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大学物理教程 第4章周期振动 4 1简谐振动的运动学描述 简谐振动的运动方程 4 1 1 4 1简谐振动的运动学描述 图4 1弹簧振子 4 1简谐振动的运动学描述 4 1简谐振动的运动学描述 图4 2位移 速度 加速度与时间的关系 4 1简谐振动的运动学描述 简谐振动的特征量 4 1 2 式 4 1 中的 称为角频率 也称圆频率 我们知道 简谐振动物体位置的变化具有时间周期性 以T表示周期 即振动往复一次所经历的时间 在国际单位制中 角频率 的单位是弧度 秒 1 rad s 4 1简谐振动的运动学描述 式 4 1 中的A称为振幅 表示简谐振动的物体偏离平衡位置的最大位移的绝对值 它给出了物体的振动范围是在 A和 A之间 反映了振动的强弱 描述了简谐振动的空间周期性 4 1简谐振动的运动学描述 在简谐振动的运动方程中 t 称为简谐振动的相位 初始时刻t 0的相位 称为简谐振动的初相 在角频率 和振幅A已知的简谐振动中 根据式 4 1 可知 振动物体在任意时刻t的位移和速度 即振子的运动状态都由 t 决定 t 是决定简谐振动状态的物理量 4 1简谐振动的运动学描述 通常把A 及 三个量称为描述简谐振动的三个特征量 因为只要这三个量确定了 就可以写出简谐振动的运动方程 得到简谐振动的全面信息 在下一节中我们会看到 A和 由初始条件确定 而 取决于振动系统自身的动力学性质 4 2简谐振动的动力学描述 简谐振动的动力学方程 4 2 1 4 2简谐振动的动力学描述 4 2简谐振动的动力学描述 4 2简谐振动的动力学描述 例4 1垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球 静平衡时弹簧伸长量为h 先用手将重物上托使弹簧保持自然长度然后放手 试证明放手后小球做简谐振动 并写出其振动的运动学方程 证明 取静平衡位置为坐标原点 如图4 3所示 当小球挂在弹簧上静平衡时 有 mg kh 0 图4 3例4 1图 4 2简谐振动的动力学描述 简谐振动的能量 4 2 2 4 2简谐振动的动力学描述 4 2简谐振动的动力学描述 图4 5弹簧谐振子的能量 4 2简谐振动的动力学描述 例4 3如图4 6所示 质量为m的任意形状的物体 可绕光滑水平轴O在铅直面内自由转动 将它拉开一个微小角度 后释放 物体将绕O轴做微小的自由摆动 这样的装置叫作复摆 若复摆对O轴的转动惯量为J 复摆的质心C到O轴的距离为h 求复摆的振动周期 图4 6例4 3图 4 3旋转矢量法 4 3旋转矢量法 这正是式 4 1 所表示的简谐振动的运动方程 由此可见 匀速旋转的矢量A 其端点M在x轴上的投影点P的运动是简谐运动 在矢量A的转动过程中 M点做匀速圆周运动 对应的圆周称为参考圆 故旋转矢量法又称参考圆法 图4 7旋转矢量法 4 3旋转矢量法 4 3旋转矢量法 例4 4一简谐振动的振动曲线如图4 8 a 所示 求角频率 初相 及简谐振动的运动方程 由振动曲线可以看出 t 0时 x0 0 v0 0 与此状态相对应的旋转矢量如图4 8 b 所示 图4 8例4 4图 4 3旋转矢量法 依据初始条件由旋转矢量法来确定初相 如图4 9所示 满足x0 0 06m条件 有P和Q两个点 但是只有P点在x轴的投影沿x正向运动 图4 9例4 5图 4 3旋转矢量法 由x 6cm 向x轴负方向运动这一已知条件可知 这一运动状态对应的旋转矢量位置如图4 10所示 其旋转矢量与Ox轴的夹角 旋转矢量逆时针转动到与Ox轴 物体第一次回到平衡位置 图4 10 4 4简谐振动的合成 两个同方向同频率的简谐振动的合成 4 4 1 4 4简谐振动的合成 研究此问题有两种简便的方法 用旋转矢量法求合振动的位移将更加直观简便 如图4 11所示 两个分振动的旋转矢量分别为A1和A2 当t 0时 它们与x轴的夹角分别为 1和 2 在x轴上的投影分别为x1及x2 A1与A2的合矢量为A 而A在x轴上的投影为 x x1 x2 图4 11振动合成矢量图 4 4简谐振动的合成 例4 6图4 12所示为两个同方向 同频率简谐振动的振动曲线 若这两个同方向的简谐振动可叠加 求合振动的振幅和相位 图4 12例4 6图 4 4简谐振动的合成 4 4简谐振动的合成 图4 13例4 7图 4 4简谐振动的合成 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍 4 4 2 4 4简谐振动的合成 上式不符合简谐振动的定义 所以合振动不再是简谐振动 这样振幅就随时间变化 且具有周期性 表现出振动忽强忽弱的现象 如图4 14所示 图4 14两个同方向不同频率的简谐振动的合成 4 4简谐振动的合成 4 5阻尼振动 4 5阻尼振动 4 5阻尼振动 式 4 25 为小阻尼时阻尼振动的位移表达式 其中 A0和 0是由初始条件决定的两个积分常数 其振动曲线如图4 15所示 图4 15阻尼振动曲线 4 5阻尼振动 4 5阻尼振动 此时物体也不做往复运动 对应的是小阻尼与过阻尼之间的临界情况 与过阻尼相比 物体从运动到静止在平衡位置所经历的时间最短 故称为临界阻尼 图4 16反映的是三种不同情况时的位移 时间曲线 图4 16三种不同情况时的位移 时间曲线 4 6受迫振动共振 4 6受迫振动共振 4 6受迫振动