高中数学 2.2.2.2椭圆方程及性质的应用课件 新人教A版选修21 .ppt

第2课时椭圆方程及性质的应用 题型示范 类型一直线与椭圆的位置关系 典例1 1 若直线y kx 1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点 则m的取值范围为 2 判断直线l 和椭圆2x2 3y2 6是否有公共点 解题探究 1 题 1 中直线y kx 1是否恒过定点 若恒过定点 过哪个定点 当点在什么位置时 经过该点的直线总与椭圆有公共点 2 题 2 判断直线是否与椭圆有公共点 常用什么方法 探究提示 1 恒过定点 0 1 当点在椭圆上或在椭圆内部时 经过该点的直线与椭圆总有公共点 2 判断直线与椭圆是否有公共点 往往利用判别式的符号进行判断 自主解答 1 方法一 由消去y 整理得 m 5k2 x2 10kx 5 1 m 0 所以 100k2 20 m 5k2 1 m 20m 5k2 m 1 因为直线与椭圆总有公共点 所以 0对任意k r都成立 因为m 0 所以5k2 1 m恒成立 所以1 m 0 即m 1 又因为椭圆的焦点在x轴上 所以0 m 5 所以1 m 5 方法二 因为直线y kx 1过定点m 0 1 所以要使直线与该椭圆总有公共点 则点m 0 1 必在椭圆内或椭圆上 由此得解得1 m 5 答案 1 5 2 由得即 因此直线与椭圆没有公共点 延伸探究 题 2 条件不变 问椭圆上是否存在一点 它到直线l的距离最大 最大距离是多少 解析 因为直线l与椭圆2x2 3y2 6不相交 设与椭圆相切的直线m平行于直线l 则直线m的方程为 由方程组消去y得 即由 0 得或 当时 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最远 此时m的方程为直线m与直线l的距离所以最大距离为 方法技巧 直线与椭圆位置关系的判断方程 变式训练 已知椭圆c 一个顶点为a 0 2 1 若将椭圆c绕点p 1 2 旋转180 得到椭圆d 求椭圆d的方程 2 若椭圆c与直线y kx m k 0 相交于不同的m n两点 且 am an 求m的取值范围 解析 1 由题意得 椭圆c的对称中心 0 0 关于点p 1 2 的对称点为 2 4 且对称轴平行于坐标轴 长轴 短轴的长度不变 故将椭圆c绕点p 1 2 旋转180 得到椭圆d的方程为 2 设m x1 y1 n x2 y2 所以 am an 所以a在线段mn的垂直平分线上 把m x1 y1 n x2 y2 分别代入椭圆c 得 用 减去 得 所以再由垂直平分线的性质得所以所以y1 y2 2 所以x1 x2 3k y1 y2 6k 故mn的中点 3k 1 把y kx m代入椭圆c 得 1 3k2 x2 6kmx 3m2 12 0 所以x1 x2 6k 所以m 1 3k2 所以 mx2 6kmx 3m2 12 0 由题意知 判别式大于0 即36k2m2 4m 3m2 12 0 m m 4 0 所以0 m 4 故m的取值范围为 0 4 补偿训练 已知以f1 2 0 f2 2 0 为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点 求椭圆的长轴长 解析 设椭圆长轴长为2a 且a 2 则椭圆方程为由得 因为直线与椭圆只有一个交点 所以 0 即192 a2 4 2 16 a2 3 16 a2 a2 4 0 解得a 0 舍去 a 2 舍去 所以长轴长 类型二弦长及中点弦问题 典例2 1 2014 衡水高二检测 椭圆4x2 9y2 144内一点p 3 2 过点p的弦恰好以p为中点 那么这弦所在的直线方程为 a 3x 2y 12 0b 2x 3y 12 0c 4x 9y 144 0d 9x 4y 144 0 2 2014 济宁高二检测 已知椭圆c的对称轴为坐标轴 且短轴长为4 离心率为 求椭圆c的方程 设椭圆c的焦点在y轴上 斜率为1的直线l与c相交于a b两点 且求直线l的方程 解题探究 1 题 1 求弦所在直线的方程 还需确定什么 如何利用中点这个条件 2 题 2 求弦长的一般思路是什么 你能得出弦长的公式吗 探究提示 1 还需确定直线的斜率 可设出弦的两个端点坐标 利用中点坐标公式 找它们之间的联系 2 一般思路是联立直线与椭圆的方程 消元得到关于x 或y 的一元二次方程 由根与系数的关系得故弦长为 自主解答 1 选b 设弦的两个端点分别为p1 x1 y1 p2 x2 y2 弦所在直线的斜率为k 则 得 4 x1 x2 x1 x2 9 y1 y2 y1 y2 0 又因此可得 4 x1 x2 6 9 y1 y2 4 0 所以故弦所在直线方程为即2x 3y 12 0 选b 2 设椭圆c的长半轴长为a a 0 短半轴长为b