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2 2 3直线与平面平行的性质 直线与平面平行的性质定理 平行 交线 平行 思考 如果一条直线和一个平面平行 若夹在直线和平面间的两条线段相等 则这两条线段平行 正确吗 为什么 提示 不正确 两条线段的位置关系可以是平行 相交或异面 知识点拨 1 解读直线与平面平行的性质定理 1 作用 证明直线与直线平行 可简述为 若线面平行 则线线平行 2 用该定理判断直线a与b平行时 必须具备三个条件 直线a和平面 平行 即a 平面 和 相交 即 b 直线a在平面 内 即a 以上三个条件缺一不可 2 对线面平行性质定理的两种解释 1 一条直线b与一个平面 平行 则过b的任何平面与 的交线都与直线b平行 即b可以和 内无数条直线平行 2 一条直线b与一个平面 平行 则b不能与 内的所有直线平行 即在平面 内 除了与b平行的直线外 其余每条直线与b都是异面直线 类型一对线面平行性质定理的理解 典型例题 1 直线a 平面 内有n条直线交于一点 则这n条直线中与直线a平行的直线有 a 0条b 1条c 0或1条d 无数条2 2013 天津高二检测 已知直线a 平面 直线b 平面 则直线a b的位置关系是 平行 垂直不相交 垂直相交 不垂直不相交 其中可能成立的有 解题探究 1 直线a和n条直线的交点是否可以确定一个平面 此平面与平面 的交线和直线a的位置关系是什么 2 空间中两条直线有哪几种位置关系 空间中两条直线垂直有哪两种情况 探究提示 1 n条直线的交点不在直线a上 所以可以确定一个平面 此平面与平面 的交线和直线a平行 2 空间中两条直线有相交 平行 异面三种位置关系 空间中两条直线垂直有两种情况 1 相交垂直 2 异面垂直 解析 1 选c 过直线a与交点作平面 设平面 与 交于直线b 则a b 若所给n条直线中有1条是与b重合的 则此直线与直线a平行 若没有与b重合的 则与直线a平行的直线有0条 2 如图 1 所示直线a b平行 可能成立 如图 2 所示直线a b垂直不相交 可能成立 如图 3 所示直线a b垂直相交 可能成立 如图 4 所示直线a b不垂直不相交 可能成立 答案 拓展提升 应用线面平行性质定理时的误区应用线面平行性质定理时 需要经过直线找平面或作平面 即以平面为媒介证明两线平行 初学者常常是这样做 已知直线a与平面 平行 在平面 内作一条直线a 与a平行 这种做法是不可取的 这是一个成立但需证明的命题 是不可直接应用的 正确的做法是 经过已知直线作一个平面和已知平面相交 交线和已知直线平行 类型二线面平行的性质定理的简单应用 典型例题 1 如图所示 直线a 平面 a 并且a和a位于平面 两侧 点b c a ab ac分别交平面 于点e f 若bc 4 cf 5 af 3 则ef 2 如图 已知e f分别是菱形abcd边bc cd的中点 ef与ac交于点o 点p在平面abcd之外 m是线段pa上一动点 若pc 平面mef 试求pm ma的值 解题探究 1 当题目条件中有线面平行条件时 首先要想到什么 在三角形中求线段的长度 通常用什么方法 2 为了应用pc 平面mef推出线线平行 需要寻找哪两个平面的交线 菱形abcd中可以推出哪些线段的长度关系 探究提示 1 当题目条件中有线面平行条件时 首先要想到过直线寻找平面与已知平面产生交线 推出线线平行 在三角形中求线段的长度 通常用三角形相似 全等 勾股定理等知识 2 为了应用pc 平面mef推出线线平行 需要寻找平面mef与平面pac的交线 菱形abcd中可以推出线段co与oa的比值 解析 1 由于点a不在直线a上 则直线a和点a确定一个平面 所以 ef 因为a 平面 a 平面 所以ef a 所以所以答案 2 如图 连接bd交ac于点o1 连接om 因为pc 平面mef 平面pac 平面mef om 所以pc om 所以在菱形abcd中 因为e f分别是边bc cd的中点 所以又ao1 co1 所以故pm ma 1 3 拓展提升 1 线面平行或隐含线面平行条件的应用策略如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行 那么在解决过程中 一定会用到线面平行的性质定理 在应用性质定理时 关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交 所得交线与已知直线平行 2 利用线面平行的性质定理解题的步骤 变式训练 过正方体abcd a1b1c1d1的棱bb1作一平面交平面cdd1c1于ee1 求证 bb1 ee1 证明 因为cc1 bb1 cc1 平面bee1b1 bb1 平面bee1b1 所以cc1 平面bee1b1 又因为平面cee1c1过cc1且交平面bee1b1于ee1 所以cc1 ee1 因为cc1 bb1 所以bb1 ee1 类型三线面平行的性质定理与判定定理的综合应用 典型例题 1 如图 四棱锥s abcd的所有的棱长都等于2 e是sa的中点 过c d e三点的平面与sb交于点f 则四边形defc的周长为 2 如图 三棱锥a bcd被一平面所截 截面efgh是平行四边形 求证 cd 平面efgh 解题探究 1 de的长度如何计算 cd与ef是否平行 若平行 如何证明 2 证明线面平行的常用方法有哪些 由题目条件首先可以得到哪些线面平行关系 