高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）阶段复习课 第四章 圆与方程课件 新人教A版必修2.ppt

阶段复习课第四章 答案速填 标准方程 相离 相切 相交 类型一求圆的方程圆的方程的求法及注意点 1 求圆的方程的常用方法有待定系数法 几何法等 运用待定系数法时 要充分利用题目中提供的条件来确定三个独立的参数 使用几何法时 要充分利用圆的有关性质 如垂径定理 半径 弦长的一半 弦心距构成直角三角形 等 2 如果已知条件容易求得圆心坐标 半径 则一般选用圆的标准方程 否则选用圆的一般方程 典例1 1 过点a 1 2 且与两坐标轴同时相切的圆的方程为 a x 1 2 y 1 2 1或 x 5 2 y 5 2 25b x 1 2 y 3 2 2c x 5 2 y 5 2 25d x 1 2 y 1 2 1 2 求经过两点p 2 4 q 3 1 且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程 解析 1 选a 由题意可设圆心为 a a 则半径r a 圆方程为 x a 2 y a 2 a2 又点a 1 2 在圆上 所以 1 a 2 2 a 2 a2 解得a 1或a 5 所以所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 1或 x 5 2 y 5 2 25 2 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 将p q两点的坐标分别代入 得 又令y 0 得x2 dx f 0 由已知 得 x1 x2 6 其中x1 x2是方程x2 dx f 0的两根 所以d2 4f 36 联立组成方程组 解得或所以所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0或x2 y2 6x 8y 0 类型二直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的种类及常见的问题 1 直线与圆的位置关系有 相离 相切和相交 判定的方法有代数法和几何法 其中几何法较常用 比代数法的运算量要小 2 直线与圆相离 常见的问题有 利用圆心到直线的距离d与半径r的关系求一些参数的范围 在圆上求一些最值问题 如设圆心到直线的距离为d 设圆上点到线上点的距离为d 则d r d d r 3 直线与圆相切 常见的问题有 求切线方程或已知直线与圆相切求一些参数的值 这些问题一般都利用圆心到直线的距离等于半径进行解题 可以直接解三角形 也可以利用d r解方程 确定待定系数 4 直线与圆相交 常见的问题有 求交点 求弦长 圆的弦长公式l r表示圆的半径 d表示弦心距 利用这一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式l 要方便 典例2 已知圆c和y轴相切 圆心在直线x 3y 0上 且被直线y x截得的弦长为求圆c的方程 解析 设圆c的方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 由圆c与y轴相切得 a r 又圆心在直线x 3y 0上 所以a 3b 0 圆心c a b 到直线y x的距离为因为弦心距d 半径r及弦的一半构成直角三角形 所以 r2 联立 解方程组可得或故圆c的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 类型三圆与圆的位置关系判定圆与圆的位置关系的方法 1 代数法 通过两圆方程组成方程组的解的个数进行判断 2 几何法 典例3 1 两圆x2 y2 r2 x 3 2 y 4 2 4相切 则正实数r的值为 2 如图 已知圆心坐标为m 1 的圆m与x轴及直线y x均相切 切点分别为a b 另一圆n与圆m x轴及直线y x均相切 切点分别为c d 求圆m和圆n的方程 过b点作mn的平行线l 求直线l被圆n截得的弦长 解析 1 当两圆外切时 两圆圆心的距离d 5 由题意 得r 2 5 所以r 3 当两圆内切时 由题意知r 2 5 即r 7 答案 3或7 2 由于圆m与 boa的两边均相切 故m到oa及ob的距离均为圆m的半径 则m在 boa的平分线上 同理 n也在 boa的平分线上 即o m n三点共线 且mn为 boa的平分线 因为m的坐标为m 1 所以m到x轴的距离为1 即圆m的半径为1 所以圆m的方程为 x 2 y 1 2 1 设圆n的半径为r r 0 由rt oam rt ocn 得om on ma nc 即解得r 3 故oc 所以圆n的方程为 x 2 y 2 9 由对称性可知 所求弦长等于过a点的mn的平行线被圆n截得的弦长 此弦所在直线方程为即圆心n到该直线的距离则弦长 类型四数形结合思想的运用对数形结合思想的认识数形结合思想 就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想 根据解决问题的需要 可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论 或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究 简而言之 就是 数形结合取长补短 典例4 圆x2 2x y2 4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为的点共有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选c 圆x2 2x y2 4y 3 0的圆心c的坐标为 1 2 半径r 如图所示 圆心c到直线x y 1 0的距离为故过圆心c与直线x y 1 0平行的直线l与圆的两个交点a b到直线x y 1 0的距离为又圆的半径r 故过圆心c作 直线x y 1 0的垂线段 并延长与圆的交点c 到直线x y 1 0的距离为故选c 跟踪训练 1 方程x2 y2 dx ey f 0表示的曲线是以 2 3 为圆心 4为半径的圆 则d e f的值分别为 a 4 6 3b 4 6 3c 4 6 3d 4 6 3 解析 选d 圆心为 所以 2 3 所以d 4 e 6 又r 代入算得f 3 2 直线x y 2 0被圆 x 1 2 y2 1截得的线段的长为 a 1b c d 2 解析 选c 圆心到直线的距离所以弦长l 3 已知方程x2 y2 kx 2y k2 0所表示的圆有最大的面积 则取最大面积时 该圆的圆心的坐标为 a 1 1 b 1 0 c 1 1 d 0 1 解析 选d r 1 即当有最大半径时有最大面积 此时k 0 半径为1 圆心为 0 1 4 一动点在圆x2 y2 1上移动时 它与定点b 3 0 连线的中点轨迹是 a x 3 2 y2 4b x 3 2 y2 1c x 2 y2 1d 2x 3 2 4y2 1 解析 选d 设圆上任意一点为a x y ab的中点为p x y 则即由于a x y 在圆x2 y2 1上 所以满足x 2 y 2 1 即 2x 3 2 4y2 1 5 已知直线l经过坐标原点 且与圆x2 y2 4x 3 0相切 切点在第四象限 则直线l的方程为 解析 设切线方程为y kx 代入圆方程中 得 1 k2 x2 4x 3 0 由 0 解得k 舍去k 所以切线方程为x y 0 答案 x y 0 6 已知圆c x 1 2 y 2 2 25 直线l 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 m r 1 证明 不论m取什么实数 直线l必与圆相交 2 求直线被圆c截得的弦长最小时l的方程 解析 1 直线方程可变形为 2x y 7 m x y 4 0 因为