（概率论与数理统计专业论文）线性模型参数m估计的相合性.pdf

中国科学技术大学硕士学位论文摘要 摘要 理论研究和实践经验表明，线性回归分析中最常用的方法最小二乘法( l s e ) ，在 一些情况下表现不理想。近几十年来，统计学家提出了许多替代方法供选择使用。m 方法， 就是其中之一，并且可以说是最受重视、研究成果最多的一种。l j u b e r ( 1 9 6 4 ) 考察了位置参 数的m 估计问题，于1 9 7 3 年用于一般的多元线l 生模型，自那以后，这个领域受到统计学家相 当的重视，获得了一大批研究成果。 对于线性回归模型参数m 估计的强相合问题，虽然取得了一系列丰富的成果，但到目前 为止，仍然没有达到二阶矩的要求，我们的主要目标是降低矩的要求，向二阶矩方向努力。 另一方面，我们也获得了关于强收敛性问题比较深刻的结果。 我们只限于考虑线性回归模型且随机误差独立的情况，即弘= z ，卢o + e 。i = 1 ，2 ，7 2 ， 其中：却，札，x 。为己知的p 维向量，e be 2 , ，en 为随机误差，卢。为未知的p 维回归参数向 量。这个情况在统计上是最有用的。针对上述线性模型，我们只考虑p 为定义于r 1 的凸函数， 这种情况的相对简单的架构，有利于得到m 估计系统深刻的结果。 我们的目标是在此情况下寻找回归参数m 估计的强相合一肚和强收敛性的较弱的充分条 件，弄清楚该问题，就可以以此为基础树立一个标杆，作为更复杂的模型下努力的目标。这 对m 方法的理论研究和实际应用具有重要的指导意义。 陈希孺、赵林城( 线性模型的m 方法，1 9 9 6 ) 对前人及其台作者的工作成果进行了比较全 面的总结，其中提出了许多比较深刻的问题，而相合性和收敛性问题是其中最基本的问题， 也是最受重视的一个问题。这些给我们提供了丰富的资料、思想和方法，为我们的研究工作 提供了方便，使我们能够深入地进行研究。 全文共分三章，第1 章是引言和背景，主要介绍关于线性模型m 估计的研究进展，第2 章介绍我们的主要结果，第3 章介绍有关结果的证明。与线性模型的m 方法中相应的结 论比较，我们在更一般性的条件下获得了良好的结果，而且我们给出的条件对矩的要求有较 大的改进。 关键词：线性模型，m 估计，强相合，强收敛 第1 页 中国科学技术大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t r e s e a r c ha n dp r a c t i c eh a v es h o w nt h a t ，at y p i c a lw a yi nl i n e a rr e g r e s s i o nm o d e l s - l e a s ts q u a r e s e s t i m a t e ( l s e ) ，m i g h tb ev e r yb a di ns o m ec o n d i t i o n s f o rr e c e n th a l fc e n t u r y , s t a t i s t i c sh a v ef o u n dm a n y m e t h o d st or e s o l v ei t i n1 9 6 4 ，h u b e rf i r s tf o u n dm - e s t i m a t e so fal o c a t i o np a r a m e t e r i n1 9 7 3 ，h ea l s o r e s e a r c h e dm e s t i m a t e si nt h el i n e a rm o d e l s i n c et h e n ，m e s t i m a t e sh a v eb e e nr e s p e c t e da n dm a n y i m p o r t a n tp a p e r sh a v ep r e s s e d i nt h i sp a p e r w eo n l yc o n s i d e rt h el i n e a rr e g r e s s i o nm o d e la n di n d e p e n d e n tr a n d o me r r o r s ，t h a ti s ，y i2 x f 口o + e ，i = 1 ，2 ，h e r ex l ，x 2 ，x na r ek n o w nr a n d o mv e c t o r s ，e l ，e 2 ，e na r ee r r o rt e r m s ，1 3 0i s a nu n k n o w nr e g r e s s i o np a r a m e t e rv e c t o r t h i sc a s ei st h em o s tu s e f u li ns t a t i s t i c s f o rt h ea b o v el i n e a r m o d e l ，w es u p p o s epi sac o n v e xf u n c t i o n ，w h i c hw i l lb eu s e f u lf o ru st os t u d ym e s t i m a t i o n ， w ea i mt oe x p l o r ef o rs o m es u i t a b l es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fc o n s i s t e n c ya n dc o n v e r g e n c eo fm e s t i m a t i o no fr e g r e s s i o np a r a m e t e r s i ft h i sp r o b l e mi sw o r k e do u t ，i ti sam a r kp o l ef o rc o m p l e xm o d e l s ， t h u s ，i ti si m p o r t a n c ef o rt h es t u d ya n da p p l yo f m - e s t i m a t i o n c h e nx ra n dz h a nlc ( e - e s t i m a t o ri nl i n e a rm o d e l ，1 9 9 6 ) h a v ee n t i r e l ys u m m a r i z e dr e l a t e dw o r k s ， w h e r em a n yp r o f o u n dp r o b l e m sa r ep o s e d ，a n dc o n s i s t e n c ya n dc o n v e r g e n c ep r o b l e m sa r em o s tb a s i ca n d i m p o n a n t i ta f f o r du sm a n ym a t e r i a l ，i d e a sa n ds k i l l ss ot h a tw e c a r ls t u d yt h e m t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nc h a p t e r1 ，w es i m p l yi n t r o d u c es o m ei m p o r t a n tl i t e r a t u r eo n m - e s t i m a t i o ni nt h el i n e a rr e g r e s s i o nm o d e l i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c eo u rm a i nr e s u l t sm o r ed e t a i l e d ，h e r e t h es t r o n gc o n s i s t e n c y a n dc o n v e r g e n c eo fm e s t i m a t i o nr e g r e s s i o np a r a m e t e r si nl i n e a rm o d e l sa r e e s t a b l i s h e d ，a n ds o m er e s u l t sa r ea l s oi m p r o v e d i nc h a p t e r3 ，w eg i v et h ep r o o f o f t h e s er e s u l t s k e y w o r d s ：l i n e a rm o d e l ，m e s t i m a t i o n ，s t r o n gc o n s i s t e n c y , s t r o n gc o n v e r g e n c e 第1 i 页 中国科学技术大学硕士学位论文 、 正文 一、引言与背景 线性模型参数肘估计的相合性 线性模型是指形如 y 。