高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）课件 新人教A版必修4.ppt

1 4 2正弦函数 余弦函数的性质 一 一 函数的周期性1 周期函数对于函数f x 如果存在一个 使得当x取定义域内的每一个值时 都有 那么函数f x 就叫做周期函数 这个函数的周期为 非零常数t f x t f x t 2 最小正周期如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的 那么这个最小 就叫做f x 的最小正周期 思考 如果t是y f x 的一个周期 那么kt k n 也是它的周期吗 提示 不一定 当k 0时 kt不是它的周期 正数 正数 二 正弦函数 余弦函数的周期性和奇偶性 2 2 奇函数 偶函数 判断 正确的打 错误的打 1 由于sin 30 120 sin30 则120 是函数y sinx的一个周期 2 所有周期函数都有最小正周期 3 函数y sin2x是奇函数 提示 1 错误 因为对于函数y f x 使f x t f x 成立的x必须取定义域内的每一个值才可以 即x的任意性 2 错误 如常数函数f x 5 所有非零实数t都是它的周期 而没有最小正周期 3 正确 由奇偶性定义及诱导公式可知此函数是奇函数 答案 1 2 3 知识点拨 1 对周期函数的正确理解 1 关于函数周期的理解应注意以下三点 存在一个不等于零的常数t 对于定义域内的每一个值x 都有x t属于这个定义域 满足f x t f x 2 并不是每一个函数都是周期函数 若函数具有周期性 则其周期也不一定唯一 3 如果t是函数f x 的一个周期 则nt n z且n 0 也是f x 的周期 2 正弦函数 余弦函数的奇偶性 1 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 反映在图象上 正弦曲线关于原点o对称 余弦曲线关于y轴对称 2 正弦曲线 余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形 3 注意诱导公式在判断三角函数奇偶性时的运用 类型一求三角函数的周期 典型例题 1 下列函数是以 为周期的是 a y sinxb y cosx 2c y 2cos2x 1d y sin3x 22 求下列函数的最小正周期 解题探究 1 怎样求形如y asin x 的函数周期 2 如何求形如y cosx 的函数周期 探究提示 1 对形如y asin x 的函数可通过周期函数定义或公式来求其周期 2 对形如y cosx 的函数可通过作出其图象 观察得周期 解析 1 选c 对于a b 函数的周期是2 对于c 函数的周期是 对于d 函数的周期是故选c 2 1 方法一 所以此函数的周期是 方法二 在中 2 故 2 作出函数y cosx 的图象 如图所示 观察图象可知此函数的周期是 互动探究 题2中若函数y sinx 则最小正周期为多少 解析 利用图象法 画出函数y sinx 的图象 观察图象可知该函数的最小正周期是 拓展提升 求三角函数周期的方法 1 定义法 即利用周期函数的定义求解 2 公式法 对形如y asin x 或y acos x a 是常数 a 0 0 的函数 3 观察法 即通过观察函数图象求其周期 变式训练 2013 江苏高考 函数的最小正周期为 解析 函数的最小正周期答案 类型二三角函数奇偶性的判断 典型例题 1 函数是 a 奇函数b 偶函数c 非奇非偶函数d 既是奇函数又是偶函数2 2013 济宁高一检测 已知a r 函数f x sinx a x r 为奇函数 则a等于 a 0b 1c 1d 1 3 判断下列函数的奇偶性 1 f x sinx cosx 解题探究 1 题1能否将函数式化简 2 题2怎样由函数的奇偶性求参数 3 题3判断函数奇偶性首先应注意什么 探究提示 1 可通过诱导公式将函数式化简为y cos x的形式 2 可结合函数奇偶性的定义来求 3 判断函数的奇偶性首先应看其定义域是否关于原点对称 解析 1 选b 所以为偶函数 2 选a 函数定义域为r 因为f x 为奇函数 所以f x sin x a f x sinx a 所以 a 0 所以a 0 3 1 函数的定义域为r 又f x sin x cos x sinx cosx f x 所以此函数是偶函数 2 由1 cosx 0且cosx 1 0 得cosx 1 从而x 2k k z 此时f x 0 故该函数既是奇函数又是偶函数 拓展提升 判断函数奇偶性应把握好的两个方面 1 是看函数的定义域是否关于原点对称 2 是看f x 与f x 的关系 对于三角函数奇偶性的判断 有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断 变式训练 判断函数的奇偶性 解题指南 首先求函数定义域 进而判断f x 与f x 的关系 确定函数奇偶性 求解时注意分子有理化的运用 解析 因为所以函数的定义域为r 又因为所以f x 为奇函数 类型三三角函数周期性与奇偶性的综合 典型例题 1 2013 济南高一检测 设函数则f x 是 a 最小正周期为 的奇函数b 最小正周期为 的偶函数c 最小正周期为的奇函数d 最小正周期为的偶函数 2 定义在r上的函数f x 既是偶函数又是周期函数 若f x 的最小正周期是 且当时 f x sinx 则的值为 3 若函数f x 是奇函数 当x 0时 f x x sinx 求当x 0时f x 的解析式 解题探究 1 题1可将函数解析式化简为什么形式 2 当自变量不在已知函数定义域内时如何利用周期来求值 3 怎样根据奇偶性求函数解析式 探究提示 1 可利用诱导公式将函数解析式化简为y cos2x 2 利用周期性逐步将自变量的取值转化到已知函数定义域内求解 3 要求哪个范围内的解析式 就设自变量为哪个范围内的变量 充分利用奇偶性使之与关于原点对称区间上的函数建立联系 从而求得函数的解析式 解析 1 选b 因为所以该函数的最小正周期为 且为偶函数 故选b 2 选d 3 设x 0 则 x 0 所以f x x sin x x sinx 又f x 是奇函数 所以f x f x 所以f x x sinx x 0 拓展提升 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 1 探求三角函数的周期 常用方法是公式法 即将函数化为y asin x 或y acos x 的形式 再利用公式求解 2 判断函数y asin x 或y acos x 是否具备奇偶性 关键是看它能否通过诱导公式转化为y asin x a 0 或y acos x a 0 其中的一个 变式训练 若f x 是以2为周期的奇函数 且当x 1 0 时 f x 2x 1 求的值 解析 因为f x 是以2为周期的函数 所以又f x 是奇函数 所以又当x 1 0 时 f x 2x 1 所以 易错误区 三角函数变形不等价导致奇偶性判断错误 典例 函数的奇偶性为 解析 由题意 当sinx 1时 所以函数的定义域为由于定义域不关于原点对称 所以该函数是非奇非偶函数 答案 非奇非偶函数 误区警示 防范措施 准确判断函数的奇偶性此类问题一般是按函数奇偶性定义加以判断 一般不把函数式化简 若要化简 应注意化简前后的等价性 如本例 若直接将函数式化为y cosx 则易出现判断该函数为偶函数的错误 类题试解 函数在定义域内是 a 奇函数b 偶函数c 既是奇函数又是偶函数d 非奇非偶函数 解析 选c 由lgcosx 0得cosx 1 又cosx 1 所以cosx 1 即x 2k k z 从而函数定义域为 x x 2k k z 定义域关于原点对称 此时所以该函数既是奇函数又是偶函数 1 下列函数中 周期为的是 解析 选d 对于函数y cos4x 周期 2 函数是 a 奇函数b 偶函数c 非奇非偶函数d 无法确定 解析 选a 因为所以此函数为奇函数 3 下列是定义在r上的四个函数图象的一部分 其中不是周期函数的是 解析 选d a b c均是周期函数 而对于d x 1 1 的图象与其他区间均不同 不是周期函数 4 已知函数f x 的周期