b 0 则2b 4 由解得a 4 b 2 因为椭圆c的对称轴为坐标轴 所以椭圆c的方程为或 设直线l的方程为y x m a x1 y1 b x2 y2 由方程组消去y 得5x2 2mx m2 16 0 由题意 得 2m 2 20 m2 16 0 且因为 ab 所以解得m 2 验证知 0成立 所以直线l的方程为x y 2 0或x y 2 0 方法技巧 1 直线与椭圆相交弦的弦长问题直线与椭圆相交有关弦的问题 主要思路是联立直线和椭圆的方程 得到一元二次方程 然后借助一元二次方程的有关知识解决 有时运用弦长公式 解题时应注意以下几点 1 当弦的两端点的坐标易求时 可直接求出交点坐标 再用两点间距离公式求弦长 2 当弦的两端点的坐标不易求时 可用弦长公式 3 如果直线方程涉及斜率 要注意斜率不存在的情况 2 解决椭圆中点弦问题的三种方法 1 根与系数的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组 消去一个未知数 利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 2 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 将端点坐标分别代入椭圆方程 然后作差 构造出中点坐标和斜率的关系 具体如下 已知a x1 y1 b x2 y2 是椭圆 a b 0 上的两个不同的点 m x0 y0 是线段ab的中点 则 由 得变形得即 3 共线法 利用中点坐标公式 如果弦的中点为p x0 y0 设其一交点为a x y 则另一交点为b 2x0 x 2y0 y 则两式作差即得所求直线方程 变式训练 直线y x 1被椭圆所截得的弦的中点坐标是 解析 选c 由消去y 得3x2 4x 2 0 设弦的两端点坐标为 x1 y1 x2 y2 中点坐标为 x中 y中 则x1 x2 所以x中 从而y中 x中 1 所以中点坐标为 补偿训练 椭圆x2 4y2 16被直线截得的弦长为 解析 由消去y并化简得x2 2x 6 0 设直线与椭圆的交点为m x1 y1 n x2 y2 则x1 x2 2 x1x2 6 所以弦长 答案 类型三与椭圆有关的综合问题 典例3 1 椭圆 a b 0 与直线x y 1交于p q两点 且op oq 其中o为坐标原点 则 2 2014 成都高二检测 已知椭圆 a b 0 的离心率为短轴的一个端点到右焦点的距离为直线l y kx m交椭圆于不同的两点a b 求椭圆的方程 若坐标原点o到直线l的距离为求 aob面积的最大值 解题探究 1 题 1 中一般将条件op oq转化为什么 2 题 2 中求 aob面积的最大值 关键是求什么 探究提示 1 条件op oq 一般转化为向量来处理 2 关键是求 ab 的最大值 自主解答 1 设p x1 y1 q x2 y2 由op oq x1x2 y1y2 0 因为y1 1 x1 y2 1 x2 代入上式得 2x1x2 x1 x2 1 0 又将y 1 x代入 a2 b2 x2 2a2x a2 1 b2 0 因为 0 所以x1 x2 x1x2 代入 化简得答案 2 2 由所以b 1 所以椭圆的方程为 由已知所以联立l y kx m和消去y 整理可得 1 3k2 x2 6kmx 3m2 3 0 所以 6km 2 4 1 3k2 3m2 3 0 设a x1 y1 b x2 y2 则所以 ab 2 1 k2 x1 x2 2 k 0 当且仅当时取等号 验证知满足题意 显然k 0时 ab 2 3 4 所以 s aob max 方法技巧 解椭圆综合问题的常用技巧椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线 它可以同其他章节知识结合考查 如不等式 三角函数以及平面向量等 解决这类问题时要注意方程思想 函数思想及转化的思想 其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧 变式训练 2014 安徽高考 设f1 f2分别是椭圆e a b 0 的左 右焦点 过点f1的直线交椭圆e于a b两点 af1 3 bf1 1 若 ab 4 abf2的周长为16 求 af2 2 若cos af2b 求椭圆e的离心率 解题指南 1 利用椭圆的定义求解 2 设 bf1 k 用a k表示 af2 bf2 利用余弦定理解 abf2得出等腰rt af1f2 从而得到a c的关系式 解析 1 由 af1 3 bf1 ab 4 得 af1 3 bf1 1 因为 abf2的周长为16 所以由椭圆定义可得4a 16 af1 af2 2a 8 故 af2 2a af1 8 3 5 2 设 bf1 k 则k 0 且 af1 3k