= x i 卢+ e l ，f - 1 ，2 ，h 的统计模型，又称线性回归模型，此模型最早起源于1 8 1 1 t 纪天文学家和测地学家的实际工作需 要。模型中置( p 维向量) 和m 是可以直接量测的量，雎根本不可能量测的量，它们根据某种( 力学的， 天文的，几何的) 理论咀线性方程y = x 卢联系着。在实际观测时有误差，模型中的e ；就是反映这一 项。这模型的基本问题是利用观测数据估计肛并研究这种估计的精确程度( 参见 1 】) 。 18 0 5 年l e g e n d r e 发明最小二乘估计( l s 估计) 。1 8 0 9 年g a u s s 日i 进正态误差理论。1 8 2 3 年g a l l s s 证明t l s 估计的基本性质，即g a u s s m a r k o v 定理，加上1 9 世纪h e l m e r t 、p i z z e t t i 等人在有关残差 平方和的分布理论上的贡献，为这个模型的理论和应用打下了坚实的基础。1 9 世纪束，统计学家 p e a r s o n 发现此模型与多维正态分布的联系开辟了把此模型用于社会经济与生物学问题的门径， 把当时刚发展起来的相关回归分析纳入此模型的旗下。到1 9 2 0 年，统计学家f i s h e r 将此模型中自变 量取值离散化，使由人工控制试验产生的数据的分析也可以纳入此模型中，其结果就是著名的 方差分析法。经过g a u s s 、p e a r s o n 和f i s h e r 这三位大师的里程碑式的工作，线性模型概括了大部 分应用统计的领域，成为数理统计学中最有影响的模型。 此模型在分析统计数据中的实际操作( 小样本方法) 依赖两个基本点：l s 估计和误差的正态 性。二者缺一，则由f i s h e r 开辟的小样本方法不能使用。但在实际问题中有时不能坚持这两条。理 论研究和应用经验都表明，在一些情况下( 如设计矩阵接近病态，数据中含有少量的异常值o u t l i e r 等) l s 估计的表现不好。在有些应用( 如数量经济) 中误差分布属厚尾型，与正态有较大的偏离。 为针对l s 估计可能不适用的情况，研究工作者采取了两个途径：一是仍以l s 估计为基础， 加以适当的改进，如m a s s y 于1 9 6 5 年提出的主成分估计。h o e r l 等于1 9 7 0 年提出的岭回归， w e b s t e r 等于1 9 7 4 年提出的特征根估计等。二是另起炉灶，引进稳定性更好的m 估计。h u b e r 最先关于位置参数模型于1 9 6 4 年在文献t 2 】中引进m 估计。1 9 7 3 年，h u b e r 在文献i s 中又将m 估 计拓展到一般的多元线性模型。这一估计是把l s 估计中的损失函数由“2 改为一般的“) 。当p ( “) = l u i 时就是最小一乘( l 1 ) 估计。它的历史比l s 估计还早，与l s 估计一起是m 估计这个家族中最著 名的成员。 m 估计，除了l s 估计，或虽是l s 估计但误差非正态，都不存在有效的小样本理论，研究 工作全集中在大样本( 渐近) 理论方面。大样本理论是研究当样本量很大时，方法的渐近性态。包 括估计量是否收敛于真值( 相台性) 、渐近分布及其它更深层次的如收敛速度、重对数律、线性表 第1 页 中国科学技术大学硕士学位论文 正文 示和渐近展开等问题。 关于l s 估计的相台性这方面工作起始于1 9 6 0 年代。最初一个重要结果是l9 7 6 年d r y g a s 在 文献【4 】中证明了在g a u s s - - m a r k o v 假殴下，l s 估计弱相合的充要条件。1 9 7 9 年，美籍统计学家黎 子良、r o b b i n s $ h 魏庆云在文献【5 】中证明了在方差有限的条件f ，l s 估计强相合的充要条件。 这些结果在方差有限的条件下基本上解决了误差方差存在有限时l s 估计的相合性问题。但从理论 上说，“方差存在”对线性模型是个外加条件。