高中数学 313,314空间向量基本定理空间向量的坐标表示课件 苏教版选修21.ppt

课标要求 3 1 3空间向量基本定理 3 1 4空间向量的坐标表示 核心扫描 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 掌握空间向量线性运算的坐标运算 空间向量线性运算的坐标运算 重点 空间向量的正交分解及其坐标表示 难点 1 2 3 1 2 空间向量基本定理 1 定理如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得 2 基底与基向量如果三个向量a b c不共面 那么所有空间向量组成的集合就是 这个集合可看作是由向量a b c生成的 我们把 叫做空间的一个基底 base 都叫做基向量 空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底 自学导引 1 p xa yb zc p p xa yb zc x y z r a b c a b c 3 正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是 那么这个基底叫做正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是 时 称这个基底为单位正交基底 通常用 表示 4 推论设o a b c是 的四点 则对空间任意一点p 都存在唯一的有序实数组 x y z 使得 空间向量的坐标表示空间直角坐标系o xyz中 i j k分别为x y z轴方向上的 对于空间任一个向量a 若有a xi yj zk 则有序数组 叫向量a在空间直角坐标系中的坐标 2 两两互相垂直 单位向量 i j k 不共面 单位向量 x y z 坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a b a r a b a 0 r 3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 b1 a b2 a2 b3 a3 x y z 试一试 1 空间的基底唯一吗 提示不惟一 只要三个向量不共面 则这三个向量皆可以组成空间的一个基底 2 设向量a x1 y1 z1 与向量b x2 y2 z2 共线 若x2y2z2 0 则满足的条件是什么 对基底的理解要注意的问题 1 如果三个向量e1 e2 e3不共面 那么所有空间向量所组成的集合就是 p p xe1 ye2 ze3 x y z r 这个集合可看作由向量e1 e2 e3生成的 2 空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底 3 一个基底是指一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关联的不同的概念 4 由于0可视为与任意非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以 三个向量不共面就隐含着它们都不是0 名师点睛 5 解决具体问题时 适当选择一组基底e1 e2 e3 利用空间向量基本定理 把几何问题转化为关于e1 e2 e3的代数运算 6 向量的坐标运算使向量的运算完全代数化 这正是数形结合思想的重要体现 由于坐标运算方便 可操作性强 因此在求解有关问题时 可尽量采用向量的坐标运算 题型一向量基底的判断 思路探索 只要a b c不共面就可以作为基底 所以要先求向量a b c共面的条件 再取补集即可 例1 解得x 1 y 2 0 即 0时 a b 2c 此时 a b c 不能作为基底 所以 a b c 能作为基底 则实数 满足的条件是 0 规律方法 1 判断三个向量是否能够作为基底的实质是判断是否共面 所以要应用共面向量定理和空间向量基本定理 2 解有关基底的题 关键是正确理解概念 只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底 以下四个命题中正确的是 空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 若 a b c 为空间向量的一组基底 则a b c全不是零向量 变式1 答案 题型二空间向量基本定理的应用 例2 思路探索 在选定一组基底以后 同一向量用这组基底表示的途径可以不同 但最后的表达式是唯一的 规律方法从两个角度建立同一向量关于这组基底的两种表示形式 再由空间向量基本定理知这种表达式是唯一的 再由此列出方程组求解是这类题目的常用方法 变式2 14分 已知在空间直角坐标系中 a 1 0 0 b 0 1 0 c 0 0 1 p 2 2 2 直线op交平面abc于点q 求q点的坐标 审题指导本题综合考查了向量共线 共面定理 向量的坐标表示 向量相等的充要条件 题型三向量的坐标表示 例3 题后反思 要充分利用空间向量共线 共面的基本定理建立向量之间的关系 从而转化为向量的坐标运算 求出向量的坐标 变式3 误区警示错误理解向