高中数学 2.2 复数的乘法与除法课件 北师大版选修12.ppt

2 2复数的乘法与除法 a b c d a c d b c d ac ad bc bd 1 2 3 1 2 3 4 引入在初中我们学习过多项式的乘法 多项式相乘的运算规律可用如下的式子表达 类比多项式的乘法你能给出复数a bi与c di相乘的法则吗 掌握复数的乘法和除法法则 重点 掌握共轭复数的概念及其性质 重点 3 理解复数乘法的交换律 结合律 分配律 难点 探究点1复数的乘法 设a bi与c di分别是任意两个复数 我们定义复数的乘法如下 a bi c di ac bd ad bc i 也就是说 两个复数的积仍然是一个复数 复数的乘法与多项式的乘法是类似的 但在运算过程中 需要用i2 1进行化简 思考1复数的乘积还是复数吗 提示 是 复数的乘积还是复数 思考2多个复数的乘积运算遵循怎样的运算法则 提示 多个复数的乘积运算类似多项式相乘的规律 把复数逐一相乘 再分别合并实部 虚部 例1计算 2 i 3 i 解 2 i 3 i 2 3 2i 3i i i 6 2i 3i i2 6 2i 3i 1 5 5i 例2计算 1 2 3i 1 3i 2 解 1 2 3i 1 3i 2 6i 3i 3i 3i 2 6i 3i 9 11 3i 解 1 1 3i 3 2i 3 2i 9i 6i2 3 2i 9i 6 3 11i 2 3 2i 3 2i 9 6i 6i 4i2 9 4 13 计算 1 1 3i 3 2i 2 3 2i 3 2i 变式练习 探究点2共轭复数 思考1 计算下列各式 你发现其中有什么规律吗 请将概括出的规律与同学们交流并证明 提示 规律概括 如果两个复数的实部相等 虚部互为相反数 那么它们的乘积是一个非负实数 a bi a bi a2 bi 2 a2 b2 1 共轭复数的定义 当两个复数的实部 虚部互为 时 这样的两个复数叫作互为共轭复数 复数z的共轭复数用 来表示 也就是当z a bi时 2 性质 相等 相反数 a bi 思考2 两个互为共轭复数的乘积是一个实数 那么如果两个复数的乘积是一个实数 这两个复数一定互为共轭复数吗 提示 不一定 两个不相等的实数a b 它们的乘积是实数 但是它们不互为共轭复数 探究点3复数乘法的运算律 容易验证 复数的乘法满足交换律 结合律以及乘法对加法的分配律 即对任意z1 z2 z3 c 有 在复数范围内 实数范围内正整数指数幂的运算律仍成立 即对于任意复数z z1 z2和正整数m n 有 例3计算 1 1 i 4 2 2 i 2 2 i 2 解 计算 1 2 3i 3 2 1 2i 4 解 1 2 3i 3 2 3i 2 3i 2 2 3i 4 12i 9 2 3i 5 12i 10 24i 15i 36 46 9i 2 1 2i 4 1 4i 4i2 2 3 4i 2 9 24i 16i2 7 24i 变式练习 思考 1 求i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8的值 2 由 1 推测in n n 的值有何规律 并把这个规律用式子表达出来 探究点4in的值的规律 提示 1 i1 i i2 1 i3 i i4 1 i5 i i6 1 i7 i i8 1 2 由 1 推测i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i 1 1 i1 i2 i3 i2004的值为 a 1b 1c 0d i 练一练 a 2 1 探究点5复数的除法 把满足 c di x yi a bi c di 0 的复数x yi叫作复数a bi除以复数c di的商 记作 a bi c di 或者 思考 怎样求 a bi c di 呢 提示 我们将的分子 分母同乘分母c di的共轭复数c di 得 例4计算 1 2 解 计算 解 变式练习 1 2012 安徽高考 复数z满足 z i 2 i 5 则z a 2 2ib 2 2ic 2 2id 2 2i d 2 复数等于 a 1 3ib 1 3ic 1 3id 1 3i 解析 3i i2 1 3i 故选a a a 0b 1c 1d 2 a 4 设i是虚数单位 则复数的虚部是 a b c d 解析 所以复数的虚部为 故选d d 5 复数 1 ai 2 i 的实部与虚部相等 则实数a 解析 1 ai 2 i 2 a 2a 1 i 因为它的实部与虚部相等 即2 a 2a 1 解得a 3 3 6 已知x 1 i是复系数方程x2 2i 1 x m 2 0的根 求m的值 解题提示 把x 1 i直接代入方程化简 求出m 解析 把x 1 i直接代入方程 得 1 i 2 2i 1 1 i m 2 0 即2i 2i 2i2 1 i