度高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点同步辅导与检测课件 新人教A版必修1.ppt

3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 函数的应用 1 掌握零点的概念 理解函数零点与方程的根之间的联系 2 初步形成用函数观点处理问题的意识 体会函数与方程的思想 3 领会函数零点与相应方程根的关系 4 掌握零点存在的判定条件 基础梳理 1 函数零点的概念对于函数y f x x d 把使 成立的实数x叫做函数y f x x d 的 例如 y 2x 1的函数图象与x轴的交点为 有一个零点是 二次函数y x2 x 2函数图象与x轴的交点为 有二个零点是 2 函数y f x 的零点就是方程f x 0的 亦即函数y f x 的图象与x轴交点的 1 f x 0零点 1 0 2 0 1与22 实数根横坐标 例如 已知函数f x 零点为 x 3 则方程f x 0的实数根为 亦即函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标为 3 方程f x 0有 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有 4 函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在 内有零点 例如 二次函数f x x2 2x 3的图象 f 2 f 1 0 填 或 在区间 上有 2 x 333 实数根交点零点4 a b 2 1 零点 思考应用 1 如果f x 是区间上的单调函数 且满足 a f b 0 那么f x 在区间上一定有零点吗 解析 不一定 若f x 在区间上的图象是连续不断的一条曲线 那么f x 在区间恰有一个零点 若f x 在区间上的图象不是一条连续的曲线 那么f x 在区间上可能没有零点 如函数f x 2 如果函数f x 在区间 a b 有零点 那么一定有f a f b 0 3 如果连续函数f x 在区间 a b 没有零点 是否一定有f a f b 0 解析 连续函数f x 在区间没有零点 意味着函数f x 在区间上的函数值同号 故一定有f a f b 0 自测自评 1 若x0是方程lgx x 2的解 则x0属于区间 a 0 1 b 1 1 25 c 1 25 1 75 d 1 75 2 2 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 因为f 0 10 所以零点在区间 0 1 上 选c 答案 c 3 函数f x 2x 3x的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 解析 由f 1 30及零点定理知f x 的零点在区间 1 0 上 答案 b 求简单函数的零点 求下列函数的零点 1 f x x2 3x 4 2 f x log2x 解析 1 令f x x2 3x 4 0解得x1 4 x2 1 所以f x x2 3x 4的零点是 4 1 2 令f x log2x 0得x 1所以f x log2x的零点为1 跟踪训练 1 求下列函数的零点 1 f x 8x2 7x 1 2 f x x2 6x 9 函数零点的判断 1 函数f x lnx 的零点所在的大致区间是 a 1 2 b 2 3 c 和 3 4 d e 2 函数f x 2x lg x 1 2的零点的个数是 解析 1 易知f x 在其定义域上为增函数 f 1 2 0 f 2 ln2 1 0 在 1 2 内f x 无零点 a不对 又f 3 ln3 0 f 2 f 3 0 f x 在 2 3 内有一个零点 2 法一 f 0 1 0 2 1 0 f 2 4 lg3 2 0 f x 在 0 2 上必定存在零点 又显然f x 2x lg x 1 2在 1 上为增函数 图略 故f x 有且只有一个零点 法二 在同一坐标系下作出h x 2 2x和g x lg x 1 的草图 由图象知g x lg x 1 的图象和h x 2 2x的图象有且只有一个交点 即f x 2x lg x 1 2有且只有一个零点 答案 1 b 2 1 跟踪训练 二次函数的零点问题 当a为何值时 函数y 7x2 a 13 x a2 a 2的一个零点在区间 0 1 上 另一个零点在区间 1 2 上 分析 函数的零点在区间 0 1 和区间 1 2 上 也就是方程7x2 a 13 x a2 a 2 0的根在这两个区间上 解析 设f x 7x2 a 13 x a2 a 2 则方程一个根在 0 1 上 另一根在 1 2 上 等价于 2 a 1 或3 a 4 跟踪训练 3 若方程ax2 x 1 0在 0 1 内有解 求a的取值范围 解析 由题意知f 0 f 1 0 即 1 a 1 1 0 解得a 2 零点的存在性与零点个数问题 设函数f x x ln x 2 证明函数f x 在 e 2 2 e4 2 内有两个零点 解析 因为f e 2 2 e 2 0 f e4 2 e4 6 0 f 0 ln2 0 又函数f x 在 e 2 2 e4 2 上的图象是连续的 所以函数f x 在 e 2 2 0 及 0 e4 2 上各有一个零点 所以函数f x 在 e 2 2 e4 2 内有两个零点 跟踪训练 解析 当x 0时 令x2 2x 3 0解得x 3 当x 0时 令 2 lnx 0解得x e2 故函数有两个零点 选b 答案 b 4 函数f x 的零点个数为 a 3b 2c 1d 0 一 选择填空题1 设函数f x x3 ax b是定义域 2 2 上的增函数 且f 1 f 1 0 则方程f x 0在 2 2 内 a 可能有三个实数根b 可能有两个实数根c 有唯一的实数根d 没有实数根 解析 f x 在 2 2 上是增函数 且f 1 f 1 0 f x 在 1 1 上有唯一的实根 故在 2 2 上也只有唯一实根 答案 c 2 方程lgx x 0在下列的哪个区间内有实数解 a 10 0 1 b 0 1 1 c 1 10 d 0 解析 记f x lgx x f 0 1 f 1 lg0 1 0 1 lg1 1 0 9 1 0 在 0 1 1 内有解 答案 b 1 学习函数零点的概念要注意联系函数 方程 不等式内