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相关负风险和模型的破产概率 中文提要 相关负风险和模型的破产概率 中文提要 破产概率是风险模型破产理论中的一个热点课题，相关风险和模型近些 年来为人们所关注，但已有文献中的工作都是关于正风险和模型的。本文考 虑负风险和模型，研究类之间的相关性对破产概率的影响，并把相关与独立 时两种情形的结果进行比较。本文在第一章提出了所研究的模型以及模型的 实际背景，本文第二章研究相关性对破产概率的影响，( 定理2 3 1 ) ，本文 的第三章给出了当“理赔量”( 这里理赔意味着收入) 均为指数变量或指数 变量与r ( 2 ，卢) 变量以及均为r ( 2 ，卢) 变量时的数值比较。 关键词：负风险和；破产概率；l u n d b e r g 指数 作者：董迎辉 指导教师：王过京 r u i np r o b a b i l i t yf o rt h er i s kp r o c e s sw i t hc o r r e l a t e dn e g a t i v er i s ks u m sa b s t r a c t r u i np r o b a b i l i t yf o rt h er i s kp r o c e s sw i t h c o r r e l a t e dn e g a t i v er i s ks u m s a b s t r a c t r u i np r o b a b i l i t yi sa t o p i ci nr u i nt h e o r yo fr i s km o d e l s m a n yw o r k e r sh a v eb e e n i n t e r e s t e di nt h er i s kp r o c e s sw i t hc o r r e l a t e dr i s ks u m s b u tt h ew o r kt h a th a sb e e n i nr e f e r e n c e si sa b o u tt h er i s kp r o c e s sw i t hc o r r e l a t e dp o s i t i v er i s ks u m s i nt h i s p a p e r lw ec o n s i d e rt h er i s kp r o c e s sw i t hc o r r e l a t e dn e g a t i v er i s ks u m s w es t u d yh o w t h ed e p e n d e n c eb e t w e e nt h ec l a s s e si m p a c t so nt h er u i np r o b a b i l i t y w e c o m p a r et h e r e s u l t sw i t ht h er i s km o d e lw i t hi n d e p e n d e n tc l a s s e s i nt h ef i r s t p a r to ft h i sp a p e r w eg i v et h em o d e la n di t s b a c k g r o u d i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yt h ed e p e n d e n c e b e t w e e nt h et w oc l a s s e si m p a c t so nt h er u i np r o b a b i l i t y ( t h e o r e m2 3 1 ) i nt h et h i r d p a r to ft h i sp a p e r ，w eg i v et h en u m e r i c a li l l u s t r a t i o nf o rt h er u i np r o b a b i l i t yw h e nt h e “c l a i m s ”d i s t r i b u t i o n sa x et w oe x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n so ra l le x p o n e n t i a l 舡l da r 0 ，卢) d i s t r i b u t i o no rt w or ( 2 ，卢) d i s t r i b u t i o n s k e y w o r d s ：n e g a t i v e r i s ks u m s ，r u i np r o b a b i l i t y , l u n d b e r ge x p o n e n t i a l i i w r i t t e nb yd o n g y i n g h u i s u p e r v i s e db yp r o f w a n gg u o j i n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 y6 46 0 34 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教 育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名：毫匣i 至日期：地k ：! 学位论文使用授权声明 苏卅l 大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：毒照癣 日期；出：y ：丛： 导师签名；挫。日期：哩! ：! ：! f 斯 相关负风险和模型的破产概率第一章绪论 第一章绪论 俗话说：“月有阴晴圆缺，人有旦夕祸福”，这意味着风险是处处存在 的，风险这一词在生活中被频繁使用，在金融行业，风险管理和风险控制尤 为重要，国家还对银行，保险，证券设有专门的风险监管部门。但其中许多 人却未意识到风险理论发展至今已有很长一段历史，它作为精算科学中的重 要组成部分，主要是以保险公司的风险业务为研究对象的，在保险公司的日 常经营中，公司的主要资金往来为保费的收入和理赔的支出，如何处理保险 风险呢? 为此人们总试图建立各种风险模型，并广泛把马氏过程，鞅和布朗 运动，更新过程等理论应用到这些模型的破产理论研究中去。风险模型破产 理论的研究课题很广，破产概率便是其中的一个热点课题。实践也证明，破 产概率确实是衡量保险公司的偿付能力和财务稳定性的一个很好的指标。 1 1问题提出的背景 集合风险论中，风险模型一般是用一点过程来描述理赔次数过程，用一 列随机变量序列来描述理赔量的大小，通常假设保险公司的收入为一连续 的保费收入过程，保费收入率为正常数。 在上一世纪，c r a m d r 和l u n d b e r g 建立了一般随机过程与风险理论研究 之间的联系，他们对风险理论作出了巨大的贡献，尤其对经典风险模型的研 究形成了一套较为成熟的理论，以下先引入经典风险模型，它是最简单的风 险模型。 经典风险模型的定义 相关负风险和模型的破产概率第一章绪论 ( 1 ) 理赔量伴k ：区1 ) 为独立回分布的非负随机变量列，共同分布f ，数 学期望p = e x l 0 ， 定义风险过程 u ( t ) = 牡+ c t s ( t )( 1 1 ) 其中s ( ：警x m 为到t 时刻的总理赔量。 风险过程( 1 1 ) 称为经典风险过程。 破产概率定义为 田( u ) = p ( i n f t 0 ：u ( t ) o ，并且r ( o ) = 0 ，这些模蛩称为正风险和模型，例如保险公司风险业 务中的非寿险险种和普通的寿险险种，事实上，有些险种的收入与支出与上 述险种是相反的，即c 0 ，f ( o ) = 1 ，基于这类险种的模型称为是负风险和模 型。最典型的负风险和模型是寿险年金保险( 参见g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ，p s ) ) ，在这种 风险模型中，保险公面以常值年金率付给被保险入年金，在被保险人死亡( 即 “理赔”发生) 时，保险公司从被保险人那里收到一笔与“期望抚恤金”相当 的酬金。许多作者研究了相关正风险和模型，如a m b a g a s p i t i y a ( 1 9 9 8 ) ( 1 9 9 9 ) ， 2 相关负风险和模型的破产概率 第一章绪论 y u e n 和c u o ( 2 0 0 1 ) 等等。本文考虑相关负风险和模型，主要研究相关性对破 产概率的影响。 1 2相关负风险模型的介绍 现在引入本文要考虑的风险过程。设( q ，g ，p ) 为一完备概率空间，以下 所遇随机变量均为该空间上的随机变量。考虑含有两个类的负风险和模型。 描述两个类的风险过程分别定义为 x l ( t ) = u l + c l t s l ( t ) = u 1 + c l t n 1 。