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本章归纳整合 专题一平面向量的线性运算 向量的加法 减法和数乘向量的综合运算 通常叫做向量的线性运算 主要是运用它们的运算法则 运算律 解决三点共线 两线段平行 线段相等 求点的坐标等问题 已知a 1 2 b 3 2 若ka 2b与2a 4b平行 求实数k的值 解法一向量ka 2b与2a 4b平行 则存在惟一实数 使ka 2b 2a 4b ka 2b k 1 2 2 3 2 k 6 2k 4 2a 4b 2 1 2 4 3 2 14 4 k 6 2k 4 14 4 例1 即实数k的值为 1 法二 ka 2b k 1 2 2 3 2 k 6 2k 4 2a 4b 2 1 2 4 3 2 14 4 ka 2b与2a 4b平行 k 6 4 2k 4 14 0 解得k 1 点评共线问题是一类重要问题 证明共线问题常用方法 1 b a a 0 存在唯一实数 使b a 2 a x1 y1 b x2 y2 a b x1y2 x2y1 0 3 a与b共线 a b a b 已知 abc中a 7 8 b 3 5 c 4 3 m n是分别ab ac的中点 d是bc的中点 mn与ad交于f 求 例2 数量积的运算是本章的核心 由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度 角度以及不等式等 因此它的应用也最为广泛 利用数量积可以求长度 也可判断直线与直线之间的关系 相交的夹角以及垂直 还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数 不等式以及数列等知识融合在一起 当然更为重要的还在于向量与解析几何的交汇 专题二向量的数量积运算 例3 已知在等腰 abc中 bb cc 是两腰上的中线 且bb cc 求顶角a的余弦值的大小 例4 点评把几何图形放到适当的坐标系中 就赋予了有关点与向量具体的坐标 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而解决问题 这种解题方法具有普遍性 向量的应用主要体现在两个方面 一是在平面几何中的应用 向量的加法运算和全等 平行 数乘向量和相似 距离 夹角和向量的数量积之间有密切联系 因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题 二是在物理中的应用 主要解决力 位移 速度等问题 专题三平面向量的应用 如图所示 在 abc中 点m是bc的中点 点n在边ac上 且an 2nc am与bn相交于点p 求ap pm的值 例5 已知力f与水平方向的夹角为30 斜向上 f的大小为50n f拉着一个重80n的木块在摩擦因数 0 02的水平平面上运动了20m 问f 摩擦力f所做的功分别是多少 解设木块的位移为s 例6 点评用向量方法解决物理问题的步骤
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