高中数学 121对应、映射和函数课件 湘教版必修1.ppt

课标要求 1 2函数的概念和性质 1 2 1对应 映射和函数 了解映射的概念及含义 会判断给定的对应关系是否是映射 理解函数的概念 能用集合与对应的语言刻画函数 体会对应关系在刻画函数概念中的作用 通过实例领悟构成函数的三要素 1 2 3 映射的定义 设a b是两个 的集合 如果按照某种对应法则f 对于集合a中的任何一个元素 在集合b中都有 元素和它对应 这样的对应叫作从集合a到集合b的 记作 在映射f a b中 集合a叫作映射的 与a中元素x对应的b中的元素y叫x的 image 记作y f x g x叫作y的 inverseimage 自学导引 1 非空 唯一 映射 f a b 定义域 象 原象 如果在某个变化过程中有两个变量x y 对于每一个在一定范围内变化着的 的值 按照一定的对应法则 都有一个 的y值与之对应 那么 就说y是自变量x的 而自变量x的上述变化范围 就叫作该函数的 domain 和自变量x对应的y的值 叫作 函数值的变化范围叫作该函数的 co domain 函数的定义 设a b是两个非空的 如果按照某种对应法则f 对于集合a中的任何一个数x 在集合b中都有 的数y和它对应 这样的对应f叫作定义于a取值于b的 function 记作f a b 或者 x a y b 2 3 自变量 argument x 唯一确定 函数 定义域 函数值 值域 数集 唯一 函数 y f x 这里 a叫作函数的 与x a对应的数y叫x的 记作y f x 由所有x a的象组成的集合叫作函数的 观察实际例子并对照定义看出 一个函数f x 有三个要素 首先是 也就是如何从x确定f x 的法则 不知道 就不能从根本上了解这个函数 其次是 就是自变量x的取值范围 对应法则形式上相同的两个函数 若 不同 就算不同的函数 知道了对应法则和定义域 也就确定了 对 的了解表明对函数有了更深入的认识 所以 也算是函数的要素之一 4 定义域 象 值域 对应法则 对应法则 定义域 定义域 值域 值域 值域 函数与映射的主要联系和区别是什么 提示函数是一个特殊的映射 函数是非空数集a到非空数集b的映射 而对于映射而言 a和b不一定是数集 f x 与f a 的含义有什么不同 提示f x 是自变量x的函数 在一般情况下是一个变量 f a 表示当x a时所得的函数值 是一个常量 f a 是f x 的一个特殊值 如 函数f x 3x 2 f 2 3 2 2 8 自主探究 1 2 下列从集合a到集合b的对应f是映射的是 a a 1 0 1 b 1 0 1 f a中的数平方b a 0 1 b 1 0 1 f a中的数开方c a z b q f a中的数的倒数d a r b 正实数 f a中的数取绝对值答案a 预习测评 1 解析答案a中的两函数定义域不同 答案b中的两函数值域不同 答案d中的两函数对应法则不同 答案c正确 答案c 下图中建立了集合p中元素与集合m中元素的对应f 其中为映射的对应是 答案 2 5 3 给出下列四个对应关系 能构成函数的有 填序号 a n b z f x y 2x 3 a 1 2 3 4 5 6 b y y n y 5 f x y x 1 a x x 2 b y y x2 4x 3 f x y x 3 a n b y n y 2x x n f x y 2x 1 答案 4 对映射概念的理解 1 任意 就是说映射作用下集合a中的每一个元素在集合b中都有它的象 这是映射的完备性 2 集合a到集合b 映射定义中的两个集合a b是有先后次序的 a到b的映射与b到a的映射一般是截然不同的 这是映射的方向性 3 有一个且仅有一个 就是说映射作用下集合a中的任何一个元素在集合b中的象是存在且唯一的 这是映射的存在性与唯一性 名师点睛 1 4 在b中 就是说集合a中元素的象必在集合b中 即a中元素的象集是b的子集 这是映射的封闭性 5 映射的三要素是集合a b以及对应法则f 缺一不可 映射不是只有集合a或者集合b 而是集合a b以及对应法则f的整体 是一个系统 记作f a b 有时 映射f a b 集合a中的元素a对应集合b中的元素b 也可表示为f a b f a 或者直接写成b f a 只要其中一个要素不同就是不同的映射 6 在一个映射中 集合a b可以是数集 也可以是点集或其他集合 集合a b也可以是同一集合 但在确定的映射中 集合a b的地位一般是不要求对等的 函数符号y f x 的理解 1 对应法则f是表示定义域和值域的一种对应关系 与所选择的字母无关 在研究函数时 除用符号f x 外 还常用g x f x g x 