高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 阶段复习课课件 新人教A版选修12 .ppt

阶段复习课第三章 核心解读 1 复数的分类对复数z a bi a b r 当b 0时 z为实数 当b 0时 z为虚数 当a 0 b 0时 z为纯虚数 2 复数中的两种思想 1 函数思想 求复数模的最值时 需转化为关于复数z x yi x y r 的实部x或虚部y的二次函数讨论求最值 2 方程思想 由复数的代数形式利用复数相等的条件得到方程 组 解决问题 3 复数的运算技巧 1 化复为实 设z a bi a b r 利用复数相等和相关性质将复数问题实数化 是解决复数问题的常用方法 2 类比实数 在复数代数形式的四则运算中 加 减 乘运算按多项式运算法则进行 除法则需分母实数化 4 复数中的两种对应关系 1 复数与复平面上点的对应 2 复数与以坐标原点为起点的向量的对应 利用对应点可以把复数问题转化为几何问题 向量问题 主题一复数的概念 典例1 1 2013 陕西高考 设z是复数 则下列命题中的假命题是 a 若z2 0 则z是实数b 若z2 0 则z是虚数c 若z是虚数 则z2 0d 若z是纯虚数 则z2 0 2 复数z log3 x2 3x 3 ilog2 x 3 当x为何实数时 z r z为虚数 解题指南 1 设出复数的代数形式 复数问题转化为实数问题求解 进行验证 从而得出正确的答案 2 利用复数分类求x 自主解答 1 选c 设z a bi a b r z2 a2 b2 2abi 对选项a 若z2 0 则b 0 z为实数 所以z为实数正确 对选项b 若z2 0 则a 0 且b 0 z为纯虚数 所以z为虚数正确 对选项c 若z为纯虚数 则a 0 且b 0 z2 0 所以z2 0错误 对选项d 若z为纯虚数 则a 0 且b 0 z2 0 所以z2 0正确 2 因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0 所以由 ii 得x 4 经验证满足 i iii 式 所以当x 4时 z r 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0 所以 由 i 得由 ii 得x 4 由 iii 得x 3 所以当且x 4时 z为虚数 延伸探究 若把题 2 结论改为z为纯虚数 则x的范围如何 解析 因为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0 且虚部不为0 所以此方程组无解 所以复数z不可能是纯虚数 方法技巧 复数的有关概念 1 正确确定复数的实 虚部是准确理解复数的有关概念 如实数 虚数 纯虚数 相等复数 共轭复数 复数的模 的前提 2 两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据 提醒 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义 补偿训练 2013 上海高考 设m r m2 m 2 m2 1 i是纯虚数 其中i是虚数单位 则m 解析 m2 m 2 m2 1 i是纯虚数 答案 2 主题二复数的四则运算 典例2 1 已知i是虚数单位 复数 1 bi 2 i 是纯虚数 则实数b的值为 a 2b c d 2 2 已知z是纯虚数 是实数 那么z等于 a 2ib ic id 2i 自主解答 1 选d 因复数 1 bi 2 i 2 b 2b 1 i是纯虚数 所以2 b 0 且2b 1 0 得b 2 2 选d 设纯虚数z bi b r 代入由于其为实数 所以b 2 所以z 2i 方法技巧 复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算 注意把i看作一个字母 i2 1 除法运算注意应用共轭的性质z 为实数 拓展延伸 复数运算的考查点复数的四则运算是本章的重点 复数的乘法 除法是高考的热点 考题呈现以下特点 1 复数的乘除运算 2 与复数的有关概念 复数的几何意义相结合 3 与两复数相等的充要条件结合 补偿训练 2014 大同高二检测 复数 解析 选c 依题意得选c 主题三共轭复数 复数的模 典例3 1 2013 新课标全国卷 2 2013 新课标全国卷 若复数z满足 3 4i z 4 3i 则z的虚部为 解题指南 1 先化简然后计算模 2 首先设z a bi a b r 利用复数的运算法则进行化简 然后利用复数相等列出关于a b的方程组 求出b的值 自主解答 1 选c 所以选c 2 选d 设z a bi a b r 则 3 4i z 3 4i a bi 5 