高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式举例课件 新人教A版选修45.ppt

二用数学归纳法证明不等式举例 贝努利 bernoulli 不等式如果x是实数 且x 1 x 0 n为大于1的自然数 则有 1 x n 1 nx 1 在应用贝努利不等式时应注意什么 提示 在应用贝努利不等式时要注意应用条件x 1 且x 0 2 用数学归纳法证明3n n3 n 3 n n 第一步应验证 解析 由题意知n 3 所以应验证n 3 答案 n 3 3 用数学归纳法证明 a b是非负实数 n n 时 假设n k时不等式成立 再推证n k 1时不等式也成立的关键是将 式两边同乘 解析 对比k与k 1时的结论可知 两边只需同乘即可 答案 对贝努利 bernoulli 不等式的理解当指数n推广到任意实数 时 x 1时 若01 则 1 x 1 x 当且仅当x 0时等号成立 类型一用数学归纳法证明不等式 典型例题 1 用数学归纳法证明 2 求证 当n 2且n n 时 解题探究 1 利用数学归纳法证明题1时 首先验证n的初始值是多少 n k 1比n k时不等式左边增加了多少项 2 在题2中利用数学归纳法证明当n k 1不等式成立时 需要用到什么方法 需要注意什么 探究提示 1 利用数学归纳法证明题1时 根据n 2可知 需要验证的初始值为n 2 n k 1比n k时不等式左边增加了1项 2 在题2中利用数学归纳法证明当n k 1不等式成立时 需要用到放缩法 即利用不等关系进行放缩 需要注意的是放缩要得当 解析 1 1 当n 2时 命题成立 2 假设n k k n k 2 时命题成立 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 知原不等式在n 2时均成立 2 1 当n 2时 不等式的左边所以原不等式成立 2 假设当n k k 2 k n 时 不等式成立 即 当n k 1时 左边 因为所以左边所以 当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 知 不等式对大于1的正整数都成立 互动探究 将题2不等式右边的值改为如何证明呢 证明 1 当n 2时 左边不等式成立 2 假设当n k k 2 k n 时命题成立 即则当n k 1时 所以当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式对一切n 2 n n 均成立 误区警示 本题在由n k到n k 1时的推证过程中 1 一定要注意分析清楚命题的结构特征 即由n k到n k 1时不等式左端项数的增减情况 2 应用放缩技巧容易出现失误 要把握好放缩的尺度 拓展提升 数学归纳法证明不等式的技巧 1 证明不等式时 由n k到n k 1时的推证过程与证明等式有所不同 由于不等式中的不等关系 需要我们在证明时 对原式进行 放大 或者 缩小 才能使用到n k时的假设 所以需要认真分析 适当放缩 才能使问题简单化 这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一 2 数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起 如比较法 放缩法 配凑法 分析法和综合法等 才能完成证明过程 变式训练 用数学归纳法证明 对一切大于1的自然数 不等式均成立 证明 1 当n 2时 左边右边因为左边 右边 所以不等式成立 2 假设n k k 2 且k n 时不等式成立 即 则当n k 1时 所以当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 知 对于一切大于1的自然数n 不等式都成立 类型二归纳 猜想 证明 典型例题 1 2013 苏州高二检测 观察下列式子 试归纳出一个一般形式的式子 2 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n n 1 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 2 证明 解题探究 1 题1中不等式的左边有什么特点 右边呢 2 题2中如何猜测 an bn 的通项公式 分析题2第 2 问中的结构特点 使用什么方法解决较好 探究提示 1 题1中不等式的左边是每一个正整数平方的倒数和 不等式的右边进行变形后可以发现分母是与左端一致的正整数 而分子是2n 1 2 根据题目要求求出数列的前几项 然后分析这几项的结构特点 进行猜测 an bn 的通项公式 若特点不够明显 可以在猜测之后进行验证 