高考数学 第七章 第五节直线、平面垂直的判定及其性质课件 理.ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义直线l与平面 垂直 直线l与平面 内的 都垂直 2 直线与平面垂直的判定定理及性质定理 任意一条直线 两条 l a l b a b a b o 平行 a b 相交直线 即时应用 1 思考 能否将直线与平面垂直的定义中的 任意一条直线 改为 无数条直线 提示 不可以 当这无数条直线平行时 直线l有可能在平面 内 或者l与平面 相交但不垂直 2 直线a 平面 b 则a与b的位置关系是 解析 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 但a与b可能相交 也可能异面 答案 垂直 2 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 如图 就是斜线ap与平面 所成的角 2 线面角 的范围 0 特别地 当直线与平面平行或在平面内时 规定直线与平面所成的角为 当直线与平面垂直时 规定直线与平面所成的角为 射影 锐角 pao 0 即时应用 1 思考 如果两直线与一个平面所成的角相等 则这两直线一定平行吗 提示 不一定 这两直线的位置关系可能平行 相交或异面 2 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 其大小为 d1b与平面abcd所成的角为 其正弦值为 解析 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 cb1c1 其大小为45 连接bd 则d1b与平面abcd所成的角为 d1bd 其正弦值为 答案 cb1c145 d1bd 3 平面与平面垂直 1 二面角 二面角的定义 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做 两个半平面叫做 如图的二面角 可记作 二面角 或二面角 或二面角 或二面角 两个 半平面 二面角的棱 二面 角的面 l ab p ab q p l q 二面角的平面角如图 从二面角 l 的棱l上的一点o在两个半平面内分别作bo l ao l 则 就叫做二面角 l 的平面角 二面角的平面角的范围设二面角的平面角为 则 0 aob 2 平面与平面垂直 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 平面与平面垂直的判定定理及性质定理 直 二面角 平面与平面垂直的判定定理及性质定理 垂线 l l 交线 a l l a 即时应用 1 思考 垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 不一定 两平面可能平行 也可能相交 2 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 解析 由条件知 当m 时 一定有 但反之不一定成立 故填必要不充分 答案 必要不充分 3 将正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 解析 如图 取ac的中点o 连接do bo 则do ac bo ac 故 dob为二面角的平面角 从而 dob 90 设正方形边长为1 则do bo 所以db 1 故 adb为等边三角形 所以 dab 60 答案 60 热点考向1直线与平面垂直的判定和性质 方法点睛 1 证明线面垂直的常用方法 2 线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时 直线与平面内的所有直线都垂直 常利用这个结论来证明线线垂直 这种方法体现了 线线垂直 与 线面垂直 间的相互转化 提醒 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写解题过程 否则容易失分 如用判定定理证明线面垂直时 一定要体现 平面中的两条相交直线 这一条件 例1 1 2012 福州模拟 已知如图 六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc 则下列结论不正确的是 a cd 平面paf b df 平面paf c cf 平面pab d cf 平面pad 2 2012 厦门模拟 如图 三棱锥p abc中 pa 底面abc ab bc de垂直平分线段pc 且分别交ac pc于d e两点 又pb bc pa ab 求证 pc 平面bde 若点q是线段pa上任一点 判断bd dq的位置关系 并证明你的结论 若ab 2 求三棱锥b ced的体积 解题指南 1 根据线面平行 垂直的判定定理来判断 2 利用线面垂直的判定定理证明 证明bd 平面pac即可得出结论 