高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课件 新人教A版必修4.ppt

2 3 4平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 x1y2 x2y1 0 思考 如果两个非零向量共线 你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗 提示 将b写成 a的形式 根据 的符号判断 如故a b反向 知识点拨 对两个向量共线条件的三点说明已知a x1 y1 b x2 y2 1 当b 0 a b 这是几何运算 体现了向量a与b的长度及方向之间的关系 2 x1y2 x2y1 0 这是代数运算 用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数 从而减少未知数个数 而且使问题的解决具有代数化的特点 程序化的特征 3 当x2y2 0时 即两向量的相应坐标成比例 这种形式容易记忆 类型一向量共线的判定 典型例题 1 下列向量组中 能作为平面内所有向量基底的是 a e1 0 0 e2 1 2 b e1 1 2 e2 5 7 c e1 3 5 e2 6 10 d e1 2 3 2 已知a 2 1 b 3 1 与平行且方向相反的向量a是 a b 6 3 c 1 2 d 4 8 解题探究 1 两个向量可以作为表示平面内所有向量的一组基底的条件是什么 2 如何用数乘向量的形式 表示方向相反的两个向量的关系 探究提示 1 两个向量可以作为表示平面内所有向量的一组基底的条件是这两个向量不共线 2 若a和b是方向相反的两个向量 则存在实数 使b a 其中 0 解析 1 选b 对于a 因为e1是零向量 所以e1 e2 所以e1 0 0 与e2 1 2 不能作为平面内所有向量的基底 对于b 因为 1 7 5 2 17 0 所以e1与e2不共线 所以e1 1 2 与e2 5 7 能作为平面内所有向量的基底 对于c 因为3 10 6 5 0 所以e1 e2 所以e1 3 5 与e2 6 10 不能作为平面内所有向量的基底 对于d 因为所以e1 e2 所以e1 2 3 与不能作为平面内所有向量的基底 2 选d 因为 3 1 2 1 1 2 a 因为所以向量与向量不平行 b 因为1 3 2 6 0 所以向量 6 3 与向量不平行 c 因为1 2 2 1 0 所以向量 1 2 与向量不平行 d 因为 4 8 4 1 2 所以向量a 4 8 与向量平行且方向相反 互动探究 在题2条件下 试写出与平行且长度是的2倍的向量 解析 由题2知 1 2 与平行且长度是的2倍的向量是2 1 2 2 4 和 2 1 2 2 4 拓展提升 向量共线的判定方法 变式训练 已知a 4 6 b 下列坐标表示的向量与平行的是 a b c d 解析 选b 因为所以向量与向量平行 因为所以向量与向量平行 因为所以向量与向量平行 因为所以向量 7 9 与向量不平行 类型二利用向量共线的坐标表示求值 典型例题 1 2013 湖州高一检测 已知向量a 1 1 b 2 x 若a b与4a 2b平行 则实数x的值是 a 2b 0c 1d 22 已知向量a 1 sin 1 b 1 sin 且a b 则锐角 等于 a 30 b 45 c 60 d 75 解题探究 1 若向量a x1 y1 与b x2 y2 共线 则这两个向量的坐标满足什么条件 2 要求锐角 首先要求什么 探究提示 1 若向量a x1 y1 与b x2 y2 共线 则x1y2 x2y1 0 2 要求锐角 首先要求 的正弦 余弦或正切值 解析 1 选d 由题意得a b 1 1 2 x 3 1 x 4a 2b 4 1 1 2 2 x 0 4 2x 若a b与4a 2b平行 则3 4 2x 0 1 x 0 解得x 2 2 选b 由a b可得 1 sin 1 sin 0 即而 是锐角 故 45 拓展提升 由向量共线求参数的值的方法 变式训练 2013 陕西高考 已知向量a 1 m b m 2 若a b 则实数m等于 a b c 或d 0 解题指南 根据条件建立关于m的方程 求解即得 解析 选c 因为a 1 m b m 2 且a b 所以1 2 m m m 类型三利用向量共线的坐标表示解决三点共线问题 