高中数学 8.3解三角形的应用举例(二)课件 湘教版必修4.ppt

课标要求 1 了解有关测量中的名词 术语 可以帮助我们理解题意 有些术语易混 同学们需要细心 2 利用正弦定理 余弦定理解实际应用题是本节重点 要在解题中总结应用定理的方法 技巧 规律 8 3解三角形的应用举例 二 仰角和俯角 与目标视线在同一铅锤平面内的水平视线和目标视线的夹角 视线在水平线上方的角叫仰角 视线在水平线下方的角叫做俯角 如图 自学导引 1 高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题 由于底部不可到达 这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决 但常用 计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离 然后转化为解直角三角形的问题 答案正弦定理角度问题测量角度就是在三角形中 利用正弦定理和余弦定理 求角的 然后求角 再根据需要求所求的角 答案三角函数值 2 3 在湖面上高hm处 测得天空中一朵云的仰角为 测得云在湖中之影的俯角为 试求云距湖面的高度 自主探究 1 在 abc中 已知b 3 c 3 b 30 求a边用正弦定理简单 还是用余弦定理简单 有什么技巧 提示用余弦定理简单 由余弦定理b2 a2 c2 2accosb 得整理得a2 9a 18 0 a 3或a 6 技巧 当三角形中已知两边和其中一边的对角时 1 若由已知只求内角 则用正弦定理合适 2 若由已知只求边 则用余弦定理合适 2 如右图所示 d c b在地平面同一直线上 dc 10m 从d c两地测得a点的仰角分别为30 和45 则a点离地面的高ab等于 答案d 预习测评 1 答案a 2 在 abc中 若a 4 c 3 b 45 则 abc的面积为 3 如图 已知一小山的高度cd 100米 从山顶看a点的俯角为30 看b点的俯角为45 a b d三点在一条直线上 则ab 米 4 三角形中的计算三角形中的计算 证明问题用到的公式除正弦定理 余弦定理外 常见的公式还有 1 p a b c p为三角形的周长 2 a b c 名师点睛 1 此外还需熟悉两角和差的正弦 余弦 正切公式及二倍角的正弦 余弦 正切公式 特别提示利用正 余弦定理解三角形时要弄清已知条件是什么 从而选取三角形求未知元素 并恰当地选用正弦定理或余弦定理 同时要注意三角形面积公式的应用 求高度及角度求高度和夹角一般是构造三角形 最好构造一些特殊的三角形 如直角三角形 等腰三角形等 通过解三角形求出高度或夹角 2 在某一山顶观测山下两村庄a b 测得a的俯角为30 b为俯角为40 观测a b两村庄的视角为50 已知a b在同一海平面上且相距1000米 求山的高度 精确到1米 题型一高度问题 例1 典例剖析 方法点评把问题抽象概括为在空间解三角形问题 画出直观图是解题的关键 设出未知量可把已知量转移到同一个三角形中 由正 余弦定理列出方程可解决问题 甲 乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆 甲观测的仰角为50 乙观测的仰角为40 用d1 d2分别表示甲 乙两人离旗杆的距离 那么有 a d1 d2b d120md d2 20m答案b 1 某海上养殖基地a 接到气象部门预报 位于基地南偏东60 相距20 1 海里的海面上有一台风中心 影响半径为20海里 正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进 预计台风中心将从基地东北方向刮过且 1 小时后开始影响基地持续2小时 求台风移动的方向 题型二角度问题 例2 解如图所示 设预报时台风中心为b 开始影响基地时台风中心为c 基地刚好不受影响时台风中心为d 则b c d在一直线上 且ad 20 ac 20 bac 30 又 b位于a南偏东60 60 30 90 180 d位于a的正北方向 又 adc 45 即北偏西45 方向 所以台风向北偏西45 方向移动 方法点评在充分理解题意的基础上画出大致图形 由问题中的有关量提炼出三角形中的元素 用余弦定理 勾股定理解三角形 2 bcd 30 即缉私船沿北偏东60 方向能最快追上走私船 题型三三角形中的综合计算问题 例3 方法点评正 余弦定理与三角形的面积公式有机结合 在解决三角形问题中给人以赏心悦目之感 3 abc中 d在边bc上 且bd 2 dc 1 b 60 adc 150 求ac的长及 abc的面积 误区警示因忽视定理中边角的对应关系而出错 例4 正解 在 abc中 bad 150 60 90 测量底部不可到达的建筑物的高度问题时 由于底部不能到达 所以这类问题不能直接测量出建筑物的高度 也不能直接用解直角三角形的方法去解决 但可考虑构造直角三角形求该建筑物的高 或者利用地面上的三角形求出直角三角形中的一条边长 一般地