例如在大数律的研究中就不一定作这个要求，而l s 估计相舍性问题实质上是大数律问题的推广另外从实用角度看，对一些厚尾误差分布也不直作这一 假定因此有必要研究在方差可能无限时l s 估计的相台问题。在8 0 年代有过一些初步结果。到9 0 年代， 经过我国几位统计学者的努力，问题获得了彻底解决，得到了这种情况下l s 估计强、弱相合的充要条 件。 白5 0 年代解决了l 估计的计算方法问题，计算机性能的提高，以及l ，估计在某些领域应用 中显示的优越性6 0 年代以米l ，估计的理论研究得到统计学者的重视。国际上各种刊物发表的结 果甚多。主要是在一定的条件r 证明这个估计的相合性与渐近正态性。 1 9 7 3 年，h u b e r 在文献【3 中义将m 估计拓展到一般的线性模型，自那以后m 估计受到统计学 家相当的重视，成为国际统计界研究的一个热点，所得到的成果大多限定损失函数p 为凸函数的 情况，在此后若干年内，m 估计的研究人体局限在相合性汞【渐近正态性等问题上。但函数的凸性给 其增长速度规定了一个下限，因而对应用是一个较火的限制。陈希孺等人研究了在损失函数非凸 的情况下，m 估计的渐近性质问题，得到了一系列有关线性表示、收敛速度与重对数律等方面比较 深刻的结果。 在m 估计的弱相合问题上，除了l s 估计这个特例研究得较早并得出较完整的结果以外，对另一 个重要特例l l 估计研究的也较多。至于一般的m 估计的弱相合性。h u b e r 在其1 9 7 3 年的： 作中已有研 究，y o h a i 在文献【6 】中也涉及这个问韪。但综观在这些：i 。：作中，所提的条件过下繁多因而还只能 认为是一个初步的研究。直到1 9 9 3 年，赵林城r a o 平| l 陈希孺在文献 7 】中针对p 为凸时，方差有限 情况下提出了个形式简单且很弱的充分条件。对设计矩阵x 沩随机的情况，陈希孺，赵林城在 文献 8 e e 对p 非凸时研究了m 估计的弱相合问题。 对于m 估计的强相合性而言，不仅随机误差分布在其中位数的邻域内有作用，且整个分布，包 括其尾部也是有影响的，这与m 估计的弱相合性不同。因此m 估计的强相合性问题要比弱相台性复 杂得多。直到1 9 8 8 年，吴月华在文献 9 l e o 首次研究了关于l 估计强相台问题的结果。也是除l s 估计 之外有关m 估计的强收敛问题的第一个结果。陈希孺，赵林城在文献 8 1 中针对以一f 两种情形：( 1 ) 以= o ( n - 。) 和( 2 ) d 。= o ( i i o gn ) ，分别给出了关于m 估计的强相合性的充分条件。2 0 0 2 年，杨善朝在文献 【1 0 】中针对情形( 1 ) 在2 8 阶矩存在有限的条件下，给出了m 估计的强相合性条件。 关于m 估计的渐近正态性研究，较早的工作以r e l l e s ( 参见文献 11 】) 、h u b e r ( 参见文献 2 ) 雨i y o h a i 为代表( 参见文献【5 ) 。1 9 7 5 年，b i c k e l 在文献【1 2 中研究了回归系数的一步m 估计的渐近正态性。1 9 7 9 第2 砸 中国科学技术大学硕士学位论文 正文 年，y o h a i 和m a r o n n a 在文献【1 3 】中系统研究了由估计方程定义的同归系数的m 估计的相台性和渐近正 态性。1 9 9 0 年，陈希孺、白志东、赵林城和吴月华在文献【1 4 q ，首次证明了线性模型l i 估计的渐近正 态性。1 9 9 2 年，自志东、r a o 和吴月华在文献f 1 5 y 9 研究了线性模型m 估计的渐近正态性。 1 9 8 9 年，b a b u 在文献【1 6 】中首次研究了一般线性模型之f 的l l 估计的线性表示。1 9 9 2 年r a o 和 赵林城在文献f 17 】中把b a b u 的研究推r 到一般凸函数的情形。1 9 9 3 年，陈希孺于文献【1 8 】中，在限制 性条件下研究t p 不必为凸函数时，m 估计的线性表示，并考虑了其若干应用，得到了对设计矩阵置 为随机的情况，一系列有关收敛速度与重对数律等方面比较深刻的结果。 随机加权自助法过去曾被用于研究一些诸如样本均值等统计量的分布逼近，但近年来这 一方法也被应用于研究m 估计的大样本性质受到统计学家的高度重视。1 9 9 2 年，r a o l l 赵林城 在文献 1 9 】中首次用随机加权自助法研究m 估计的分布逼近，井在一定的条件下，证明了这种 逼近是依概率1 有效的。