高中数学 本章归纳整合(三)课件 苏教版选修21.ppt

知识网络 本章归纳整合 空间向量 1 空间向量的知识脉络 向量的概念 向量的运算 基本定理 直角坐标系 向量的坐标运算 应用 2 空间向量的概念 定义 具有大小和方向的量称为向量 向量相等 长度相等且方向相同 3 空间向量的运算 加法法则 平行四边形法则 三角形法则 减法法则 三角形法则 向量的数量积 a b a b cos 为a与b的夹角 要点归纳 1 4 空间向量的坐标运算 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 加减法 a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 实数与向量积 a x1 y1 z1 数量积 a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 6 空间向量平行 垂直的条件 两向量垂直 a b a b 0 两向量平行 a b b a a为非零向量 7 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在唯一的有序实数组x y z 使p xa yb zc 8 空间共面向量定理 如果两个向量a b不共线 则向量c与向量a b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x y 使c xa yb 平面的法向量若向量a所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作a 如果a 那么向量a叫做平面 的法向量 用空间向量处理立体几何问题的常用方法 1 证明空间的平行证明直线与平面平行 可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明平面与平面平行 可转化为证明这两个平面的法向量平行 证明直线和平面平行 也可以使用下面的定理 2 3 2 证明空间的垂直证明直线与平面垂直 可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线 证明平面与平面垂直 可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直 图 图 图 3 求空间的角度立体几何中的角的计算 均可转化为两个向量的夹角的计算 平面的斜线的方向向量与平面法向量的夹角余弦的绝对值等于该斜线与平面所成角的正弦 由此可求斜线与平面所成的角 如图 设n1 n2分别是二面角 l 中平面 的法向量 则n1 n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角 4 求空间的距离 专题一空间向量及其运算 向量是数形结合的典范 向量的几何表示法 有向线段表示法 是运用几何性质解决向量问题的基础 例1 如图 以点o为原点 建立空间直角坐标系 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 c x3 y3 z3 由点o在底面上的射影g为 abc的中心可得 点评 由二维到三维 任意一个向量可以用三个不共面的向量线性表示 求这样的表示式的常用方法有几何法 即上面的解法一 和代数法 即引入坐标 上面的解法二 向量作为数学运算的一种重要工具 在解决立体几何问题中有着广泛的应用 如向量共线定理有两方面的应用 一是利用定理证明向量共线 或三点共线 线线平行 二是逆用 即已知两个向量共线 那么其中一个向量必然可用另一个向量线性表示 专题二向量法解决共线 共面问题 例2 已知 e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 求证 1 e f g h四点共面 2 bd 平面efgh 点评 利用空间向量解决立体几何中的问题 首先要探索如何用空间向量来表示点线面在空间中的位置以及它们之间的关系 即要建立立体图形与向量之间的联系 然后将立体几何问题转化为空间向量问题 法向量为我们通过计算解决几何证明提供了方便 如证明直线与平面平行 可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明平面与平面平行 可转化为证明这两个平面的法向量平行 专题三向量法证明空间的平行与垂直 例3 解建立空间直角坐标系后 证明直线与平面垂直 可转化为证明直线的方向向量与平面上的某两个向量垂直 证明直线与平面平行 可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 证明如下 点评 通过本例的论证 我们充分体会到向量工具的优越性 几何问题数量化 使得论证更快捷 计算更简化 证明过程更易于表达 同学们可细细体会 如图 已知三棱锥o abc的侧棱oa ob oc两两垂直 且oa 1 ob oc 2 e是oc的中点 1 求异面直线be与ac所成角的余弦值 2 求二面角a be c的余弦值 专题四向量法计算空间的角度 例4 解 1 利用向量法求出两异面直线的方向向量的夹角 即可转化为异面直线所成角 具体过程如下 以o为原点 ob oc oa分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则有a 0 0 1 b 2 0 0 c 0 2 0 e 0 1 0 点评 1 异面直线所成角为锐角或直角 利用向量法求出两异面直线的方向向量夹角以后一定要注意等价转化 2 二面角与两平面法向量夹角的关系是相等或互补 而二面角到底是锐角还是钝角 要根据条件或结合图形得到 本题二面角是钝角 立体几何中的距离问题是高中数学的一个难点 也是一个重点 若用向量来处理这些距离问题 则思路简单 解法固定 如点到直线距离的求法 就是先求出该点与直线上某点连线在直线上的射影 再用勾股定理求对应的距离 专题五向量法计算空间的距离 例5 1 求证 ao 平面bcd 2 求点e到平面acd的距离 解利用向量法求空间距离问题 可以回避此类问题中大量的作图 证明等步骤 而转化为向量间的计算问题 本题的距离 通过适当建立坐标系后 正确地写出相关点的坐标及向量的坐标 即可运算求解 具体过程如下 而ac 2 ao2 co2 ac2 aoc 90 即ao oc 且bd oc o ao 平面bcd 点评 本题考查直线与平面的位置关系 点到平面的距离等基本知识 考查向量法解决立体几何问题 考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 空间向量是求解立体几何问题的一个重要工具 也是高考的一个重点 高考对空间向量的考查一般不单独命题 而是以一些综合性问题的形式进行考查 如空间中线面位置关系的论证 空间各种角的求解等 此外高考特别注重考查在给出的几何体中建立适当的直角坐标系 通过空间