根据vb ced vc bde 转化为求s bde及ce的问题 规范解答 1 选d 由正六边形的性质得cd af cf ab 故a c正确 因为pa 平面abc 所以pa df 又df af pa af a 故df 平面paf 即b正确 故选d 2 由等腰三角形pbc 得be pc 又de垂直平分pc de pc be 平面bde且de 平面bde be de e pc 平面bde 由 得 pc bd 因为pa 底面abc 所以pa bd pc 平面pac pa 平面pac pc pa p bd 平面pac 当点q是线段pa上任一点时都有bd dq pa ab 2 pb bc 2 ab bc ac 2 pc 4 ce 2 且 cde cpa 由 知 bd de vb ced vc bde s bde ce 互动探究 本例 2 若改为 设q是线段pa上任意一点 求证 平面bdq 平面pac 则如何求解 证明 由 2 的解法可知bd 平面pac 又bd 平面bdq 平面bdq 平面pac 反思 感悟 1 在证明垂直关系时 要注意线面垂直与面面垂直之间的相互转化 同时要注意通过作辅助线进行这种转化 这是证垂直时常用到的方法 2 解题时要重视对图形的观察与分析 从中找到线线垂直是解题的关键 所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理 变式备选 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 1 aa1 2 e是侧棱bb1的中点 1 求证 a1e 平面ade 2 求三棱锥a1 ade的体积 解析 1 由勾股定理知 则a1a2 a1e2 ae2 a1e ae ad 平面aa1b1b a1e 平面aa1b1b a1e ad 又ad ae a a1e 平面ade 2 由题意得 热点考向2平面与平面垂直的判定和性质 方法点睛 1 证明面面垂直的技巧面面垂直的证明综合性强 可通过转化使问题得以解决 线线垂直 线面垂直 面面垂直 间的关系如下图 要熟练掌握它们之间的转化关系 其中线线垂直是基础 线面垂直是核心 解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直 线面垂直的条件 2 面面垂直性质的应用技巧 1 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直于第三个平面 此性质在不是很复杂的题目中 要进行证明 例2 如图 在 bcd中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面bcd adb 60 e f分别是ac ad上的动点 且 0 1 1 判断ef与平面abc的位置关系并给予证明 2 是否存在 使得平面bef 平面acd 如果存在 求出 的值 如果不存在 说明理由 解题指南 1 结合图形猜测ef与平面abc垂直 由条件知ef cd 由 bcd 90 及ab 平面bcd 易证cd 平面abc 2 由ef cd可得 问题相当于过点b作一个平面与平面acd垂直 这样的平面一定存在 故只需计算出 即可 由条件不难得到be cd 故只需be ac 规范解答 1 ef 平面abc 证明 因为ab 平面bcd 所以ab cd 又在 bcd中 bcd 90 所以bc cd 又ab bc b 所以cd 平面abc 又在 acd中 e f分别是ac ad上的动点 且 0 1 ef cd ef 平面abc 2 cd 平面abc be 平面abc be cd 易知要使平面bef 平面acd 只要be ac即可 在rt abd中 adb 60 ab bdtan60 则当be ac时 则即时 be ac 又be cd ac cd c be 平面acd be 平面bef 平面bef 平面acd 所以存在 且当时 平面bef 平面acd 反思 感悟 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理 即证明一个面过另一个面的一条垂线 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线或添加辅助线解决 变式训练 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解析 1 如图 取ad的中点g 连接pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad 且bg pg g ad 平面pbg ad pb 2 连接cg de 且cg与de相交于h点 在 pgc中作hf pg 交pc于f点 连接df fh 平面abcd 平面def 平面abcd 菱形abcd中 g e分别为ad bc的中点 即得知h是cg的中点 f是pc的中点 