中考数学 第二十三讲 相似配套课件 北师大版.ppt

第二十三讲相似 1 了解 线段的比及比例线段的概念 比例的基本性质 相似三角形 相似多边形 位似图形的概念 2 掌握 相似三角形的性质和判别条件 3 能 灵活运用相似三角形知识进行有关的计算和证明 利用图形的相似解决一些实际问题 一 成比例线段1 比例线段 四条线段a b c d中 如果a与b的比 c与d的比 即 那么这四条线段a b c d叫做成比例线段 简称比例线段 等于 2 比例的性质 1 a b c d都不等于0 2 a b c d都不等于0 3 如果 b d n 0 那么 ad bc 3 线段的黄金分割 如图 点c把线段ab分成两条线段ac和bc ac bc 如果 那么称线段ab被点c黄金分割 点c叫做线段ab的 ac与ab的比叫做 即 黄金分割点 黄金比 0 618 1 即时应用 1 如果a b c d成比例线段 且a 2 b 3 c 4 则a b c的第四比例项d为 2 若3a 5b 则 3 线段ab 6cm 点c是ab的黄金分割点 且ac bc 则ac cm 6 二 相似三角形1 性质 1 相似三角形 的比 对应角平分线的比和 的比都等于 2 周长比等于 3 面积比等于 2 判别 1 两角对应 的两个三角形相似 2 三边对应 的两个三角形相似 3 两边对应 且夹角 的两个三角形相似 对应高 对应中线 相似比 相似比 相似比的平方 相等 成比例 成比例 相等 即时应用 1 两个等边三角形的边长分别为4和6 则它们的对应高的比为 2 已知 abc与 def相似且对应中线的比为1 3 则 abc与 def的周长比为 面积之比为 2 3 1 3 1 9 3 如图 在平行四边形abcd中 点 为 的中点 am的延长线与bc的延长线相交于点e 那么图中共有 对相似三角形 3 三 位似图形1 定义 如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在的直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做 这时的相似比又称为 相似图形 同一个点 位似中心 位似比 2 性质 1 位似图形上任意一对对应点到 的距离之比等于 2 对应线段的比等于 3 周长比等于 4 面积比等于 位似中心 位似比 位似比 位似比 位似比的平方 即时应用 1 如图所示 def是由 abc经过位似变换得到的 点o是位似中心 d e f分别是oa ob oc的中点 则 def与 abc的面积比是 1 4 2 如图 已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形 每个小正方形的顶点称为格点 若 abc与 a1b1c1是位似图形 且顶点都在格点上 则位似中心的坐标是 9 0 核心点拨 1 成比例线段具有顺序性 即四条线段a b c d成比例 则记作a b c d 2 判别两多边形相似 只能用定义证明 即证明所有的对应角相等 所有的对应边成比例 相似三角形的性质和判别 例1 2012 上海中考 在 abc中 点d e分别在ab ac上 aed b 如果ae 2 ade的面积为4 四边形bced的面积为5 那么边ab的长为 思路点拨 自主解答 因为 aed b a a 所以 ade acb 所以所以 又因为ae 2 所以ab 3 答案 3 对点训练 1 2011 北京中考 如图 在梯形abcd中 ad bc 对角线ac bd相交于点o 若ad 1 bc 3 则的值为 a b c d 解析 选b 由ad bc得 dao bco ado cbo 因此 aod cob 所以 2 2012 荆门中考 下列4 4的正方形网格中 小正方形的边长均为1 三角形的顶点都在格点上 则与 abc相似的三角形所在的网格图形是 解析 选b abc的三边分别为 选项b中的三边分别为2 4 因为所以选项b中的三角形和 abc相似 3 2012 聊城中考 如图 abc中 点d e分别是ab ac的中点 下列结论不正确的是 a bc 2de b ade abc c d s abc 3s ade 解析 选d 根据三角形中位线定义与性质可知 bc 2de 因de bc 所以 ade abc ad ab ae ac 即ad ae ab ac s abc 4s ade 所以选项d错误 4 2011 铜仁中考 已知 如图 在 abc中 aed b 则下列等式成立的是 a b c d 解析 选c 因为 aed b 又因为 a是公共角 根据 一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等 它们相似 可以判定它们相似 再根据相似三角形的对应边成比例 可得 位似图形 例2 2011 东营中考 如图 abc中 a b两个顶点在x轴的上方 点c的坐标是 1 0 以点c为位似中心 在x轴的下方作 abc的位似图形 a b c 并把 abc的边长放大到原来的2倍 设点b的对应点b 的横坐标是a 则点b的横坐标是 a b c d 思路点拨 分别过点b和b 作x轴的垂线段 设出点b的横坐标为x 利用它们的位似比列出关于a和x的方程 然后通过方程求解 自主解答 选d 如图所示 过点b作bd x轴于点d 过点b 作b f x轴于点f 则cf 2cd 设点b的横坐标为x 则有2 1 x a 1 解得x a 3 对点训练 5 如图是某视力表的一部分 