1 9 9 7 年，柴根象、张文扬在文献【2 01 中利用随机加权m 估计的强表示证 明了在a = 1 ，2 情形这种逼近是以概率l 有效的。1 9 9 9 年，昊耀华、赵林城在文献【2 l 仲通过对几 乎所有的样本序列得到随机加权m 估计的条件弱表示米证明这种逼近是以概率1 有效的。 除了l s 估计外，其它的m 估计都未有清晰的表达式且不易计算，这极大地影响了它的推广和应 用。随着计算机技术的迅猛发展，解决m 估计的计算问题，建立m 估计的递推算法成为当务之急。1 9 7 5 年，b i c k e l 在文献【1 2 中推出的“o n es t e pa p p r o x i m a t i o n ”是毋先的尝试，这种估计是先从有理由认 为较好的估计d + 出发，应用n e w t o n 方法得出回归系数卢的估计屏。在较强的条件_ f 证明了屏与理论 上的m 估计有相同的极限分布。文献【1 3 】，【2 2 1 和 2 3 1 建立了同时计算位置和刻度参数的递推m 估计算 法，并且证明了该递推算法的强相合性。文献【2 4 】把这种算法推_ r 到一般的线性模型。刘东海、缨柏 其在文献 2 5 1 证明了m 估计递推算法中回归系数和散布矩阵的强相台性。对基于一维随机样本而得 到的单参数的m 估计，文献【2 6 】和【2 7 】给出了其规范化误差分布的随机加权逼近，文献 2 8 1 将这一情形 的随机加权法推广到多参数m 估计的情形。 近年来随着线性模型参数的m 估计研究向纵深发展，非线性模型也日趋活跃，如文献 2 9 3 2 】 主要讨论部分线性模型中参数或非参数m 估计的各种大样本性质，但迄今为止所得的结果都还很初 步，还有许多工作有待研究。 综观m 估计的研究现状，不论采用什么研究方法，基本上集中在m 估计的大样本性质上。m 估计的大样本性质中最基本的就是相合性而这方面还有许多j 作需要解决，本文主要讨论线性同 归模型参数m 估计的强相合性和强收敛速度。 第3 页 中国科学技术大学硕士学位论文 正文 二、主要定理和结果 考虑线性回归模型 且= 一，卢o + e ，f = l ，2 ，h( 2 1 ) 其中：。l ，j 2 ，x n 为已知的p 维向量e l ，9 2 ，p 。为随机误差卢。为未知的p 维回归参数向量。设p 为r 1 上的函数，令 炜= p ( y ，一工属) ( 卢e 月勺 i = l 卢。的m 估计记为。，定义为( 廓的一个晟小值点： 以国= m i n ( h p ( 局：卢6 - r ( 2 2 ) 对于模型( 2 1 ) ，我们考虑损失函数p 为凸的情况，这种情况的相对简单的架构，有利于得到m 估计系统深刻的结果，因此在m 估计理论中占有重要地位，在这里我们只考虑p 为凸函数的情况， 以p - 和p + 分别记p 的左，右导数。记s n = x t x j l + x 2 x 2 + + z ”，定义d 。= m a “x x ：。x ，此处假 定s ：1 存在。 对于一般的m 估计的相台性和收敛问题，虽然进行了深入的研究，但仍然有许多问题还未圆满 解决，许多结果还比较粗糙。我们的目标是在方差有限的情况r ，寻找m 估计的强相合性的充分条 件，同时探索强收敛性较弱的充分条件。 关于强相合性方面，针对情况d o = 0 ( ”“) ，我们证明了当1 占阶矩存在时，参数的m 估计是 强相合的。因此，在方差有限情形下，当1 2 j 1 时参数的m 估计是强相合的，值得提的 是我们的结果也适用于当1 2 0 ，1 2 0 ，使 e ( p ( 8 l + 一p ( e 1 ) ) ，l “2( 当i “i 0 ，使 司p + ( e l a ) i ”h 。 o 和0 j sl ，使( 2 5 ) 式成立且 e l 弭( b 1 a ) l ”5 h 0 0 ( 2 6 ) 成立时，成为p o 的强相合估计。 定理c 8 1 ：设e l ，e 2 ，为i i d ，励凸函数，满足( 2 3 ) 式且满足下述两条件之一： 1o 存在常数 一，使p ( ie l l o 和0 占1 ，使( 2 5 ) 式成立且 ei 辑(旬)11坩hoo(28) 成立时，成为届的强相合估计。 注l ：由文献 8 】可知：d 。趋于o 的数量至多为d ( 1 n ) 。