b妒v驴亓+型生主兰群岛妒v驴万一。n a q 3 2 2 显式差分迭代格式 i nqua q 3 一( 3 4 ) 设h 为空间步长，址为时间步长，对b 妒v 妒沿z 方向向前差分如3 一( 3 5 ) 式 所示。对与妒v 矿沿x 方向向后差分、中心差分以及沿y 、z 方向的差分不再一 1 9 一列出。 ：( 弓奶。v 谚泓) = 毕 ( ( 毕) 2 + ( 毕 令 4 - ：岛v 以，i 心- 弓奶j d 。v 矿i ，j 嘶 4 _ ：岛j v 九卜l j 4 0t ；弓蜥肌。v 妒”j ，乒1 4 3 。；弓妒。v “，j 七 3 一( 3 4 ) 可离散为 其中 ) 2 + ( 妒f ，j , k + 1 一妒f ，j , k 一1 4 l ：b 妒