其中最上面较大的 e 与下面四个较小 e 中的哪一个是位似图形 a 左上 b 左下 c 右上 d 右下 解析 选b 两个 e 中的对应点的连线相交于一点 这两个图形是位似图形 6 2012 威海中考 如图 在平面直角坐标系中 abc的顶点坐标分别为 4 0 8 2 6 4 已知 a1b1c1的两个顶点的坐标为 1 3 2 5 若 abc与 a1b1c1位似 则 a1b1c1的第三个顶点的坐标为 解析 由位似图形的作图方法作出图形 即可得第三个顶点的坐标为 3 4 或 0 4 答案 3 4 或 0 4 归纳整合 位似图形是相似图形的特例 所以位似图形具有相似图形的一切性质 即位似图形的对应边成比例 对应角相等 它们的周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的平方 7 2012 河北中考 如图1 点e是线段bc的中点 分别以b c为直角顶点的 eab和 edc均是等腰直角三角形 且在bc的同侧 1 ae和ed的数量关系为 ae和ed的位置关系为 2 在图1中 以点e为位似中心 作 egf与 eab位似 点h是bc所在直线上的一点 连接gh hd 分别得到了图2和图3 在图2中 点f在be上 egf与 eab的相似比是1 2 h是ec的中点 求证 gh hd gh hd 在图3中 点f在be的延长线上 egf与 eab的相似比是k 1 若bc 2 请直接写出ch的长为多少时 恰好使得gh hd且gh hd 用含k的代数式表示 解析 1 ae edae ed 2 由题意 b c 90 ab be ec dc egf与 eab位似且相似比是1 2 gfe b 90 gf ab ef eb gfe c eh hc ec gf hc fh fe eh hgf dhc gh hd ghf hdc 又 hdc dhc 90 ghf dhc 90 ghd 90 gh hd ch的长为k 相似三角形的实际应用 例3 2010 自贡中考 如图是一个常见铁夹的侧面示意图 oa ob表示铁夹的两个面 c是轴 cd oa于点d 已知da 15mm do 24mm dc 10mm 我们知道铁夹的侧面是轴对称图形 请求出a b两点间的距离 思路点拨 自主解答 作出示意图 连接ab 同时连接oc并延长交ab于e 因为夹子的侧面是轴对称图形 故oe是对称轴 oe ab ae be rt ocd rt oae 而oc 26 mm 即 ae 15 mm ab 2ae 30mm 对点训练 8 2012 烟台中考 如图是跷跷板示意图 横板ab绕中点o上下转动 立柱oc与地面垂直 设b点的最大高度为h1 若将横板ab换成横板a b 且a b 2ab o仍为a b 的中点 设b 点的最大高度为h2 则下列结论正确的是 a h2 2h1 b h2 1 5h1 c h2 h1 d h2 h1 解析 选c 如图所示 o为ab的中点 oc ad bd ad oc bd oc是 abd的中位线 h1 2oc 同理 将横板ab换成横板a b 且a b 2ab o仍为a b 的中点 设b 点的最大高度为h2 则h2 2oc h1 h2 9 2012 北京中考 如图 小明同学用自制的直角三角形纸板def测量树的高度ab 他调整自己的位置 设法使斜边df保持水平 并且边de与点b在同一直线上 已知纸板的两条直角边de 40cm ef 20cm 测得边df离地的高度ac 1 5m cd 8m 则树高ab m 解析 由题意知 def与 dcb相似 则 即 解得bc 4m 所以ab ac bc 5 5 m 答案 5 5 10 2011 浙江中考 如图 工地上竖着两根电线杆ab cd 它们相距15m 分别自两杆上高出地面4m 6m的a c处 向两侧地面上的e d b f处拉紧 以固定电线杆 那么钢丝绳ad与bc的交点p离地面的高度为 解析 过p作ph bd交bd于点h 设ph xm 则 phd abd bhp bdc 解得x 2 4 答案 2 4m 创新命题 相似三角形中的分类讨论 例 2011 泰州中考 一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 30cm 36cm 要做一个与它相似的铝质三角形框架 现有长为27cm 45cm的两根铝材 要求以其中的一根为一边 从另一根上截下两段 允许有余料 作为另外两边 截法有 a 0种 b 1种 c 2种 d 3种 解题导引 此题应进行分类讨论 1 假设以27cm为一边 把45cm截成两段 2 假设以45cm为一边 把27cm截成两段 分别计算两种情况下所需边长 规范解答 选b 1 假设以27cm为一边 把45cm截成两段 设这两段分别为xcm ycm x y 则可得 或 注 27cm不可能是最小边 由 解得x 18 y 22 5 符合题意 由 解得x y x y 54 45 不合题意 舍去 2 假设以45cm为一边 把27cm截成两段 设这两段分别为xcm ycm x y 则可得 注 只能是45是最大边 解得x 30 y x y 30 37 5 67 5 27 不合题意 舍去 综合以上可知 截法只有一种 名师点评 通过对相似三角形中的分类讨论试题的分析和总结 我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示 2011 聊城中考 如图 在直角坐标系中 矩形oabc的顶点o