高中数学 阶段复习课 第二讲 证明不等式的基本方法课件 新人教A版选修45.ppt

阶段复习课第二讲 答案速填 分析法 放缩法 作差法 作商法 类型一比较法证明不等式比较法证明不等式的依据及步骤比较法证明不等式的依据 不等式的意义及实数比较大小的充要条件 作差比较法证明不等式的一般步骤 作差 恒等变形 判断结果的符号 下结论 其中 变形是证明推理中一个承上启下的关键 变形的目的在于判断差的符号 而不是考虑差能否化简或值是多少 变形所用的方法要具体情况具体分析 可以配方 可以因式分解 可以运用一切有效的恒等变形 典例1 设a b 0 且a b 比较与a b的大小 解析 因为a 0 b 0 且a b 所以a b a b 2 a2 ab b2 均为正数 所以所以 类型二综合法证明不等式综合法证明不等式的依据与技巧综合法证明不等式的依据 已知的不等式以及逻辑推证的基本理论 证明时要注意 作为依据和出发点的几个重要不等式 已知或已证 成立的条件往往不同 应用时要先考虑是否具备应有的条件 避免错误 如一些带等号的不等式 应用时要清楚取等号的条件 即对重要不等式中 当且仅当 时 取等号 的理由要理解掌握 综合法证明不等式的思维方向是 顺推 即由已知的不等式出发 逐步推出其必要条件 由因导果 最后推导出所要证明的不等式成立 典例2 设a b c为不全相等的正数 且abc 1 求证 证明 因为a 0 b 0 c 0 且abc 1 所以又同理 因为a b c不全相等 所以上述三个不等式中的等号不能同时成立 所以即所以 类型三分析法证明不等式分析法证明不等式的依据及策略分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论 分析法证明不等式的思维方向是 逆推 即由待证的不等式出发 逐步寻找使它成立的充分条件 执果索因 最后得到的充分条件是已知 或已证 的不等式 当要证的不等式不知从何入手时 可考虑用分析法去证明 特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效 典例3 已知 abc的三边a b c的倒数成等差数列 试用分析法证明 b为锐角 证明 要证明 b为锐角 只需证cosb 0 又因为所以只需证a2 c2 b2 0 即a2 c2 b2 因为a2 c2 2ac 所以只需证2ac b2 由已知即2ac b a c 所以只需证b a c b2 即a c b 显然成立 所以 b为锐角 类型四反证法与放缩法反证法的证明步骤与常见命题运用反证法证明不等式 主要有以下两个步骤 作出与所证不等式相反的假设 从条件和假设出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结论 否定假设 从而证明原不等式成立 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题 涉及 都是 都不是 至少 至多 等形式的命题 也常用反证法 典例4 已知0 x 2 0 y 2 0 z 2 求证 x 2 y y 2 z z 2 x 不都大于1 证明 假设x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 x 1均成立 则三式相乘有 xyz 2 x 2 y 2 z 1 由于0 x 2 所以0 x 2 x x2 2x x 1 2 1 1 同理 0 y 2 y 1 且0 z 2 z 1 所以三式相乘得0 xyz 2 x 2 y 2 z 1 与 矛盾 故假设不成立 所以x 2 y y 2 z z 2 x 不都大于1 典例5 求证 证明 故 跟踪训练 1 若a b c n n 且恒成立 则n的最大值为 a 2b 3c 4d 5 解析 选c 2 求证 证明 欲证只需证只需证 只需证只需证只需证21 25 这显然成立 所以 上述证明过程应用了 a 综合法b 分析法c 综合法 分析法配合使用d 间接证法 解析 选b 根据分析法的特点可知 上述证明过程是分析法 3 如果loga3 logb3且a b 1 那么 a 0 a b 1b 0 b a 1c 1 a bd 1 b a 解析 选a 因为a 0 b 0 a b 1 所以0 a 1 0 b 1 所以lga 0 lgb 0 由所以0 a b 1 4 已知a 0 b 0 则m与n的大小关系为 解析 因为所以所以所以所以m n 答案 m n 5 已知0 a 1 求证 证明 因为 3a 1 2 0 所以9a2 6a 1 0 所以1 3a 9a 1 a 因为0 a 1 所以即所以 6 已知a2 b2 1 x2 y2 1 试用分析法证明 ax by 1 证明 要证ax by 1成立 只需证1 ax by 0 只需证2 2ax 2by 0 因为a2 b2 1 x2 y2 1