也就是说，( 2 5 ) 式中的子应满足0 6 - 0 ，记g ( e 1 ) = m a x ( i 我( p l + 4 i ) ，l 怿( g l 4 ) 1 ) ，存在常数t o 0 ，使得 下式成立 e e x p ( t o g ( e 1 ) ) 0 ，有s u p l n k 。i 致”+ ) 一嘏) l 1 2 ，有虎一风= d ( ( d 少( 1 0 9 n ) ) ，a 。 以上定理都很容易推j 到p 独立但不必为同分布的情形。 将定理2 , 4 与定理d 进行比较，我们很容易想到： 在定理b 的条件下，可能有威一鼠= o ( ( d 。l o g n ) “2 ) ，a 。 更进一步地， 在定理2 2 的条件下，可能有成一风= o ( ( d 。l o g n ) “2 ) ，a - s 。 既然已经降低了强相合性和强收敛速度条件，同样地，按照这一方法，也可能降低文献【8 】中关于 重对数律的条件，这还有待迸一步讨论。 第8 页 主里型兰垫查奎堂堡主兰垡笙苎 一一一 一二 垩苎 三、定理的证明 在证明定理之前，先引进如下引理 引理3 1 【8 j ：设p 为定义于r 的凸函数，则以下的一些结论成立 1 。：若p 是非单调的，则它必满足：p 在一处处连续；存在口，使p ( “) 当“ - a 时，非降且恒不等于 一常数；当“口时，非增且恒不等于一常数；且l i i l li n f l “p ( h m 川 0 。 2 。：易( 局为肿凸函数。如果户为严凸，且矩阵z = 0 l h ) 的秩为p ，则月。( 助也是严凸的。又 若州 单调，且瑚秩为p ，1 l i m l l 忙。f 名( 助= o 。 3 。：若s 是r 9 中的一个封闭曲面，将r9 分成内外两部分，分别记为一、b 。若卢。是4 的一个内点， 则当b 时，必有 ( 届) 。 引理3 1 的l 。和2 。说明了：当p 为凸且非单调时，r a ( 2 2 ) 式定义的m 估计鼠必存在( 当然，需要矩阵 瑚自秩为盛个条件) ，且若肭严凸，则航唯一。条件l i mi n f i 巾。p ( “) “l o 说明了：p ( u ) 的增k i g 度至少与l ”i - - 样。本引理的3 。虽然很简单，却是证明强相台性的关键。 引理3 。2 【8 】：若对某一个特定的误差列o he 2 ，) ，危= 矗舻i ，n ；札，矗) 对某个风有危_ p o ( 在某一意义下) 。则对r 9 中任一点卢1 ，当真参数值为l 时，必有屈+ 卢l 。 引理3 2 表明：当我们讨论风的m 估计尼的相合性时，总可以把p o 指定为某一特殊值，例如p 。= 0 。 我们在以后的定理证明中，直接使用这个引理。 现在我们来考察巩这个量，与品相比，在一定意义上磊更刻划了模型( 2 1 ) 的某种本质的东西： 设c 是一个p 阶非奇异矩阵，我们用线性变换= c 肺去取代原来的参数向量岛，这等于把模型( 2 1 ) 变为m 2 z ，yo + g ，( 其中z ，2 c , - i x ，) 。对同一个p ，p o n y o 的m 估计庶和尹。以关系式户。= c 怠相联系， 因此就有关的大样本性质，如相合性、收敛速度等而言，在变换后的模型或在原模型中来讨论，都应 得出相当的结果。将变换后的模型的磊值记为五，则有 乏= m a x 川；。一，c - 1 ( c t x ；c 1 ) c t 、i x i = m a x 川“，c - 1 c s ；1c c r x f l l = m a x l 眺h x ，1 而= 以 即线性变换不改变模型的以值。 第9 页 中国科学技术大学硕士学位论文 正文 引理3 3 【8 】：设晶的最小特征根厶 0 ，则磊撕 竹)( n 珊) 引理3 4 【3 6 】( f u k - n a g a e v 不等式) ：设随机变量f l ，f 2 ，f 。相互独立，各自有期望o 则对任何常数 ， 0 ，存在只与f 有关的常数c l ， 0 ，c 2 。 0 ，使对任何“ 0 ，有 p 蚓 告i i + 2 e x p ( 心嘻州喜) 引理3 5 ( h o e f f d i n g 不等式) ：设随机变量 i ，f 2 ，f 。相互独立，各自有期望o ，s t a ，自6 j ( 1 i ”) ，其中口，、b i 都是常数。则对任何“ 0 ，有 p 恻 “ 2 e x p p ，喜c h ，刁 引理3 6 ( b e n n e t t 不等式) ：设随机变量 l ，f 2 ，ee 。