典型例题 1 已知且相异三点a b c共线 则实数k 2 已知a 1 1 b 1 3 c 1 5 d 2 7 向量与平行吗 直线ab平行于直线cd吗 解题探究 1 若a b c三点共线 则向量之间有什么关系 2 向量与平行 一定可以推出直线ab平行于直线cd吗 反之 直线ab平行于直线cd一定可以推出向量与平行吗 探究提示 1 若a b c三点共线 则向量与平行 与 与平行 2 若向量与平行 则直线ab与直线cd平行或重合 直线ab平行于直线cd一定可以推出向量与平行 解析 1 因为a b c三点共线 所以所以 1 k 3 2k 2 1 2k 0 所以k 1或 因为a b c是不同三点 所以k 1 所以答案 2 因为 1 1 3 1 2 4 2 1 7 5 1 2 又因为2 2 4 1 0 所以又因为 1 1 5 1 2 6 2 4 所以2 4 2 6 0 所以a b c不共线 所以ab与cd不重合 所以ab cd 拓展提升 三点共线的条件及判断方法 1 若a x1 y1 b x2 y2 c x3 y3 则a b c三点共线的条件为 x2 x1 y3 y1 x3 x1 y2 y1 0 2 若已知三点的坐标 判断其是否共线可采用以下两种方法 直接利用上述条件 计算 x2 x1 y3 y1 x3 x1 y2 y1 是否为0 任取两点构成向量 计算出两向量如再通过两向量共线的条件进行判断 变式训练 已知a 1 2 b 3 4 c 2 3 5 试用向量法证明 a b c三点共线 解题指南 证明向量与共线并有公共点 就可以证明a b c三点共线 证明 因为 3 4 1 2 4 6 2 3 5 1 2 1 1 5 且 4 1 5 6 1 0 所以又与有公共点a 所以a b c三点共线 规范解答 利用向量共线的坐标表示求值问题 典例 条件分析 规范解答 因为a 1 0 b 2 1 所以ka b k 0 2 1 k 2 1 2分a 3b 1 0 3 2 1 7 3 4分因为ka b与a 3b平行 所以3 k 2 1 7 0 6分所以 8分所以 10分因为 0 所以它们是共线反向的 12分 失分警示 防范措施 1 正确应用向量共线的坐标表示向量共线的坐标表示揭示了共线向量坐标之间的重要关系 应用时要特别注意坐标顺序 如本例中 3 k 2 1 7 0 2 注意数乘向量几何意义的应用非零向量共线的本质是两个向量方向相同或相反 从数乘向量的几何意义来说 若a b 0 则a与b同向 若a b 0 则a与b反向 类题试解 已知向量a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 a b c 试求实数 的值 解析 因为a 1 2 b 1 0 所以a b 1 2 1 0 1 2 又因为c 3 4 a b c 所以2 3 4 1 0 解得 1 已知向量a 2 4 b 1 2 则a与b的关系是 a 不共线b 相等c 方向相同d 方向相反 解析 选d 因为a 2 4 2 1 2 2b 所以a与b方向相反 2 向量a n 1 b 4 n 共线且方向相同 则n a b c 2d 2 解析 选c 因为向量a n 1 与b 4 n 共线 所以1 4 n2 0 解得n 2 当n 2时 a 2 1 b 4 2 a与b方向相反 当n 2时 a 2 1 b 4 2 a与b方向相同 所以n 2 3 若a 6 6 b 5 7 c 2 4 则下列结论成立的是 a a c与b共线b b c与a共线c a与b c共线d a b与c共线 解析 选c a 因为a c 6 6 2 4 4 2 b 5 7 所以4 7 2 5 0 所以a c与b不共线 b 因为b c 5 7 2 4 7 11 a 6 6 所以7 6 11 6 0 所以b c与a不共线 c 因为b c 5 7 2 4 3 3 所以a 6 6 2 b c 所以a与b c共线 d 因为a b 6 6 5 7 11 13 c 2 4 所以11 4 13 2 0 所以a b与c不共线 4 已知a 1 3 b 且a b c三点共线 则点c的坐标可以是 a 9 1 b 9 1 c 9 1 d 9 1 解析 选c 设点c的坐标是 x y 因为a b c三点共线 所以因为所以7 y 3 x 1 0 整理得x 2y 7 经检验可知点 9 1 符合要求 故选c 5 已知向量a 2 1 b