中考数学 第十四讲 二次函数配套课件 北师大版.ppt

第十四讲二次函数 1 理解 二次函数的概念 2 掌握 二次函数的三种表示方法 二次函数的图象和性质 3 会 画二次函数的图象 求二次函数的关系式 4 能 灵活运用二次函数的有关性质解决实际问题 一 二次函数的概念及其表达式1 二次函数的概念一般地 形如 a b c是常数 a 0 的函数叫做x的二次函数 2 二次函数的表达式 1 一般式 2 顶点式 y a x h 2 k a 0 其顶点坐标是 y ax2 bx c y ax2 bx c a 0 h k 即时应用 1 若函数y m 1 是二次函数 则m 2 函数y a b x2 2x 1是二次函数的条件是 3 二次函数y 2x2 4x 3化成y a x h 2 k的形式是 其开口方向是 1 a b y 2 x 1 2 5 向下 二 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与性质 向下 向上 当时 y随x的增大而减小 当时 y随x的增大而增大 当时 y随x的增大而增大 当时 y随x的增大而减小 当时 y最小值 当时 y最大值 即时应用 1 y x 1 2 2的顶点坐标是 2 二次函数的对称轴为直线 3 已知二次函数y 3x2 12x 13 则函数值y的最小值是 1 2 x 2 1 三 图象的平移将二次函数y ax2 a 0 的图象进行平移 可得到y a x h 2 k的图象 将y ax2的图象 h 0 或 h 0 平移 个单位 再 k 0 或 k 0 平移 个单位 即可得到y a x h 2 k的图象 其顶点坐标是 对称轴是直线 形状 开口方向与抛物线y ax2相同 向左 向右 h 向上 向下 k h k x h 即时应用 1 将y x2的图象向右平移3个单位 则平移后的图象的关系式为 2 将二次函数y 2 x 1 2 3的图象沿着y轴向上平移3个单位 那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是 3 抛物线y x2 2x 2经过平移得到y x2 平移方法是 y x 3 2 1 0 向左 平移1个单位 再向上平移1个单位 记忆助手 二次函数的图象与性质 二次函数抛物线 图象对称是关键 开口 顶点和交点 它们确定图象现 开口 大小由a断 c与y轴来相见 b的符号较特别 符号与a相关联 顶点位置先找见 y轴作为参考线 左同右异中为0 牢记心中莫混乱 顶点坐标最重要 一般式配方它就现 横标即为对称轴 纵标函数最值见 一般 顶点式 不同表达能互换 核心点拨 1 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象的形状只与a的取值有关 a的符号决定开口方向 a的绝对值决定开口大小 a的绝对值越大 开口越小 2 二次函数的一般式和顶点式可以相互转化 利用配方法可以将一般式化为顶点式 将顶点式的平方项展开合并后可以得到一般式 判断与a b c有关的代数式的符号 例1 2011 莱芜中考 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象 则函数y 与y acx的图象在同一坐标系中大致是 思路点拨 确定a b c的符号 确定ab的符号 确定双曲线的位置 确定ac的符号 判断直线所经过的象限 自主解答 选a 先由二次函数y ax2 bx c a 0 的图象开口向下可得a0 从而可确定函数的图象在第二 四象限 函数y acx的图象经过第一 三象限 因此只有a项正确 对点训练 1 2012 重庆中考 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 对称轴为 下列结论中 正确的是 a abc 0 b a b 0 c 2b c 0 d 4a c 2b 解析 选d 观察图形可知 a 0 c0 所以abc 0 由对称轴可知解得a b 由对称轴可知 抛物线上横坐标为1的点与横坐标为 2的点 关于对称轴对称 由图象可知 当x 1时 函数值小于0即a b c 0 又a b 2b c 0 把x 2代入y ax2 bx c a 0 可得 4a 2b c 0 即4a c 2b 2 2012 日照中考 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 给出下列结论 b2 4ac 0 2a b 0 4a 2b c 0 a b c 1 2 3 其中正确的是 a b c d 解析 选d 由图象知 a0 b2 4ac 0 由对称轴可知 2a b 0 再由图象可知当x 2时 y 0 即4a 2b c 0 再由得a b c 1 2 3 故 正确 错误 3 2011 雅安中考 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图 其对称轴是x 1 给出下列结果 b2 4ac abc 0 2a b 0 a b c 0 a b c 0 则正确的结论是 a b c d 解析 选d 对二次函数y ax2 bx c中各系数的意义的理解是学习二次函数必备的知识要点 本题考查了抛物线与x轴的交点情况 对称轴情况等 其中当x 1 1时 对应的y的值分别为正数与负数 故 正确 对称轴为x 1 所以b 2a 即2a b 0 错误 又抛物线与x轴有两个交点 故b2 4ac成立 而图象开口向上 所以a 0 交y轴于负半轴 故c0 故abc 0 因此选择d 二次函数图象的平移规律 例2 2012 扬州中考 将抛物线y x2 1先向左平移2个单位 再向下平移3个单位 那么所得抛物线的函数关系式是 a y x 2 2 2 b y x 2 2 2 c y x 2 2 2 d y x 2 2 2 思路点拨 先向左移2个单位 再向下平移3个单位 自主解答 