然后选择数学归纳法进行证明 在第 2 问中 结合求出的通项公式 发现用裂项法进行求解较为方便 解析 1 由可以改写成由可以改写成由可以改写成 所以根据以上规律可知 答案 2 1 由条件得2bn an an 1 an 12 bnbn 1 由此可得a2 6 b2 9 a3 12 b3 16 a4 20 b4 25 猜测an n n 1 bn n 1 2 n n 用数学归纳法证明 当n 1时 由上可得结论成立 假设当n k时 结论成立 即ak k k 1 bk k 1 2 那么当n k 1时 ak 1 2bk ak 2 k 1 2 k k 1 k 1 k 2 所以当n k 1时 结论也成立 由 可知 an n n 1 bn n 1 2对一切正整数都成立 2 当n 1时 当n 2时 由 知an bn n 1 2n 1 2 n 1 n 故综上 原不等式成立 拓展提升 观察 归纳 猜想 证明的方法 1 这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题 2 命题的成立 不成立都预先需要归纳与探索 而归纳与探索多数情况下是从特例 特殊情况入手 得到一个结论 但这个结论不一定正确 因为这是靠不完全归纳法得出的 因此 需要给出逻辑证明 3 通过观察 分析 归纳 猜想 探索一般规律 其关键在于正确的归纳猜想 如果归纳不出正确的结论 那么数学归纳法的证明也就无法进行了 变式训练 已知数列 an 前n项和为sn 且满足sn an 2n 1 1 写出a1 a2 a3 并推测通项an的表达式 2 用数学归纳法证明所得的结论 解析 1 根据题意sn an 2n 1 可以求得猜想 2 当n 1时 结论成立 假设n k时 结论成立 则当n k 1时 a1 a2 ak 2ak 1 2 k 1 1 且a1 a2 ak 2k 1 ak 所以2k 1 ak 2ak 1 2 k 1 1 2k 3 所以即当n k 1时 结论成立 由 知对于任意n n 结论成立 类型三数学归纳法与数列的综合问题 典型例题 1 设数列 an 满足a1 2 an 1 n 1 2 证明 对一切正整数n成立 2 2013 潍坊高二检测 在数列 an 中 a1 2 an 1 an 2n 1 n n 1 求证 an 2n 为等差数列 2 设数列 bn 满足bn 2log2 an 1 n 证明 解题探究 1 题1中证明n k 1时不等式成立的关键是什么 2 等差数列的定义式是什么 探究提示 1 题1中证明n k 1时不等式成立的关键是利用好n k的假设以及n k 1时不等式的变形 2 an 1 an d 证明 1 1 当n 1时 不等式成立 2 假设当n k k 1 时 成立 当n k 1时 所以当n k 1时 成立 综上 对一切正整数n都成立 2 1 由an 1 an 2n 1得 an 1 2n 1 an 2n 1 因此 an 2n 成等差数列 2 an 2n a1 2 n 1 n 1 即an 2n n 1 bn 2log2 an 1 n 2n 下面用数学归纳法证明当n 1时 左端 右端 不等式成立 假设n k时不等式成立 即当n k 1时 因此不等式对于一切n n 都成立 拓展提升 求解数学归纳法与数列的综合问题的策略 1 首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差 等比数列的基础知识 这是解决这类问题的基础 2 这类题型通常与数列的递推公式 通项公式有关 有时要证明的式子是直接给出 有时是根据条件从前几项入手 通过观察 猜想 归纳出一个式子 然后再用数学归纳法证明 变式训练 2013 重庆高二检测 已知数列 an 的各项均为正数 a1 1 an 12 an2 2 1 求数列 an 的通项公式 2 证明对一切n n 恒成立 解析 1 由an 12 an2 2 a1 1得an2 2n 1 又an 0 所以 2 当n 1时 1 1成立 当n 2时 左边 右边 假设当n k时 成立 那么当n k 1时 说明n k 1时不等式成立 由 可得对一切n n 恒成立 利用数学归纳法证明探索型不等式 典型例题 1 设f n nn 1 g n n 1 n n n 1 当n 1 2 3 4时 比较f n 与g n 的大小 2 根据 1 的结果猜测一个一般性结论 并加以证明 2 已知函数g x x2 2x x 1 f x a b x ax bx 其中a b r a 1 b 1 a b 且ab 4 对于任意n n 试指出f n 与g 2n 的大小关系 并证明你的结论 解析 1 1 当n 1时 nn 1 1 n 1 n 2 此时 nn 1 n 1 n 当n 4时 nn 1 1024 n 1 n 625 此时 nn 1 n 1 n 