z 2 ) ，( 1 2 ) ( ) k = 1 弱( t ) = 仳2 + c 2 t 一岛( t ) = 钍2 + c 2 t 一z 擘) ，( 1 3 ) 2 ( k = i 其中珏，“。0 分别为这两个类的初始盈余，c - ，c z 0 。假定l ( t ) = n h ( t ) + l 。( ) ，2 ( t ) = 2 2 ( t ) + 1 2 ( t ) ，其中1 。( t ) ，1 。( t ) ，2 2 ( t ) 是独立的泊松过 程，参数分别为a ，a t z ，a ：，显然此时l ( t ) 和2 ( ) 是两个相关的泊松过 程，从而x ( t ) 为含两个相关类的负风险和过程，模型( 1 4 ) 在实际问题中 有其应用背景。如考虑有两个不同类型的负风险和模型，第一个类可表示某 一地区一定年龄段的女性寿险年金保险，第二类表示该地区一定年龄段的男 性寿险年金保险。这两个类一般并不独立，该地区可能受同一意外自然灾害 ( 如洪水，火灾，地震等) 影响，会在两个类同时产生“理赔”，此时模型 ( 1 4 ) 适合于描述含这样两个类的相关负风险和模型，表示在( 0 ，t 】内由意 外灾害在两个类中同时产生的“理赔”次数。 1 3 本文所做的工作 本文在第二部分研究了以上模型的破产概率，并把相关情形下的破产 概率与独立情形下的破产概率作了比较，独立情形：假定l ( o ) 和2 ( 站是 两个独立的泊松过程，参数分别为a + a t 。和a 。+ a t z ，此时x ( t ) 是含两个 独立类的负风险和过程。本文第三部分给出了几个特例对第二部分的结论 作了数值分析第四部分阐述了本文的主要结论。在保险公司的经营中，还 有一个不可忽略的因素：利率，它必定影响到公司的经营状况。随着市场竞 争激烈程度的加深，保险公司对资金的利用愈加重视，因此，目前随机利率 模型引起了人们的关注，我们将来也可以在这方面做很多工作。 4 相关负风险和模型的破产概率第二章相关负风险和模型的破产概率 第二章相关负风险和模型的破产概率 2 1相关负风险模型的分布与数字特征 a m b a g a s p i t i y a 研究了相关总理赔量的分布，在本节我们将简要介绍他工 作中与本文相关的部分内容。 假设保险公司经营p 类2 ) 风险业务，& ，i = l ，2 ，p 表示第i 类总 理赔量，m 表示第i 类风险业务的理赔次数，翰，j = 1 ，2 ，i = 1 ，2 ，p 表示第i 类风险业务的第j 次理赔量。贝u 最= 兰x 玎，保险公司的总损失s 为s ：苎s i 。 假设 ( 1 f v , ，晤1 ，2 ，p 是相关的，并且它们的联合分布已确定， ( 2 ) x 玎，j = 1 ，2 ，对每一i 独立同分布，共同分布函数为 f x , ，i = 1 ，2 ，一，p ， ( 3 ) 理赔量与理赔次数独立。 显然，若腿之间相关，则最也相关。 定义n 维向量 n = 【l ，2 ，p 】t 令 n = a m ( 2 1 ) 其中a = ( a i j ) 为p 南阶矩阵，每一元素均为非负整数，m = ( 尬) 为 x1 列向量，随机变量舰间是独立的。 5 相关负风险和模型的破产概率 第二章相关负风险和模型的破产概率 定理2 1 1 ：具有p 个类的风险过程s = 轰登，若p 维随机向量满 足( 2 1 ) ，则s 又可表示为s = i 圭= l j 差= l 瓦，其中矗独立同分布，共同分布为 ( z ) = ( 磴+ 嘴2 虬；磷7 i ) ( z ) ，磷) 兰1 。 证明：证明通过计算s 的矩母函数易得，参见a m b a g a s p i t i y a ( 1 9 9 8 ) 。口 显然，当抛为参数为a i 的泊松随机变量时，则s 为参数为 = 查a t ， 理赔量分布f ( z ) = i 1 苫k 九( 磷1 ) e 磁2 i ) + + 政，) ( z ) 的复合泊松过程。特 别，当p = 2 ，k = 3 时，由定理2 1 ，1 很容易得到下列推论： 推论2 。1 1 ：假设l ( f ) = 1 1 ( ) + l 。( t ) ，飓( 站= 2 2 ( f ) + 】。( t ) ，则s ( ) 为复 合泊松过程，参数为a ：h i + 九+ a 1 2 ，共同分布为f = a 、1 f a 、u f 。, + 华f 1 t f 2 。 证明：证明只要在( 2 1 ) 中令 = ( 麓) = ( l ：! ) ，a = ( ： 由全概公式得： 1 l 2 2 1 2 即可。