是否可以进一步推出cd与平面efgh中的直线平行 探究提示 1 de是边长为2的等边三角形的中线 其长度为2 sin60 cd ef 先证cd 平面sab 再用线面平行的性质证明cd ef 2 证明线面平行的常用方法 1 线面平行的定义 通常借助面面平行 2 线面平行的判定定理 根据efgh是平行四边形 可以得到ef 平面bcd gh 平面acd fg 平面abd eh 平面abc 可以进一步推出cd ef 或cd gh 解析 1 选c 因为ab bc cd ad 2 所以四边形abcd为菱形 所以cd ab 又cd 平面sab ab 平面sab 所以cd 平面sab 又cd 平面cdef 平面cdef 平面sab ef 所以cd ef 所以ef ab 又因为e为sa的中点 所以ef ab 1 又因为 sad和 sbc都是等边三角形 所以de cf 2 sin60 所以四边形defc的周长为 2 因为efgh是平行四边形 所以ef gh 又因为ef 平面bcd gh 平面bcd 所以ef 平面bcd 因为ef 平面acd 平面acd 平面bcd cd 所以ef cd 因为cd 平面efgh ef 平面efgh 所以cd 平面efgh 互动探究 题2中 若截面efgh是矩形 试求异面直线ab cd所成的角 解析 因为截面efgh是矩形 所以eh fg 又因为fg 平面abd eh 平面abd 所以fg 平面abd 因为fg 平面abc 平面abc 平面abd ab 所以ab fg 由题2知ef cd 由异面直线所成角的定义知 efg 或其补角 即为所求的角 所以ab cd所成的角为90 拓展提升 线面平行的性质定理与判定定理的应用方法 1 线线平行与线面平行的相互转化 2 要证线线平行 需证线面平行 而线面平行又要由线线平行来证 即线线平行与线面平行的相互转化 直线与平面平行的性质定理与判定定理经常交替使用 这反映了线面平行 线线平行间的相互转化 也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁 变式训练 已知abcd是平行四边形 点p是平面abcd外一点 m是pc的中点 在dm上取一点g 过g和ap作平面交平面bdm于gh 求证 ap gh 解题指南 先证明直线ap 平面bdm 再利用线面平行的性质证明ap gh 证明 连接ac 设ac交bd于o 连接mo 因为四边形abcd是平行四边形 所以o是ac的中点 又m是pc的中点 所以mo ap 又mo 面bdm ap 面bdm 所以ap 面bdm 又经过ap与点g的平面交平面bdm于gh 所以ap gh 易错误区 线面平行性质定理的应用误区 典例 2013 临沂高一检测 若直线a 平面 a 平面 直线b 则 a a b或a与b异面b a bc a与b异面d a与b相交 解析 选b a b 理由如下 如图 过a作平面 交平面 于c 因为a 所以a c 过a作平面 交平面 于d 因为a 所以a d 所以c d 又c d 所以c 又c b 所以c b 所以a b 误区警示 防范措施 1 重视线面平行的应用原则当题目条件中已知线面平行时 首先要想到过直线有哪些平面与已知平面相交 若不存在则需作辅助平面 例如本例中 已知a a 则应考虑过a作平面与平面 和 产生交线 2 线线平行与线面平行的转化线面平行的判定定理和性质定理往往要结合使用 实现线线平行和线面平行的相互转化 例如本例中由a a 推出c d 再推出c 最后推出c b a b 类题试解 如图 已知平面 平面 a 平面 平面 b 平面 平面 c 若a b 则c与a b的位置关系是 a c与a b都是异面直线b c与a b都相交c c至少与a b中的一条相交d c与a b都平行 解析 选d 因为a b a b 所以a 又a c 所以a c 所以b c 公理4 1 如果直线a 平面 b 那么a与b的关系是 a 相交b 不相交c 平行d 异面 解析 选b 因为直线a 平面 所以直线a与平面 无公共点 所以a与b无公共点 所以a与b平行或异面 2 若直线a 平面 直线b 直线a 则直线b与平面 的位置关系是 a b b b c b与 相交d 以上均有可能 解析 选d 直线b与平面 的位置关系是b 或b 或b与 相交 3 过平面 外的直线l 作一组平面与 相交 如果所得的交线为a b c 则这些交线的位置关系为 a 都平行b 都相交且一定交于同一点c 都相交但不一定交于同一点d 都平行或交于同一点 解析 选d 因为l 所以l 或l a 若l 则由线面平行性质定理可知 l a l b l c 所以由公理4可知 a b c 若l a 则a a a b a c 所以a b c 交于同一点a 4 如图所示的三棱柱abc a1b1c1中 过a1b1的平面与平面abc交于直线de 则de与ab的位置关系是 a 异面b 平行c 相交d 以上均有可能 解析 选b 因为abc a1b1c1是三棱柱 所以a1b1 ab 又因为a1b1 平面abc ab 平面abc 所以a1b1 平面abc 因为a1b1 平面a1b1ed 平面a1b1ed 平面abc de 所以a1b1 de 所以de ab 5 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 ab 2 点e为ad的中
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