选b 把抛物线y x2 1向左平移2个单位 得到抛物线的函数关系式为y x 2 2 1 再向下平移3个单位 得到抛物线的函数关系式为y x 2 2 1 3 即y x 2 2 2 对点训练 4 2011 莆田中考 抛物线y 6x2可以看作是由抛物线y 6x2 5按下列何种变换得到 a 向上平移5个单位 b 向下平移5个单位 c 向左平移5个单位 d 向右平移5个单位 解析 选b 抛物线y 6x2的顶点坐标是 0 0 而抛物线y 6x2 5的顶点坐标是 0 5 从顶点坐标上可以看出向下平移了5个单位 5 2011 河池中考 把二次函数y x2的图象沿着x轴向右平移2个单位 再向上平移3个单位 所得到的函数图象的关系式为 a y x 2 2 3 b y x 2 2 3 c y x 2 2 3 d y x 2 2 3 解析 选b 由二次函数图象的平移规律可知 左加右减 上加下减 即y x2沿x轴向右平移2个单位y x 2 2向上平移3个单位y x 2 2 3 变式训练 上题中 如果改为 把二次函数y x 2 2 3的图象平移到y x2 应怎样平移 解析 应相对于上题反方向平移 即二次函数y x 2 2 3的图象向左平移2个单位 再向下平移3个单位可得y x2 6 2012 上海中考 将抛物线y x2 x向下平移2个单位 所得抛物线的表达式是 解析 抛物线向下平移2个单位 所以函数值减少2 故所得抛物线的表达式为y x2 x 2 答案 y x2 x 2 与二次函数关系式有关的计算 例3 2011 佛山中考 如图 已知二次函数y ax2 bx c的图象经过a 1 1 b 0 2 c 1 3 1 求二次函数的关系式 2 画出二次函数的图象 思路点拨 1 把已知点代入函数关系式 建立关于a b c的方程组 求出a b c 2 确定对称轴 根据抛物线的对称性画图象 自主解答 1 根据题意 得解得a 1 b 2 c 2 所以二次函数的关系式为y x2 2x 2 2 如图 对点训练 7 2012 枣庄中考 抛物线y ax2 bx 3经过点 2 4 则代数式8a 4b 1的值为 a 3 b 9 c 15 d 15 解析 选c 把点 2 4 代入y ax2 bx 3得 4a 2b 3 4 即4a 2b 7 所以8a 4b 1 2 4a 2b 1 2 7 1 15 8 2011 舟山中考 如图 已知二次函数y x2 bx c的图象经过点 1 0 1 2 当y随x的增大而增大时 x的取值范围是 解析 把点 1 0 1 2 代入y x2 bx c 得解得 y x2 x 2 二次函数的对称轴为 当y随x的增大而增大时 x的取值范围是x 答案 x 9 2011 龙东中考 已知抛物线与直线y x 3分别交于x轴和y轴上同一点 交点分别是点a和点c 且抛物线的对称轴为直线x 2 1 求出抛物线与x轴的两个交点a b的坐标 2 试确定抛物线的关系式 3 观察图象 请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 解析 1 y x 3中 当y 0时 x 3 点a的坐标为 3 0 当x 0时 y 3 点c的坐标为 0 3 抛物线的对称轴为直线x 2 点a与点b关于直线x 2对称 点b的坐标是 1 0 2 设二次函数的关系式为y ax2 bx c 二次函数的图象经过点c 0 3 和点a 3 0 且对称轴是直线x 2 可得方程组解得 二次函数的关系式为y x2 4x 3 3 由图象观察可知 当 3 x 0时 二次函数值小于一次函数值 创新命题 数形结合求二次函数的最值 例 2011 本溪中考 我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元的工艺品 投放市场试销后发现每天的销售量y 件 是售价x 元 件 的一次函数 当售价为22元 件时 每天销售量为780件 当售价为25元 件时 每天销售量为750件 1 求y与x的函数关系式 2 如果该工艺品售价最高不超过每件30元 那么售价定为每件多少元时 工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大 最大利润是多少元 利润 售价 成本 解题导引 通过列方程组 解方程组 求出一次函数的关系式 从而列出利润关于x的二次函数 然后通过配方 结合自变量的取值范围 求出最值 规范解答 1 设y与x的一次函数关系式为y kx b k 0 把x 22 y 780 x 25 y 750代入 得解得所以函数关系式为y 10 x 1000 2 设该工艺品每天获得的利润为w元 则w y x 20 10 x 1000 x 20 10 x 60 2 16000 10 0 当20 x 30时 w随x的增大而增大 所以当售价定为30元 件时 该工艺品每天获得的利润最大 即w最大 10 30 60 2 16000 7000 元 答 售价定为30元 件时 工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大 最大利润是7000元 名师点评 通过对此类运算的分析和总结 我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示 1 2010 温州中考 已知二次函数的图象 0 x 3 如图所示 关于该函数在所给自变量取值范围内 下列说法正确的是 a 有最小值0 有最大值3 b 有最小值 1 有最大值0 c 有最小值 1 有最大值3 d 有最小值 1 无最大值 解析 选c 从图上观察知 当x 1时 有最小值 1 当x 3时 有最大值3 2 2011 玉林中考 已知抛物线y x2 2 当1 x 5时 y的最大值是 a 2 b c d 解析 选c 抛物线y x2 2的对称轴是x 0 因为抛物线开口向下 在对称轴的右侧y随x的增大而减小 所以