高考数学 7.3 数学归纳法复习课件 理.ppt

7 3数学归纳法 1 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时 第一步检验n等于 a 1b 2c 3d 0 c 2 用数学归纳法证明等式 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 从 k到k 1 左端需增乘的代数式为 a 2k 1b 2 2k 1 c d b 解析 当n k 1时 左端 k 2 k 3 k 1 k 1 k 1 k 2k 2 k 1 k 2 k k 2k 1 2 所以从k到k 1 左端应增乘2 2k 1 3 已知则 a f n 中共有n项 当n 2时 b f n 中共有n 1项 当n 2时 c f n 中共有n2 n项 当n 2时 d f n 中共有n2 n 1项 当n 2时 d 解析 项数为n2 n 1 n2 n 1 4 用数学归纳法证明 n3 5n能被6整除 的过程中 当n k 1时 对式子 k 1 3 5 k 1 应变形为 k3 5k 3k k 1 6 解析 因为由n k成立推证n k 1成立时必须用上归纳假设 所以 k 1 3 5 k 1 k3 5k 3k k 1 6 5 记凸k边形的内角和为f k 则凸k 1边形的内角和f k 1 f k 解析 由凸k边形变为凸k 1边形时 增加了一个三角形 故f k 1 f k 1 归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法 根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法 2 数学归纳法 1 数学归纳法 设 pn 是一个与正整数相关的命题集合 如果 证明起始命题p1 或p0 成立 在假设pk k大于等于起始值 成立的前提下 推出pk 1也成立 那么可以断定 pn 对一切正整数成立 2 数学归纳法证题的步骤 证明当n取第一个值n0 例如n0 1或n0 2 时 命题p n 正确 假设当n k k n0 k n 时命题正确 证明当n 时命题也正确 即p k 1 为真 根据 知 当n n0 且n n 时 p n 正确 3 数学归纳法应用广泛 可以证明恒等问题 不等问题 整除性问题 几何问题以及与数列有关的 猜想 证明 问题 k 1 考点1 证明等式例题1 对于n n 用数学归纳法证明 1 n 2 n 1 3 n 2 n 1 2 n 1 n n 1 n 2 证明 设f n 1 n 2 n 1 3 n 2 n 1 2 n 1 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 2 假设当n k时等式成立 即1 k 2 k 1 3 k 2 k 1 2 k 1 k k 1 k 2 则当n k 1时 f k 1 1 k 1 2 k 1 1 3 k 1 2 k 1 2 3 k 1 1 2 k 1 1 f k 1 2 3 k k 1 k k 1 k 2 k 1 k 1 1 k 1 k 2 k 3 所以由 1 2 可知 当n n 时等式都成立 点评 用数学归纳法证明与自然数有关的等式 关键是弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 难点是寻求n k和n k 1时等式之间的联系 拓展训练 用数学归纳法证明 n n 证明 1 当n 1时 左边 右边 命题成立 2 假设n k时 命题成立 即 那么当n k 1时 左边 右边 于是当n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 命题对所有正整数都成立 考点2 证不等式例题2 已知数列 an an 0 a1 0 an 12 an 1 1 an2 n n 记sn a1 a2 an 求证 当n n 时 1 ann 2 证明 1 用数学归纳法证明 当n 1时 a22 a2 1 0 又a2 0 解得所以a1 a2 假设当n k k n 时 ak0 又ak 2 ak 1 1 0 所以ak 1 ak 2 即当n k 1时 原命题也成立 根据 和 可知an an 1对任何n n 都成立 2 由ak 12 ak 1 1 ak2 k 1 2 n 1 n 2 得an2 a2 a3 an n 1 a12 因为a1 0 所以sn n 1 an2 由ann 2 点评 本题主要考查数列的递推关系 数学归纳法和不等式证明等基础知识和基本技能 数学归纳法在解决有关数列问题时发挥着很大作用 数列是关于自然数的命题 由数列的递推关系 可以对结果进行推测和猜想 对猜想的结论进行合理性证明时 数学归纳法是最佳的工具 拓展训练 已知数列 an 的各项都是正数 且满足 a0 1 an 1 an 4 an n n 证明 an an 1 2 n n 证明 证法1 用数学归纳法证明 当n 0时 a0 1 a1 所以a0 a1 2 命题正确 假设当n k 1 k n 时命题成立 即ak 1 ak 2 则当n k时 ak ak 1 ak 1 4 ak 1 ak 4 ak 2 ak 1 ak ak 1 ak ak 1 ak ak 1 ak 4 ak 1 ak 而ak 1 ak 0 4 ak 1 ak 0 所以ak ak 1 0 又ak 1 ak 4 ak 4 ak 2 2 2 所以当n k时 命题正确 由 知 对一切n n 有an an 1 2 证法2 用数学归纳法证明 1 当n 0时 a0 1 a1 所以0 a0 a1 2 2 假设n k 1 k n 时命题成立 即ak 1 ak 2 令f x x 4 x f x 在 0 2 上单调递增 所以由假设有f ak 1 f