相互独立，e 卣= o j l l 4 ，i 6 o 。( 1 i ) 。 = 宝i = 1 脚c 驯删黼觏地有p 帱i1 伽卜 z e x p ( 肥打z 蚴) 。 、l =， 引理3 7 1 3 ”t ：设) 是独立随机变量序列，凰。= 0 。正数序列“t 。o ，且对某1sp 2 那么a ：1 j0 a s k r o e c k e r 引理【3 9 1 ：设 ) 和 h ) 是两实数序列，0 a nt 。，x 口。收敛，那么 月= 1 口：1 一斗0 在证明的行文过程中，用c 。o ，c i ，c 2 ，表示与”无关的绝对正常数，在同一个式子中不同位置的c 值可能不同。 第1 0 页 e 。 一“c 一 p h 日， p n re 。d 中国科学技术大学硕士学位论文 正文 3 1 定理2 1 的证明 由引理3 2 ，不妨设口o = 0 。令 x 。，= s x ，( 1 i ) ，= s 2 17 2 p o 则模- d ( 2 1 ) 可改写为 从而 计= z 。：岛o + 日， i 2 1 ，2 ，n 扛胛i i ： p ，蝣m ，a x l x 。，1 1 2 以厦记在模型( 3 2 ) 下并使用函数p 时，p 。o 的估计，则有反= 17 2 厦。取 f = f 】2 ，0 霹) 巩= 酬扣陋2 ) =ksup啡supl：en2 s u p i = ：1c w 心哆，l 滴2 ) = ：( r 。，( ) 一r 。( 6 埘l 瞬2 i l 卸肚口p l 即懂 i rz ”p ( y iv x 叫= 昏n 啪l 糕蕃np ( e i - x 耖) ) 现在证明f 。c e 。因为当卢e 口，时，有仁。，卢1 口 0 ，便巩2 ，如，如为* 阳最_ 、待位根。搿十v o 0 ，有 i 声o l i - c o c1 嶙”a 忙不。 c 防忙岛万，万 亡l l p ：l l - - 叩。厩j 匕 i p ：l l - p - | 2 e 0 叩。厩j 取7 ，o 充分小，使_ c m 加( 1 ，4 l z ) 且p - l ，2 占。刁1 ，1 ，则得 1 怠4 岛j c i 成0 瓦 。 再利用p 的凸性及引理3 1 的3 。，得到 l 历| l 瓦 c e 综p 所诛转们有 i 声o l l 强j c 嘲卜配 ec e 。c e e ： 因此，为证明定理的结论，我们仅需要证明 p ( e 。) t o 。 p ( e ：) c 。 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 一) 先证明( 3 6 ) 式。记g = m a x ( 1 数0 + 4 ) i ，i 0 一a ) i ) ，则由( 2 8 ) 式得，e 反e 1 ) s2 h c 。 由p 的凸性知，当皿b o a ，x + 4 时，有归( 6 ) 一p ( i 蔓i b 一口ig 缸) 。而当p d 。时，有 x 。吩l 丽r d ，i x p ls 厩s r l _ a 因此，当卢b ，时，有 而 l 反岛一x 。，幼一p ( 西一x 7 。脚i s 甙e ，) h 。妒一助l g ( e ，) 万l i p 一圳 g ( e ，) 瓦霹“ ( 1 ，) 第1 2 页 ( 3 7 ) r h x 。 一 一) 卢 (b 。m ! 里型兰垫查查兰堡主兰生笙兰 一 一一 垩茎 r 。( 6 j ) ) l 2驾融n蚴一z“t)-e(p(ei-xi-xn p ( ee ( p ( e bj)一p(ei，一l = s u 圳( p ( q ，o ) 一，一z ：，一，一z ) l 肛日爪= 5 器孙e i7 x ：, b j 一( 旷棚| + 溜到比r 一- 屯h ( 盱棚i = ： i + 2 ( 3 8 ) 利用( 3 7 ) 式，有 厶。s u p 主g ( q ) 属两m 瓣m 主g ( q ) 0 e b ，i = l i = l 因为0 5 - 1 。因此，有 ”爵枷n ( 衫孑历一1 ) 嘲+ 3 凸1 _ 5 + 3 w 2 斗0 ( 当”m 时) 于是，当n 充分大时，有 h 爵槲) ss ( 4 c ) 联合( 3 i o ) 和( 3 1 1 ) 式，当n 充分大时，有 j ，2ss 毛：4 因此，由( 3 8 ) ，( 3 9 ) 和( 3 1 2 ) 式知，当 充分大时，有 叫厨”私m b d 4 注意到( 3 1 3 ) 式对一切，均致成立，因此当h 充分大时，有 眠m k s u p 。