化简得3a 4b 3b 4a i 5 所以解得即所以z的虚部为 方法技巧 化复为实利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件 是一种复数问题实数化思想 根据复数模的意义 结合图形 可利用平面几何知识解答本题 补偿训练 把复数z的共轭复数记作已知 1 2i 4 3i 则 解析 1 2i 4 3i 3 i 从而有z 3 i 所以答案 主题四复数的几何意义 典例4 1 在复平面内 复数z i 1 2i 对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 2 设复数z满足 z 5 且 3 4i z在复平面上对应的点在第二 四象限的角平分线上 求复数z 自主解答 1 选b 因为z i 1 2i i 2i2 2 i 所以复数z所对应的点为 2 1 故选b 2 设复数z x yi x y r 又 z 5 所以x2 y2 25 因为 3 4i z 3 4i x yi 3x 4y 4x 3y i在复平面上对应的点在第二 四象限的角平分线上 所以它的实部与虚部互为相反数 3x 4y 4x 3y 0 y 7x 由所以 方法技巧 数形结合复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法 1 复数的几何表示法 即复数z a bi a b r 可以用复平面内的点z a b 来表示 此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件 通过解方程 组 或不等式 组 求解 2 复数的向量表示 以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数 向量平移后 此向量表示的复数不变 但平移前后起点 终点对应的复数要改变 补偿训练 2014 兰州高二检测 复数m 3 i 2 i m r i为虚数单位 在复平面内对应的点不可能位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选b 因为m 3 i 2 i 3m 2 m 1 i 设复数m 3 i 2 i m r i为虚数单位 在复平面内对应的点m的坐标为 x y 则消去m得 x 3y 1 0 因为直线x 3y 1 0经过第一 三 四象限 所以 复数m 3 i 2 i m r i为虚数单位 在复平面内对应的点不可能位于第二象限 故选b 强化训练 1 2014 青岛高二检测 关于复数下列说法中正确的是 a 在复平面内复数z对应的点在第一象限b 复数z的共轭复数 1 ic 若复数z1 z b b r 为纯虚数 则b 1d 设a b为复数z的实部和虚部 则点 a b 在以原点为圆心 半径为1的圆上 解析 选c 由题可知对应的点为 1 1 在第二象限 故a错 1 i 故b错 若z b b r 为纯虚数 则b 1 故c正确 a b 为 1 1 在以原点为圆心 半径为的圆上 故d错 2 2014 江西高考 若复数z满足z 1 i 2i i为虚数单位 则 z a 1b 2c d 解题指南 运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算 解析 选c 3 2014 湖南高考 满足 i为虚数单位 的复数z 解题指南 先解关于z的方程 再用复数的除法法则进行运算 解析 选b 因为所以z i zi z 4 2013 广东高考 若复数z满足iz 2 4i 则在复平面内 z对应的点的坐标是 a 2 4 b 2 4 c 4 2 d 4 2 解题指南 本题考查复数四则运算 既可以将z作为未知数解出来 也可以利用i的乘方的性质 在等式两端乘以因式 i 解析 选c 解方程iz 2 4i z 4 2i z对应点的坐标是 4 2 一题多解 在iz 2 4i两端乘以因式 i可得 i iz i 2 4i z 4 2i z对应点的坐标是 4 2 5 2014 北京高考 若 x i i 1 2i x r 则x 解题指南 展开后利用复数相等列式求解 解析 由已知得 1 xi 1 2i 所以x 2 答案 2 6 设 1 i sin 1 icos 对应的点在直线x y 1 0上 则tan 的值为 解析 由题意 得sin 1 sin cos 1 0 所以tan 答案 7 实数m分别取什么数时 复数z 1 i m2 5 2i m 6 15i是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 对应点在第三象限 5 对应点在直线x y 5 0上 6 共轭复数的虚部为12 解析 z 1 i m2 5 2i m 6 15i m2 5m 6 m2 2