高中数学 2.3 第1课时 空间向量的标准正交分解与坐标 表示及空间向量基本定理课件 北师大版选修21.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 1 空间向量与立体几何 第二章 2 3向量的坐标表示和空间向量基本定理 第二章 第1课时空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理 1 了解空间向量基本定理及其意义 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2 会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量 3 会求某一空间向量在一平面上的投影 本节重点 空间向量基本定理 本节难点 基底概念的理解和用基底表示空间任一向量 1 在给定的空间直角坐标系中 i j k分别为x轴 y轴 z轴正方向上的单位向量 对于空间任意向量a 存在唯一一组三元有序实数 x y z 使得a xi yj zk 我们把a xi yj zk叫作a的标准正交分解 把i j k叫作标准正交基 叫作空间向量a的坐标 记作a a 叫作向量a的坐标表示 x y z x y z x y z x y z x y z 2 向量坐标的求法若向量a不在任何一个坐标平面内 把a的起点移到坐标原点 以a为对角线 以x轴 y轴 z轴为棱 作长方体 长方体各棱长就是相应 与平面向量一样 向量起点在原点时 终点坐标就是向量坐标 3 向量a在向量b上的投影一般地 若b0为b的单位向量 称a b0 为向量a在向量b上的投影 任一向量在坐标轴正方向上的投影就是此向量相应坐标 坐标的绝对值 a cos a b 4 空间向量基本定理如果向量e1 e2 e3是空间三个不共面的向量 a是空间任一向量 那么存在唯一一组实数 1 2 3 使得a 1e1 2e2 3e3 5 基底 1 空间中不共面的三个向量e1 e2 e3叫作这个空间的一个 2 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 3 如果作为空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直 那么这个基底叫作 基底 基底 正交基底 1 用空间三个不共面的已知向量a b c可以线性表示出空间任意一个向量 而且表示的结果是唯一的 2 空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底 3 由于0可看作是与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含它们都不是0 要明确 一个基底是一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关联的不同概念 4 用基底中的基向量表示向量 即向量的分解 关键是结合图形 运用三角形法则 平行四边形法则及多边形法则 逐步把待求向量转化为基向量的 代数和 5 空间向量基本定理的证明 6 特殊向量的坐标表示若向量a平行x轴 则a x 0 0 若向量a平行y轴 则a 0 y 0 若向量a平行z轴 则a 0 0 z 若向量a平行xoy平面 则a x y 0 若向量a平行yoz平面 则a 0 y z 若向量a平行zox平面 则a x 0 z 空间向量的坐标表示 分析 若向量a可以用基向量e1 e2 e3表示为a xe1 ye2 ze3 则 x y z 就是a在基底 e1 e2 e3 下的坐标 点评 本题主要考查空间向量的坐标表示 解题时 首先要找准标准正交基 然后根据向量a xi yj zk 则a x y z 即可得到结果 空间向量基本定理 点评 用基底表示空间向量 一般要用向量的加法 减法 数乘的运算法则 及加法的平行四边形法则 加法 减法的三角形法则 逐步向基向量过渡 直到全部用基向量表示 点评 用基底表示空间向量 一般要用向量的加法 减法 数乘的运算法则 及加法的平行四边形法则 加法 减法的三角形法则 逐步向基向量过渡 直到全部用基向量表示 投影问题 点评 本题为综合题 用到了投影公式 3 题中可由i k i j k j 0 i i 1 j j k k 1求出 点评 求投影有两种方法 先求出两个点a b分别在平面上的投影a b 则a b 的连线就为ab在平面上的投影 根据公式a b0 a cos a b b0为b的单位向量 探索性问题 设a1 2i j k a2 i 3j 2k a3 2i j 3k a4 3i 2j 5k 试问是否存在实数 v 使a4 a1 a2 va3成立 如果存在 求出 v的值 如果不存在 请给出证明 点评 本题的意思是a4能否用a1 a2 a3线性表示 其实 只要a1 a2 a3不共面 就可以表示空间任一向量 线性运算在向量运算中具有十分重要的作用 一 选择题1 如果a b与任何向量都不能构成空间的一个基底 则 a a与b共线b a与b同向c a与b反向d a与b共面 答案 a 解析 因为空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 因此 a b必与任何向量共面 所以a b为共线向量 故选a 答案 a 3 向量a 0 2 3 则 a a平行于x轴b a平行于平面yozc a平行于平面zoxd a平行于平面xoy 答案 b 解析 因为a的横坐标为0 所以a平行于平面yoz 5 设x a b y b c z c a 且 a b c 是空间的一个基底 给出下列向量组 a b x x y z b c z x y a b c 其中可以作为空间的基底的向量组有 个 答案 3 解析 都可以