口 p ( s ( o z ) _ 。薹：。p ( 警耀+ k 掣= i z 骶z )z ) = 。蚤：。p ( 蓬。磁+ z 掣s z ) x p ( n 1 _ l ( t ) = n ，1 2 ( t ) = m ，2 2 ( t ) = f ) ： 量世驾生掣进。小，挑删t 碍忡) + 巧m 删( 。) 2 。，惫；o 而r 。1 ”r 2 p j 由a m b a g a s p i t i y a ( 1 9 9 8 ) ，s ( t ) ，s l ( t ) ，岛( t ) 的矩母函数分别为 慨( r ) = e 印似( 等舰( r ) + 安尬( r ) + 等舰( r ) 尬( r ) 一1 ) ) ， m s ，( t ) ( r ) = e 哪玎( a 1 + a i 2 ) t ( m p ) 一1 ) ， ( t ) ( r ) = e 印 ( a 2 + a 1 2 ) t ( ( r ) 一1 ) ) ， 其中舰( r ) ，尬( r ) 分别为分布f l ，最的矩母函数。 则 6 相关负风险和模型的破产概率第二章相关负风险和模型的破产概率 s i s l ( t ) 】_ d l n m f s l ( t ) ( r ) i t = o = ( a 。+ t 叫( r ) i t = o = ( a - + 糊p l t ， e 慨( t ) _ d l n m f s 2 ( t ) ( r ) i t = o = ( a 2 + a i 。) t 蟛( r ) b = ( a 2 + a 1 2 ) p e i s ( t ) 】= d l n m i s 一( t ) ( r ) b = 【a l t m i ( r ) + a z t 蟛( r ) + a 1 2 t m ( r ) 屿( r ) + a 1 2 t 蟛( r ) 尬( r ) ：o = ( a l + a 1 2 ) p l t + ( a 2 + a 1 2 ) 科t y 。r i s l ( t ) 】= d 2 l n m 鬲s 了1 ( 一t ) ( r ) i t = o = l + a ，。) t 叫( r ) i t = o = ( a 1 + a 1 2 ) p 2 t 1 ，。州岛( 纠= d 2 l n l m s ：r 2 ( 0 ( 一r ) | r = 0 = ( a 。+ a 1 2 ) 姐掣( r ) i t = o = ( a 。+ 糊p y b r 酏) 】一d 2 1 n 打m 2 s ( , ) ( r ) | 仁o = x l t m i ( r ) + a 2 掣( r ) + a 1 2 t 叫( r ) a 如( r ) 由于 + a 1 2 t m 。i ( r ) 晒( r ) + 2 a t 2 t 州( r ) 蟛( r ) ：0 = ( a 1 + a 1 2 ) p 2 t + ( a 2 + a 1 2 ) 硅t + 2 a 1 2 p 1 ；i t v a r s ( t ) 】= y 。r 盼( t ) 】+ y 盯陉( t ) 】+ 2 c o v ( s l ( t ) ，岛( t ) ) ， 所以 g 。”( s 。( t ) ，岛( t ) ) = v a r s ( t ) - v a r 丁 s 1 ( t ) - v a r s 2 ( t ) = a l 删，扎 因p - ，区 0 ，l i + m 。g ( r ) 2c r ，零( u ) 皿7 ( ) 1 n 相关负风险和模型的破产概率第二章相关负风险和模型的破产概率 证明：定义 f l ( r ) = ( a l + a 1 2 ) 4 矗( r ) + ( 儿+ a 1 2 ) a 4 矗( r ) 一a ， 如( r ) = a l 矿已( r ) + a 2 m f ( r ) + a 1 2 m f , ( r ) 彳民( r ) 一a ， 易验证，当r - + 。o 时， ( r ) - 一a j ，2 ( r ) a ，并且州r ) ，以( r ) 在 ( o ，+ 。) 内均小于0 ，月( r ) ，劈( r ) 在( 0 ，+ o 。) 内均大于0 ，又在r = 0 右侧 附近， ( r ) ，如( r ) 0 ，有 ，p ) = ( r ) 一南( r ) = 一九d m f , 一1 ) ( l 纭1 ) 0 ) 相遇从而r r r ，故皿( u ) 皿7 ( u ) 。 口 1 1 相关负风险和模型的破产概率 第三章例与数值分析 第三章例与数值分析 在以下三个例子中，a = a + a z + a 。 