高中数学 2.2.1 等差数列课件 新人教B版必修5.ppt

2 2等差数列2 2 1等差数列 课标要求 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念 3 掌握等差数列的性质 核心扫描 1 等差数列的通项公式及性质 重点 2 运用等差数列定义及性质解题 难点 自学导引1 等差数列的概念 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 2 等差中项 如果三个数x a y组成等差数列 那么a叫做x与y的 且 同一个 公差 等差中项 试一试 试用等差数列的通项公式证明性质 若p q m n 则apt aq am an m n p q n 提示等差数列中a1为首项 d为公差 则ap a1 p 1 d aq a1 q 1 d am a1 m 1 d an a1 n 1 d ap aq 2a1 p q 2 d am an 2a1 m n 2 d p q m n ap aq am an 想一想 如何判定一个数列是等差数列 提示 1 定义法 an 1 an d 常数 数列 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 3 通项公式法 an an b a b是常数 名师点睛1 等差数列的概念 1 在定义中应注意 从第2项起 这一条件 因为首项没有 前一项 且如果一个数列不是从第2项起 而是从第3项起 每一项与它的前一项的差是同一个常数 那么这个数列不是等差数列 但可以说去掉第一项后是一个等差数列 2 定义中 同一个常数 不能丢掉 同一个 3 定义中的 差 是每一项与它的前一项的差 顺序不能颠倒 也就是说 从等差数列中任取相邻两项 后一项与前一项的差为公差d d r 当d 0时 数列为常数列 当d 0时 数列为递增数列 当d 0时 数列为递减数列 2 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为an a1 n 1 d 要理解公式中an a1 n d的含义并掌握以下几点 1 确定a1和d是确定通项的一般方法 2 由方程思想 根据an a1 n d中任何三个量可求解另一个量 即 知三求一 3 若通项公式变形为an dn a1 d 可把an看做自变量n的一次函数 4 若已知数列中的第m项am与公差d 则等差数列的通项an am n m d 3 等差数列的性质 1 若m n p q n 且m n p q 则am an ap aq 2 若数列 an 和 bn 是等差数列 则 man kbn 仍为等差数列 其中k m为常数 3 等差数列 an 每隔一定距离抽取一项 所组成的数列仍为等差数列 4 等差数列的项的对称性等差数列中 与首末两项 等距离的两项之和等于首项与末项的和 思路探索 利用通项公式an a1 n 1 d及变形求解 变式1 若 an 是等差数列 a15 8 a60 20 求a75 题型二等差数列的性质 例2 等差数列 an 中 已知a2 a3 a10 a11 36 求a5 a8 思路探索 可利用等差数列的通项求解 也可用性质求解 解法一根据题意设此数列首项为a1 公差为d 则 a1 d a1 2d a1 9d a1 10d 36 4a1 22d 36 2a1 11d 18 a5 a8 2a1 11d 18 法二由等差数列性质得 a5 a8 a3 a10 a2 a11 36 2 18 规律方法运用等差数列的性质 若m n p q 则am an ap aq 可简化运算 但法一中设出了a1 d 找出a1 d的关系 这种 设而不求 的整体思想 也经常用到 变式2 已知等差数列 an 中 a1 a4 a7 15 a2a4a6 45 求数列 an 的通项公式 解 a1 a7 2a4 a1 a4 a7 3a4 15 a4 5 又 a2a4a6 45 a2a6 9 即 a4 2d a4 2d 9 5 2d 5 2d 9 解得d 2 若d 2 则an a4 n 4 d 2n 3 若d 2 则an a4 n 4 d 13 2n 审题指导本题主要考查等差数列的证明方法和通项公式等 是函数与数列相结合的题目 解题流程 题后反思 证明数列是一个等差数列的方法有 定义法 等差中项法 通项公式法 方法技巧方程思想在等差数列运算中的应用首项a1和公差d是解决等差数列问题的两个基本量 等差数列的问题一般都可以转化为关于a1和d的方程 组 求解 示例 1 三个数成等差数列 和为6 积为 24 求这三个数 2 四个数成递增等差数列 中间两数的和为2 首末两项的积为 8 求这四个数 思路分析 解答本题采用对称的设法 也可以设出等差数列的首项与公差 建立基本量的方程组求解 解 1 法一设等差数列的等差中项为a 公差为d 则这三个数分别为a d a a d 依题意 3a 6且a a d a d 24 所以a 2 代入a a d a d 24 化简得d2 16 于是d 4 故这三个数为 2 2 6或6 2 2 法二设首项为a 公差为d 这三个数分别为a a d a 2d 依题意 3a 3d 6且a a d a 2d 24 所以a 2 d 代入a a d a 2d 24 得2 2 d 2 d 24 4 d2 12 即d2 16 于是d 4 这三个数为 2 2 6或6 2 2 2 法一设这四个数为a 3d a d a d a 3d 公差为2d 依题意 2a 2 且 a 3d a 3d 8 即a 1 a2 9d2 8 d2 1 d 1或d 1 又四个数成递增等差数列 所以d 0 d 1 故所求的四个数