在pc上存在一点f 为pc的中点 使得平面def 平面abcd 热点考向3垂直关系的综合问题 方法点睛 与垂直有关的综合题的类型 1 对于三种垂直的综合问题 解题时要注意通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 对于垂直与平行结合的问题 解题时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 3 对于垂直与体积结合的问题 在求棱锥的体积时 可根据线面垂直得到表示棱锥高的线段 进而求得体积 例3 2012 安徽高考 平面图形abb1a1c1c如图1所示 其中bb1c1c是矩形 bc 2 bb1 4 ab ac a1b1 a1c1 现将该平面图形分别沿bc和b1c1折叠 使 abc与 a1b1c1所在平面都与平面bb1c1c垂直 再分别连接a1a a1b a1c 得到如图2所示的空间图形 对此空间图形解答下列问题 1 证明 aa1 bc 2 求aa1的长 3 求二面角a bc a1的余弦值 规范解答 1 取bc b1c1的中点为点o o1 连接ao oo1 a1o a1o1 则由ab ac知ao bc 由面abc 面bb1c1c可知ao 面bb1c1c 同理 a1o1 面bb1c1c 由此可得ao a1o1 即a o a1 o1共面 又oo1 bc oo1 ao o 则bc 面aoa1o1 所以aa1 bc 2 延长a1o1到d 使o1d oa 则o1doa adoo1 oo1 bc 面a1b1c1 面bb1c1c 则oo1 面a1b1c1 ad 面a1b1c1 在rt aa1d中 3 因为ao bc a1o bc 则 aoa1是二面角a bc a1的平面角 在rt oo1a1中 在rt oaa1中 cos aoa1 所以二面角a bc a1的余弦值为 变式训练 1 如图 在正四面体p abc中 d e f分别是ab bc ca的中点 下面四个结论不成立的是 a bc 平面pdf b df 平面pae c 平面pdf 平面pae d 平面pde 平面abc 解析 选d 因bc df 所以bc 平面pdf a成立 易证bc 平面pae bc df 所以结论b c均成立 点p在底面abc内的射影为 abc的中心 不在中位线de上 故结论d不成立 2 2012 鞍山模拟 已知直线l 平面 直线m 平面 给出下列命题 l m l m l m l m 其中所有正确的序号是 解析 中 由 l 得l 可得l m 故正确 中 由 l 得l在平面 内或与 平行 不一定有l m 故不正确 中 由l m l 可得m 又m 故 正确 中 由l m不能得到 综上 正确 答案 变式备选 2012 济南模拟 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n p分别为所在边的中点 o为面对角线a1c1的中点 1 求证 平面mnp 平面a1c1b 2 求证 mo 平面a1bc1 证明 1 连接d1c mn为 dd1c的中位线 mn d1c 又 d1c a1b mn a1b 同理mp c1b 而mn与mp相交 mn mp 平面mnp bc1 a1b 平面a1c1b 平面mnp 平面a1c1b 2 方法一 连接c1m和a1m 设正方体的棱长为a 正方体abcd a1b1c1d1 c1m a1m 又 o为a1c1的中点 a1c1 mo 连接bo和bm 在三角形bmo中 经计算知 ob2 mo2 mb2 即bo mo 而a1c1 bo 平面a1c1b a1c1 bo o mo 平面a1c1b 方法二 连接ab1 b1d b1d1 则o是b1d1的中点 ad 平面abb1a1 a1b 平面abb1a1 ad a1b 又a1b ab1 ad和ab1是平面ab1d内两条相交直线 a1b 平面ab1d 又b1d 平面ab1d a1b b1d 同理 bc1 b1d 又a1b和bc1是平面a1bc1内两条相交直线 b1d 平面a1bc1 om是 d1b1d的中位线 om b1d om 平面a1bc1 1 2013 泉州模拟 已知两条不同的直线m n 两个不同的平面 则下列命题中的真命题是 a 若m n 则m n b 若m n 则m n c 若m n 则m n d 若m n 则m n 解析 选a 由m 可得m 或m 又n 故m n 即a正确 如图 1 m n 但m n 故c错 如图 2 知b错 如图 3 正方体中 m n 但m n相交 故d错 2 2013 龙岩模拟 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 线段ac1上有两个动点e f 且给出下列四个结论 ce bd 三棱锥e bcf的体积为定值 bef在底面abcd内的正投影是面积为定值的三角形 在平面abcd内存在无数条与平面dea1平行的直线