例1 ：“理赔量”均为指数变量的情形： 记f 1 ，f 2 的密度函数分别为，l ，2 ，令f l ( x ) = o e “，。0 ，2 ( $ ) = 卢b 触，z 0 ，“，卢 0 ，由推论2 i 1 和( 2 2 ) 式推出r 是方程( 3 i ) 的正根 一c r 2 一盼+ ( a + 卢) c r + a 1 a + a 2 卢一a ( a + 卢) 一c a # = 0( 3 1 ) 同理可知r ，是方程( 3 2 ) 的正根 盯2 一队，+ ( o + p ) c r + ( a l + a 1 2 ) a + ( a 2 + a 1 2 ) p a z ( a + 卢) 一c 口芦= 0( 3 2 ) 令a = 一c ，b = 由( 3 1 ) 得r = 一协+ ( o t + ) c ，d = a z a + a 2 声一a ( + 声) 一c a 声， b + x - b 2 - 4 a d 2 a 。 令6 0 = 一盼f + ( a + 芦) c ， 一c d 卢，由( 3 2 ) 得r z = d o = 1 + a 1 2 ) 口+ ( a 2 + a 1 2 ) 卢一a r ( a + 卢) 一+ v t 碡- 一4 a d o 2 a 。 取q = 3 ，卢= 2 ，a l = 3 ，a 1 2 = 2 ，a 2 = 2 ，c = 一了1 0 ，则 聃捌2 焉器 a 1 2 一 v a t ( n 1 2 ) 一万丽丽需丽 = 0 4 4 7 2 1 4 鹏侧2 而c 丽o o ( s l , s 2 ) 2 而去器m p l p l 丽- o 。z s e 叭 p ( 研，腿) = 0 ，p ( s f ，硝) = 0 ，此时r = o 1 9 3 9 2 8 ，r r = 0 2 3 6 5 4 2 。 破产概率的数值比较见表1 。 1 2 相关负风险和模型的破产概率第三章例与数值分析 表1 钍 皿( 让)皿( u )皿( “) 母7 ( 铒) 01ll l 0 8 2 3 7 1 70 7 8 9 3 5 21 0 4 3 5 3 6 30 5 5 8 9 0 00 4 9 1 8 2 71 1 3 6 3 7 5 50 3 7 9 2 2 00 3 0 6 4 4 61 2 3 7 4 7 4 70 2 5 7 3 0 4 0 1 9 0 9 4 01 3 4 7 5 6 8 90 1 7 4 5 8 4o 1 1 8 9 7 01 4 6 7 4 5 6 1 50 ，0 5 4 5 3 50 0 2 8 7 7 81 8 9 4 9 9 7 2 00 0 2 0 6 8 10 0 0 8 8 1 92 3 4 5 0 11 2 50 0 0 7 8 4 20 0 0 2 7 0 32 9 0 1 8 9 1 3 00 0 0 2 9 7 40 0 0 0 8 2 83 5 9 1 0 1 5 3 50 。0 0 1 1 2 80 0 0 0 2 5 44 4 4 3 7 8 9 例2 ： “理赔量”分别为指数变量和r ( 2 ，p ) 变量的情形： 设，1 ( 。) = 。矿。，$ 0 ，丘( z ) = 一矿z e 触，。0 ，0 f ，卢 0 ，f h 推论2 1 1 和 ( 2 2 ) 式知兄是方程( 3 3 ) 的正根： 一c r 3 一【( 口+ 2 声) c + a 】r 2 + 胁一a ( a + 2 p ) 一c ( p 2 + 2 叩) 】r f 3 31 + 2 a l a 3 + a 2 卢2 一a ( 卢2 + 2 口卢) 一c d 卢2 = 0 。 同理可得r ，是方程( 3 4 ) 的正根： 一c r 3 一 a ，+ c ( d + 2 阱2 + 【( a l + a 1 2 ) 乜一a 出+ 2 卢) 一c ( 卢2 + 2 叩) 卜 f 3 4 ) + 2 ( a 1 + a 1 2 ) d 卢+ + ( a 2 + a 1 2 ) 卢2 一a j ( 卢2 + 2 口卢) 一c a 卢2 = 0 。 令a = 一c ，b = 一江+ ( + 2 卢) c 】，d = 陋l o l a ( 口+ 2 8 ) 一c ( 卢2 + 2 a p ) 】， m = 2 a - 印+ a z 卢2 一a ( 卢2 + 2 n 卢) 一唧2 ，p = ：一3 ( 壶) 2 ，g = 詈一墨+ 西2 ( 苫b ) 3 ， = ( 抄( 弘由( 3 3 ) 得r = 眄+ 踟一丽b 令b o = 一 a j + ( 0 f + 2 卢) c 】， d o = ( ( a i + a 1 2 ) 口一a r ( a + 2 z ) 一c ( 多2 + 2 碰卢) 】， 1 3 相关负风险和模型的破产概率第三章例与数值分析 m o = 2 ( a ，+ a 。) a 卢+ ( a 。