器隆n 一舻；一蚴卜霹2 ) 第1 3 页 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) )汐 r ( 。随 印哆 s 卢 )俾 。瑚 坤呜 ：= 竖掣塑塑墼二二毒 二墼 厨”瓿r = 1 ) 丫砰胁州 l p 降”私胁砰卢卜 ：；| ；如脏舻c 。剖 c 麻岍蔷n 球拈c 行一， - 4 ，万3 ，从而1 一占十3 ) 2 n ) 矿h f ( ) = 拿n ，( b ) 一e f 一，( 吩) ，矿。，( 易) = f 。，( 白) 一e f ，。( 吩) 善r ，( 吩) = 萎叮：。( 6 j ) + 妻( 6 ，) 。1 l = 1 百 。 ( 3 j 5 1 ( 3 16 、 e m c 嫩s u p 枞哔瞬州强阮4 霹4 ) 显然，占矿。，( 吩) ：。，f 矿。，( 吩) f s2 h ：6 ，且 ( 3 1 7 ) 口2 ：2 一1 蔷n e c 野：，c 6 ，) ) 2 n 一1 喜e 最；p ，) 栉一1 委点窖zc 岛) j 。：。乃f z ，( 占。巳) ，。) ! 疗。1 “善k 6 斤( e ，) s 凸- 1 t n b n 2 ha 取“2 簖( 4 ”) ，利用引理3 6 ，因，1 ，有 第1 4 页 p 睁刊霹序卜勃呜，陋伽，卜唧_ 却d ， 5c 。x p - c 。( 1 。gn ) 7 ) cn 一2 ( 对任给定 o 和当n 充分大时) ( 3 1 8 ) 在上式中取 足够大，则有 v hf f p ( e ：1 ) p ( i 叩爿瞬4 ) - c f f _ ：n , , n 。c 印州一一2 c 。( 3 19 1 现令n ”5 m = k ，则h 5 = k 2 d ( 1 + 6 ) = ：0 女和r 。= 6 ( 1 。g n ) 一= c 驴5 ( 1 十6 1 1 。g 七) ：一女。再定义集合： 。 叫h t i i o 一1 + 酬4 ，1 i 蔓n ) ，厶= 训i i 靠) + c n 州询h ”一5 g ( q ) 地( p ，) 。)( 3 - 2 0 ) 甩书g ( 岛) ，( g o ，) “) 十凸卅删7 4 宝g ( q ) 坛( 巳) f 。) 臼i 1 g ( 岛) 地( 岛) 胁) + 凸州圳4 羔g ( q ) 地( q ) “) 口一g ( 8 ；) ( 吒) ，) + c n - ( 1 + 3 d ) 4 芝g ( 巳) 地( q ) f ) = ：以( 妨+ 止0 ) ( 3 2 】) 类似地，有 ，溉”可驴( 圳s 州日+ 川一) ( 3 2 2 ) 假设：当月- 。时，有 ( _ 0a s ，蹦( j0 和以) j0 a _ s ，e j 2 ( m ) _ 0 成立，则 ，戮”坩弘哆) i - 脚s u ；p 心n 磐哆h + s 胁u pn 一5 舡i = 1 瓤i 斗o a s 第1 5 页 中国科学技术大学硕士学位论文 正文 又由( 25 ) 式有靠c l n _ ，因此砰( 衫厕2 q 2 1 c i p n - a ) = c 2 n 5 ，所以当”_ 。0 时，有 s u p2 1 。( 刊 c ：a n 6 4 v i ) ，置= r ，一e y ，则e z 。= 0 且z ，相互独立，则对于0 j 1 ，有 z o ；1 e i t = 3 s c 七一2 “1 + 5 ( 1 0 9k ) 7 1 5 7 5 f 。) ，k = u 一e u ，则e 以= 0 且k 相互独立，则对于0 占 )幢v融町 。描 2 )0g(v0 。商 町 | l l e o 园 一 臼 o斗 l e 。 一 目 = ) sa0呻 i e 。瑚 一 臼 十 x o 呀 | 一 。融 一 目 = ( ! 里型兰垫查奎兰里主兰生笙苎 一：一 ： 一一一 一垩茎 ”羽删h e 暇i 2 - ( i + 3 6 e g ( e ) 地( ) 毛) n = 3n = 3 s 2 n - ( 1 + 3 6 ) 4 靠1 - “占如5 ( p 。) n = 3 c ”一1 一1 5 7 4 ( 1 0 9 ”) 7 1 5 7 5 t n ) _ 0 。 j = j # l 庐。0 ，) = g0 。) z ( g ( e o f 。) ，妒。( 日) = 庐。( p ，) 一e 庐一( p 。) 。 e 妒。0 ，