ak f 2 即即当n k时 ak ak 1 2成立 根据 1 2 知 对一切n n 有ak ak 1 2 证明 1 当n 1时 f 1 64 命题显然成立 2 假设当n k k 1 时 f k 32k 2 8k 9能被64整除 当n k 1时 由于32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 考点3 整除问题例题3 试证 当n n 时 f n 32n 2 8n 9能被64整除 即f k 1 9f k 64 k 1 所以n k 1时命题也成立 根据 1 2 可知 对于任意n n 命题都成立 点评 证明整除问题的关键是 凑项 可采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 拓展训练 求证 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 n n 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 2 假设n k k 1 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设 上式中的两项均能被a2 a 1整除 故n k 1时命题成立 由 1 2 知 对n n 命题成立 考点4 归纳猜想与证明例题4 数列 an 满足sn 2n an 先计算数列的前4项 后猜想an并证明之 解析 由a1 2 a1 得a1 1 由a1 a2 2 2 a2 得由a1 a2 a3 2 3 a3 得由a1 a2 a3 a4 2 4 a4 得猜想 下面证明猜想正确 证明 1 当n 1时 由上面的计算可知猜想是成立的 2 假设当n k时猜想成立 就是此时当n k 1时 由sk 1 2 k 1 ak 1得 sk ak 1 2 k 1 ak 1 所以这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知对任意正整数n都成立 点评 通过此例可看到观察 归纳 猜想 证明的思想方法 其基本思路是 在探讨某些问题时 可以先从观察入手 发现问题的特点 形成解决问题的初步思路 然后用归纳法进行试探 提出猜想 最后用数学归纳法给出证明 拓展训练 已知f1 x x 1 fn x f1 fn 1 x n 1 n n 求f2 x f3 x 并猜想fn x n n 用数学归纳法证明你的结论 解析 由条件 fn x fn 1 x 1 所以f2 x f1 x 1 x 2 f3 x f2 x 1 x 3 猜想fn x x n n n 证明 当n 1时 f1 x x 1 命题显然成立 假设当n k k n 时 fk x x k k n 成立 则当n k 1时 fk 1 x fk x 1 x k 1 即当n k 1时 命题也成立 根据 可知命题对任何n n 都成立 备选题 已知m为正整数 用数学归纳法证明当x 1时 1 x m 1 mx 证明 用数学归纳法证明 当m 1时 原不等式成立 当m 2时 左边 1 2x x2 右边 1 2x 因为x2 0 所以左边 右边 原不等式成立 假设当m k时 不等式成立 即 1 x k 1 kx 则当m k 1时 因为x 1 所以1 x 0 于是在不等式 1 x k 1 kx两边同乘以1 x得 1 x k 1 x 1 kx 1 x 1 k 1 x kx2 1 k 1 x 所以 1 x k 1 1 k 1 x 即当m k 1时 不等式也成立 综合 知 对一切正整数m 不等式都成立 1 数学归纳法的第二步由k到k 1的证明 或实际问题中由k到k 1的变化规律是本节难点 突破难点的关键是由k到k 1的推证方法 在运用归纳假设时 应分析p k 与p k 1 的差异及联系 利用拆 添 并 放 缩等手段 或从归纳假设出发 从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 也可考虑寻求二者的 结合点 以便顺利过渡 切实掌握 观察 归纳 猜想 证明 这一特殊到一般的推理方法 2 数学归纳法证明要运用 归纳假设 没有运用 归纳假设 的证明不是数学归纳法 3 证明恒等式的关键是 第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式 凑假设 然后结合归纳假设 经过恒等变形 得到结论所需要的形式 凑结论 4 因为证明不等式的题型多种多样 所以不等式证明是一个难点 在由n k不等式成立 推导n k 1不等式也成立时 以前讲过的证明方法都可以使用 比如 比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法等 但要考虑与原不等式的等价命题 易错点1项数计算错误例题1 用数学归纳法证明不等式 n n n 1 的过程中 由n k递推到n k 1时 不等式左端增加的项数是 a 1b 2k 1c 2kd 2k 1 解析 当n k时 左端 当n k 1时 左端 括号内的部分是增加的式子 计算可知共2k项 故选c 易错分析 这类问题的特点是分母从1开始在正整数范围内递增 抓住这个关键 再对n k和n k 1时左端的式子进行比较 就不会发生错误了 用数学归纳法证明恒等式时 由n k递推到n k 1时 左端增加的项有时是一项 有时不只是一项 有时左端的第一个因式也可能变化 要注意观察规律 易错点2没有利用归纳假设递推例题2 用数学归纳法证明1 2 22 2n 1 2n 1 n n 的过程如下 当n 1时 左边 1 右边 21 1 1 等式成立 假设当n k时 等式成立 即1 2 22 2k 1 2k 1 则当n k 1时 1 2 22 2k 1 2k