+ a 。) 卢2 一a ，( 卢2 + 2 叩) 一删卢2 ，p 0 = 鲁一3 ( 墨) 2 ， 舶= i m 0 一孬b o d o + 衍2l i b o j 3 ，a 0 = ( 詈) 2 + ( 害) 3 ，由( 3 4 ) 得 r ，= 二鄢+ 二可一。b o 。 取n = 6 ，p = 3 ，a l = 5 ，a 1 2 = 4 ，a 2 = 2 ，c = 一5 ，贝0 p ( 1 ，2 ) = p ( s 1 ，岛) = c o y ( n 1 ，2 ) a 1 2 = 0 5 4 4 3 3 1 1 1 些堕 ：0 3 1 4 2 7 0 。 n 1 + a 1 2 ) p 2 ( a 2 + a l 2 ) 必 7 p ( f ，n i ) = 0 ，p ( s f ，掰) = 0 ，此时r = o 2 0 2 7 9 ，r r = o 2 4 4 8 破产概率的数值比较见表2 表2 钍 皿( 钍)皿。( 乱)皿( u ) 皿7 ( 札) 0l1l 1 0 8 1 6 4 5 00 7 8 2 8 6 11 0 4 2 9 0 5 30 5 4 4 2 3 70 ，4 7 9 7 9 3 1 1 3 4 3 1 6 50 3 6 2 7 8 30 2 9 4 0 5 2 1 2 3 3 7 4 0 70 2 4 1 9 2 80 1 8 0 2 1 6 1 3 4 1 8 7 8 90 1 6 1 2 0 0o 1 1 0 4 4 91 4 5 9 4 9 4 1 50 0 4 7 7 4 60 0 2 5 4 2 61 8 7 7 8 9 2 2 00 0 1 7 3 2 2o 0 0 7 4 7 62 3 1 6 8 3 0 2 50 0 0 6 2 8 40 0 0 2 1 9 82 8 5 8 3 6 6 3 00 0 0 2 2 8 00 0 0 0 6 4 63 5 2 6 4 7 9 3 50 0 0 0 8 2 70 0 0 0 1 9 0 4 3 5 0 7 5 8 例3 ：“理赔量”均为r ( 2 ，p ) 变量的情形： 为简单起见，设 ( 茹) = 厶( z ) = 一卢2 9 沙，z 0 ，卢 0 ，由推论2 1 1 和( 2 2 ) 1 4 相关负风险和模型的破产概率第三章例与数值分析 式知r 是方程( 3 5 ) 的正根： 一巴一警6 + a 、) r 3 - ( 6 酽? 4 祁p 2 叫4 扩+ 6 即2 一( h z ) 伊卜 ( 3 5 ) 一够4 + 2 n l + a 2 ) 卢3 4 a ；9 3 = 0 ， 、 。 同理可得髓是方程( 3 6 ) 的正根： 一c r 2 一( a ，+ 2 c 卢) r 一2 a 1 f l c 卢2 = 0( 3 6 ) 令。：4 f c + a ，b ：6 f 1 2 c + 4 a f t ， c c 。：二型坐立塑壁二! 鲨 d = 望塑等业堂， 由( 3 5 ) 得兄是方程r 2 + ( 。一棚订i 同；+ 白一而a + y - 。d 一4 6 ，) = o 的正 根。其中，y 是方程8 y 3 4 b y 2 + ( 2 a d 一8 e ) y + e ( 4 b 0 2 ) = 0 的实根。实根 y 的解法类似例二。令= 一a ，一2 印，d o = 一2 a ，卢一印z ，由( 3 ，6 ) 得： 耻攀 取声= 2 ，a l = 2 ，a 1 2 = 1 ，a 2 = 1 ，c = 一3 6 ，则 矾圳2 而c 丽o v ( n 而, , n 2 雨) 2 而去恭雨一0 4 啷t s z 。， p ( s 岛) 2 了可畿3 了零i 亏i i i 赫= n z ，z z - e s s 。， p ( 埘，埘) = 0 ，户( 斟，鹫) = 0 ，此时r = 0 3 9 4 6 7 8 ，r f0 5 。 破产概率的数值比较见表3 。 