等符号来表示 变量也不是用唯一的字母来表示 f x x 1与f t t 1是同一个函数 2 符号y f x 是 y是x的函数 的数学表示 应理解为 x是自变量 它是对应法则所施加的对象 f是对应法则 它既可以是解析式 也可以是图象 表格或文字描述等 y f x 仅仅是函数符号 不能认为 y等于f与x的乘积 2 3 虽然f x x2和f x 1 x2等号右边的表达式都是x2 但是 由于对应法则f所施加的对象不同 一个为x 而另一个为x 1 因此函数的解析式是不同的 4 f a a是常量 与f x 的关系 f a 表示当x a时 函数f x 的值 是一个常量 而f x 是自变量x的函数 一般表示的是变量 题型一映射定义的理解 例1 典例剖析 解 1 任一个x都有两个y与之对应 不是映射 2 对于a中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应 对于a中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应 是映射 3 在f的作用下 a中的0 1 2 9分别对应到b中的1 0 1 64 是映射 点评判断一个对应是不是映射 应该从两个角度去分析 1 是否是 对于a中的每一个元素 2 在b中是否 有唯一的元素与之对应 一个对应是映射必须是这两个方面都具备 一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射 说明一个对应不是映射 只需举一个反例即可 变式1 解 1 当x 1时 y的值不存在 不是映射 更不是函数 2 是映射 也是函数 因a中所有的元素的倒数都是b中的元素 3 当a中的元素不为零时 b中有两个元素与之对应 所以不是映射 更不是函数 4 是映射 但不是函数 因为a b不是数集 已知a a b c b 2 0 2 映射f a b满足f a f b f c 求满足条件的映射的个数 解 1 当a中三个元素都对应0时 则f a f b 0 0 0 f c 有一个映射 2 当a中三个元素对应b中两个时 满足f a f b f c 的映射有4个 分别为2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 3 当a中的三个元素对应b中三个元素时 有两个映射 分别为 2 2 0 2 2 0 因此满足条件的映射共有7个 点评求解含有附加条件的映射问题 必须按映射的定义处理 必要时进行分类讨论 题型二映射综合问题 例2 变式2 2 x y 这里y2 x x n y r 3 集合a r b 1 1 对应关系f 当x为有理数时 f x 1 当x为无理数时 f x 1 该对应是不是从a到b的函数 题型三对函数定义的理解 例3 2 当x 4时 y2 4 得y 2或y 2 不是有唯一值和x对应 所以 x y y2 x 不是函数 3 是函数 满足函数的定义 在a中任取一个值 b中有唯一确定的值和它对应 点评1 判断函数的标准可以简记成 两个非空数集a b 一个对应关系f a中任一对b中唯一 即多对一或一对一 2 函数是一种特殊的对应 要检验给定两个变量之间是否具有函数关系 只要检验 1 变量x的取值集合和两变量x y的对应关系是否给出 2 根据给出的对应关系 自变量x在其取值集合中的每一个值 是否都有唯一确定的值y与之对应 3 g x x 两者的定义域和对应关系相同 故是同一函数 4 f x 的定义域为 2 2 g x 的定义域为r 故不是同一函数 变式3 错解 函数的定义域为r 即k2x2 3kx 1 0对任意的实数x恒成立 9k2 4k2 0 此时5k2 0 无解 k值不存在 错因分析本题忽视了k 0的讨论 误认为f x k2x2 3kx 1一定是二次函数 误区警示因求函数定义域忽视对二次项系数的讨论而出错 例4 纠错心得求函数的定义域 关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式求解 如开偶次方根 被开方数一定是非负数 本题中k2x2 3kx 1 0应注意二次项系数k2的讨论 不可掉以轻心 映射的定义 1 从a到b的映射与从b到a的映射是不同的 确定一个映射需要三个条件 两个非空集合a和b 建立一个对应法则f a b 且满足映射的对应关系 2 映射有三种对应关系 一是 多对一 二是 一对一 再是 一对多 根据映射的定义可以得知 只有 多对一 和 一对一 才能构成两个非空集合之间的映射 而 一对多 不可以 3 映射的定义涉及两个集合a b 它们可以是数集 也可以是点集或其他的集合 课堂总结 1