高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差课件 新人教A版选修23.ppt

2 3 2离散型随机变量的方差 第二章随机变量及其分布 学习导航 1 离散型随机变量的方差 1 设离散型随机变量x的分布列为 标准差 2 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的 方差或标准差越小 则随机变量偏离于均值的 越小 3 d ax b 想一想离散型随机变量的均值e x 和方差d x 都反映了x取值的平均水平 这种说法对吗 提示 不对 e x 反映的是x取值的平均水平 d x 刻画了x与e x 的平均偏离程度 平均程度 平均程度 a2d x 做一做1 已知 的分布列为则d 等于 解析 e 1 0 5 0 0 3 1 0 2 0 3 d 1 0 3 2 0 5 0 0 3 2 0 3 1 0 3 2 0 2 0 61 答案 0 61 2 两点分布 二项分布的方差 1 若x服从两点分布 则d x 2 若x b n p 则d x 做一做2 若随机变量x服从两点分布 且成功的概率p 0 5 则e x 和d x 分别为 a 0 5和0 25b 0 5和0 75c 1和0 25d 1和0 75答案 a p 1 p np 1 p 题型一求离散型随机变量的方差 已知随机变量 的分布列为 名师点评 求方差和标准差的关键在于求分布列 只要有了分布列 就可以依据定义求数学期望 进而求出方差 标准差 同时还要注意随机变量ax b的方差可用d ax b a2d x 求解 跟踪训练1 已知随机变量 的分布列为且已知e 2 d 0 5 求 1 p1 p2 p3 2 p 1 2 袋中有大小相同的小球6个 其中红球2个 黄球4个 规定取1个红球得2分 1个黄球得1分 从袋中任取3个小球 记所取3个小球的分数之和为x 求随机变量x的分布列 均值和方差 题型二求实际问题的期望和方差 名师点评 求离散型随机变量的方差常分为以下三步 列出随机变量的分布列 求出随机变量的均值 求出随机变量的方差 跟踪训练2 抛掷一枚质地均匀的骰子 用x表示掷出偶数点的次数 1 若抛掷一次 求e x 和d x 2 若抛掷10次 求e x 和d x 甲 乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量 分别记为x1和x2 它们的分布列分别为 1 求a b的值 2 计算x1和x2的均值和方差 并以此分析甲 乙两射手的技术状况 解 1 由分布列的性质知 0 1 a 0 4 1 0 2 0 2 b 1 即a 0 5 b 0 6 题型三应用均值和方差分析实际问题 2 e x1 0 0 1 1 0 5 2 0 4 1 3 e x2 0 0 2 1 0 2 2 0 6 1 4 d x1 0 1 3 2 0 1 1 1 3 2 0 5 2 1 3 2 0 4 0 41 d x2 0 1 4 2 0 2 1 1 4 2 0 2 2 1 4 2 0 6 0 64 由上述计算知 乙的平均水平较甲好一点 但乙的稳定性不如甲 名师点评 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平 而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 因此在实际决策问题中 需先运算均值 看一下谁的平均水平高 然后再计算方差 分析一下谁的水平发挥相对稳定 当然不同的模型要求不同 应视情况而定 跟踪训练3 甲 乙两名工人加工同一种零件 两人每天加工的零件数相等 所得次品数分别为x y 且x和y的分布列为 误用方差的性质致误已知随机变量x的分布列如下表 试求d x 和d 2x 1 常见错误 求解d x 误用其性质 把d ax b 误写为ad a x b 易错警示 解 e x 0 0 2 1 0 2 2 0 3 3 0 2 4 0 1 1 8 所以d x 0 1 8 2 0 2 1 1 8 2 0 2 2 1 8 2 0 3 3 1 8 2 0 2 4 1 8 2 0 1 1 56 所以d 2x 1 4d x 4 1 56 6 24 防范措施 解决此类问题方法 应利用公式e ax b ae x b d ax b a2d x 将求e ax b d ax b 的问题转化为求e x d x 的问题 从而可以避免求ax b的分布列的繁琐的计算 解题时可根据两者之间的关系列出等式 进行相关计算 跟踪训练4 已知随机变量x b 100 0 2 那么d 4x 3 的值为 a 64b 256c 2