1 5 相关负风险和模型的破产概率第三章例与数值分析 表3 珏 霉( 茁)皿7 ( 珏)皿( 锃) 霍7 ( u ) 011l l0 6 7 3 8 9 7 0 00 6 0 6 5 3 0 6 61 1 1 1 0 6 8 3 2 30 3 0 6 0 4 1 6 70 2 2 3 1 3 0 1 61 3 7 1 5 8 3 6 2 50 1 3 8 9 8 4 9 00 0 8 2 0 8 5 0 0 1 6 9 3 1 8 2 6 8 70 0 6 3 11 8 2 10 0 3 0 1 9 7 3 82 0 9 0 1 8 7 9 7 9 0 0 2 8 6 6 4 3 20 0 1 1 1 0 9 0 02 5 8 0 2 8 0 2 1 1 50 0 0 2 6 8 4 7 40 0 0 0 5 5 3 0 8 4 8 5 4 1 3 0 5 4 2 00 0 0 0 3 7 3 1 40 0 0 0 0 4 5 4 08 2 1 8 9 2 9 7 5 2 50 0 0 0 0 5 1 8 60 0 0 0 0 0 3 7 3 1 3 9 1 6 1 4 9 5 0 3 00 0 0 0 0 0 7 2 10 0 0 0 0 0 0 3 12 3 5 6 2 5 8 3 2 9 3 50 0 0 0 0 0 1 0 00 。0 0 0 0 0 0 0 33 9 。8 9 5 7 5 7 9 0 从表1 ，表2 ，表3 看出对于含有两个类的负风险和模型，类之间的相 关性会使相应风险过程的破产概率增大，且随着初始盈余的增大，相关性对 破产概率的影响也越来越显著 1 6 相关负风险和模型的破产概率第四章结论 第四章结论 本篇论文的主要结论： 研究了含有n z t 类的负风险和模型，分别给出了相关类与独立类过程的l u n d b e r g 指数所满足的方程，并比较了这两个指数。通过证明与数值分析得出类之间 的相关性会使相应风险过程的破产概率增大，即定理2 3 1 ，且由数值分析， 可看出随着初始盈余的增大，相关性对破产概率的影响也越来越显著。 1 7 相关负风险和模型的破产概率 参考文献 参考文献 1 a m b a g a s p i t i y a ，r s o nt h ed i s t r i b u t i o n o ft w oc l a s s e so fc o r r e l a t e da g g r e g a t e c l a i m s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s1 9 9 8 ，2 3 ：1 5 1 9 f 2 ja m b a g a s p i t i y a ，r s o nt h ed i s t r i b u t i o no ft w oc l a s s e so fc o r r e l a t e da g g r e g a t e c l a i m s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s1 9 9 9 ，2 4 ：3 0 2 3 0 8 3 y u e n ，k c ，g u o ，j y r u i np r o b a b i l i t i e sf o rt i m e - c o r r e l a t e dc l a i m si nt h ec o r n p o u n d b i n o m i n a lm o d e l i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s2 0 0 1 ，2 9 ：4 7 5 7 4 】g r a n d e l l ，j a s p e c t so fp d s kt h e o r y s p i n g e r v e d a g ，n e wy o r k ，1 9 9 1 5 js u n d t ，b ，t e u g e l s ，j l r u i ne s t i m a t e su n d e ri n t e r e s tf o r c e ，i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s1 9 9 5 ，1 6 ：7 - 2 2 6 】s u n d t i u ，bt e u g e l s ，j l t h ea d j u s t m e n tf u n c t i ni n r u i ne s t i m a t e su n d e ri n t e r e s t f o r c e i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s1 9 9 7 ，1 9 ：8 5 9 4 7 d e l b a e n ，f i h a