ab 4k 由椭圆定义可得 af2 2a 3k bf2 2a k 在 abf2中 由余弦定理可得 ab 2 af2 2 bf2 2 2 af2 bf2 cos af2b 即 4k 2 2a 3k 2 2a k 2 2a 3k 2a k 化简可得 a k a 3k 0 而a k 0 故a 3k 于是有 af2 3k af1 bf2 5k 因此 bf2 2 af2 2 ab 2 f1a f2a 故 af1f2为等腰直角三角形 从而c 补偿训练 已知椭圆g a b 0 的离心率为右焦点为斜率为1的直线l与椭圆g交于a b两点 以ab为底边作等腰三角形 顶点为p 3 2 1 求椭圆g的方程 2 求 pab的面积 解析 1 由已知得解得又b2 a2 c2 4 所以椭圆g的方程为 2 设直线l的方程为y x m 由得4x2 6mx 3m2 12 0 设a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x1 x2 ab的中点为e x0 y0 则因为ab是等腰 pab的底边 所以pe ab 所以pe的斜率解得m 2 此时方程 为4x2 12x 0 解得x1 3 x2 0 所以y1 1 y2 2 所以此时 点p 3 2 到直线ab x y 2 0的距离所以 pab的面积 拓展类型 椭圆中的最值问题 备选例题 1 斜率为1的直线l与椭圆相交于a b两点 则 ab 的最大值为 2 2012 辽宁高考 如图 动圆c1 x2 y2 t2 1 t 3 与椭圆c2 相交于a b c d四点 点a1 a2分别为c2的左 右顶点 当t为何值时 矩形abcd的面积取得最大值 并求出其最大面积 求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程 解析 1 方法一 设直线l的方程为y x t 由消去y得整理 得5x2 8tx 4 t2 1 0 因为 64t2 80 t2 1 0 所以 设直线与椭圆交于a x1 y1 b x2 y2 两点 则所以 ab 当t 0时 ab 为最大 即 ab max 方法二 根据椭圆的对称性 当直线斜率固定时 直线过原点时截椭圆所得弦长最长 将y x代入得交点坐标为和故答案 2 设a x0 y0 3 x0 0 则矩形abcd的面积s 4 x0y0 由得从而当时 smax 6 从而t 时 矩形abcd的面积最大 最大面积为6 由a x0 y0 b x0 y0 a1 3 0 a2 3 0 知直线aa1的方程为 直线a2b的方程为 由 得 又点a x0 y0 在椭圆c上 故 将 代入 得 x 3 y 0 因此点m的轨迹方程为 x 3 y 0 方法技巧 解决与椭圆有关的最值问题的三种方法 1 定义法 利用定义转化为几何问题处理 2 数形结合法 利用数与形的结合 挖掘几何特征 进而求解 3 函数法 探求函数模型 转化为函数的最值问题来处理 注意椭圆的范围 规范解答 椭圆与平面向量的综合问题 典例 12分 2013 天津高考 设椭圆 a b 0 的左焦点为f 离心率为过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 1 求椭圆的方程 2 设a b分别为椭圆的左 右顶点 过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c d两点 若求k的值 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 解题时 若求不出直线与椭圆交点的纵坐标 即得不出 处 则会导致求不出椭圆方程而本例不得分 失分点2 若在 处化简整理结果时错误 则会导致下面运算全部错误 本例最多能得6分 失分点3 若在 处向量的运算不能转化为坐标间关系 则得不出关于k的等量关系而失3 4分 悟题 提措施 导方向1 加强运算能力的培养椭圆的综合问题 一般涉及的运算量较大 因此在平时学习中 要多注重运算能力的培养 防止因运算错误而失分 如本例 1 2 问求解时 都涉及较大的运算量 2 向量关系的应用在解析几何中 向量的运算常通过坐标的运算来实现 对向量相等 向量的数量积 共线向量的坐标表示要熟练掌握 如本例是建立关于k的方程的关键 类题试解 2013 山东高考 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c的中心在原点o 焦点在x轴上 短轴长为2 离心率为 1 求椭圆c的方程 2 a b为椭圆c上满足 aob的面积为的任意两点 e为线段ab的中点 射线oe交椭圆c于点p 设求实数t的值 解析 1 设椭圆c的方程为 a b 0 由题意知解得因此椭圆c的方程为 2 当ab x轴时 设a x0 y0 b x0