2 根据上述结论 我们猜想 当n 3时 nn 1 n 1 n n n 恒成立 当n 3时 nn 1 34 81 n 1 n 43 64 即nn 1 n 1 n成立 假设当n k时 kk 1 k 1 k成立 即则当n k 1时 即 k 1 k 2 k 2 k 1成立 即当n k 1时不等式也成立 所以当n 3时 nn 1 n 1 n n n 恒成立 2 因为f n a b n an bn g 2n 4n 2n 1 当n 1时 f 1 0 g 2 0 有f 1 g 2 当n 2时 f 2 a b 2 a2 b2 2ab 8 g 22 42 23 8 有f 2 g 22 当n 3时 f 3 a b 3 a3 b3 3a2b 3ab2 3ab a b 3ab 48 g 23 43 24 48 有f 3 g 23 当n 4时 f 4 a b 4 a4 b4 4a3b 4ab3 6a2b2 4ab a2 b2 6a2b2 4ab 2ab 6a2b2 14a2b2 224 g 24 44 25 224 有f 4 g 24 由此推测当1 n 2时 f n g 2n 当n 3时 f n g 2n 下面用数学归纳法证明 当n 3时 由上述计算过程知结论成立 假设n k时 推测成立 即f k g 2k k 3 即 a b k ak bk 4k 2k 1 那么f k 1 a b k 1 ak 1 bk 1 a b a b k a ak b bk a b a b k ak bk akb abk 又依题设有f k 1 4 a b k ak bk 2k 2 4 4k 2k 1 2k 2 4k 1 2k 2 g 2k 1 即n k 1时 结论也成立 由 知n 3 n n 时 f n g 2n 都成立 综上 当1 n 2时 f n g 2n 当n 3 n n 时 f n g 2n 拓展提升 利用数学归纳法证明探索型不等式的思路 1 观察不等式各项的特点 先用初始值验证得出符合条件的未知数的值 2 判断是否符合题意 若符合 则猜想出一般结论 3 按照数学归纳法的步骤 利用数学归纳法证明 4 得出结论 问题解决 这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的 特别是在求解存在性或探索性问题时 规范解答 归纳 猜想 证明的求解思路 典例 条件分析 规范解答 1 当n 1时 x2 a1x a1 0有一根为s1 1 a1 1 于是 a1 1 2 a1 a1 1 a1 0 解得a1 2分当n 2时 x2 a2x a2 0有一根为s2 1 于是解得 4分 2 由题设 sn 1 2 an sn 1 an 0 即sn2 2sn 1 ansn 0 6分当n 2时 an sn sn 1 代入上式得sn 1sn 2sn 1 0 由 1 知 由 可得由此猜想n 1 2 3 8分 下面用数学归纳法证明这个结论 n 1时已知结论成立 9分 假设n k时结论成立 即当n k 1时 由 得 即故n k 1时结论也成立 10分 综上 由 可知 对所有正整数n都成立 于是当n 2时 又n 1时 所以 an 的通项公式为n 1 2 3 12分 失分警示 防范措施 1 关于猜想的技巧数学中的猜想往往是由特殊到一般的思想 所以首先要分析特例中的结构特点 从而寻求一般形式下的表现形式 达到猜想的目的 如本例 2 中先求出s1 s2 s3 再猜想 2 关于归纳法的第二步在利用数学归纳法证明问题时 一定要确认在n k 1时是否使用了n k的假设 这是检验数学归纳法是否正确使用的关键 所以一定要保证应用假设 如本例 2 中 处要用上n k的假设 3 关于结论的表述在求解综合问题时 最后结论的表述 必须是问题的正面回答 也就是说最后的结论一定要突出 完整 如本例 2 中证完后要进行归纳总结 类题试解 已知函数数列 an 满足条件 a1 1 an 1 f an 1 试比较与1的大小 并说明理由 解析 因为f x x2 1 an 1 f an 1 所以an 1 an 1 2 1 设函数g x x 1 2 1 x2 2x 因为g x 在区间 1 上单调递增 于是由a1 1 得a2 a1 1 2 1 22 1 进而得a3 a2 1 2 1 24 1 23 1 由此猜想 an 2n 1 下面用数学归纳法证明这个猜想 当n 1时 a1 21 1 1 结论成立 假设当n k k 1且k n 时结论成立 即ak 2k 1 则当n k 1时 由g x x 1 2 1在区间 1 上单调递增知 ak 1 ak 1 2 1 22k 1 2k 1 1 即n k 1时 结论也成立 由 知 对任意n n 都有an 2n 1 即1 an 2n 所以所以 1 用数学归纳法证明 n n n 且n 1 时