高考数学 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课件 理.ppt

第二节一元二次不等式及其解法 1 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 x xx2 x x x x1 x x2 r 即时应用 1 不等式x2 3x 2 0的解集为 2 设二次不等式ax2 bx 1 0的解集为 x 1 x 则ab的值为 3 函数的定义域是 解析 1 原不等式等价于 x 1 x 2 0 即1 x 2 2 由题意可知a 0 且 1 是方程ax2 bx 1 0的两个根 故 3 由x2 x 12 0 即 x 4 x 3 0 得x 4或x 3 答案 1 1 2 2 6 3 4 3 2 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解过程用程序框图表示为 x x x2或x x1 r 即时应用 思考 上述不等式中a 0 若a 0时解集的情况又将如何 提示 若a 0 则一般先将不等式进行转化 使x2的系数为正后再求解 但一定要注意转化过程中不等号的变化 0时解集为 0时解集为 x x1 x x2 热点考向1一元二次不等式的解法 方法点睛 解一元二次不等式的一般步骤 1 对不等式变形 使一端为0且二次项系数大于0 2 计算相应的判别式 3 当 0时 求出相应的一元二次方程的根 4 根据对应二次函数的图象 写出不等式的解集 提醒 也可以这样解一元二次不等式 首先将二次项系数转化为正数 再看能否因式分解 若能 则可得相应方程的两根 且大于号取两边 小于号取中间 若不能 当 0时 利用求根公式求解相应方程的根 而后写出解集 例1 1 2013 大连模拟 已知函数f x ax 1 x b 如果不等式f x 0的解集是 1 3 则不等式f 2x 0的解集是 a b c d 2 2012 湖南高考 不等式x2 5x 6 0的解集为 规范解答 1 选a 不等式f x 0 即 ax 1 x b 0 其解集是 1 3 所以于是f x x 1 x 3 所以不等式f 2x 或x 2 不等式可化为 x 2 x 3 0 因此2 x 3 即不等式的解集为 x 2 x 3 答案 x 2 x 3 变式训练 解不等式12x2 ax a2 a r 解析 原不等式可化为12x2 ax a2 0 4x a 3x a 0 令 4x a 3x a 0得 a 0时此时不等式等价于 a 0时 不等式等价于x2 0 x 0 a 0时此时不等式等价于综上所述 当a 0时 不等式的解集为当a 0时 不等式的解集为 0 0 当a 0时 不等式的解集为 变式备选 解下列不等式 1 10 x 1 25x2 2 1 ax 2 1 解析 1 原不等式等价于25x2 10 x 1 0 5x 1 2 0 只有当5x 1 0 即x 时 不等式成立 故不等式的解集为 x x 2 由 1 ax 2 1得a2x2 2ax 1 1 即ax ax 2 0 当a 0时 不等式转化为00 即x x 0时 原不等式可化为x ax 2 0 原不等式的解集为 x 00时 原不等式的解集为 x 0 x 热点考向2一元二次不等式恒成立问题 方法点睛 恒成立问题的情况分析 1 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 就选谁当主元 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 3 一元二次不等式恒成立的条件 ax2 bx c 0 a 0 在r上恒成立的充要条件是 a 0且b2 4ac 0 ax2 bx c 0 a 0 在r上恒成立的充要条件是 a 0且b2 4ac 0 例2 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若对任意实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 若对一切m 2 2 不等式恒成立 求x的取值范围 解题指南 1 由于二次项系数含有字母 所以首先讨论m的情况 而后结合二次函数图象求解 2 变换主元将其看成关于m的一元一次不等式 利用其定义范围 2 2 求参数x的取值范围 规范解答 1 不等式mx2 2x m 1 0恒成立 即函数f x mx2 2x m 1的图象全部在x轴下方 当m 0时 不等式变为1 2x 0 对任意实数x不恒成立 故m 0不满足 当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足图象开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 即 则m无解 综上可知不存在这样的m 使不等式恒成立 2 设g m x2 1 m 1 2x 当x2 1 0时 即x 1 检验得x 1时符合题意 当x2 1时 则其为一个以m为自变量的一次函数 其图象是直线 由题意知该直线当 2 m 2时在x轴下方 解 得解 得由 得且x 1 综上得x的取值范围为 x 反思 感悟 解决不等式恒成立问题 通常有两种思路 一是转化成含有参数的不等式 借助对应函数图象 找到满足题目要求的条件 构造含参数的不等式 组 解不等式 组 求得参数范围 二是分离参数 通过求函数的最值 进而确定参数的范围 变式训练 已知f x x2 2ax 2 a r 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解析 方法一 f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为直线x a 当a 1 时 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2 a2 a 解得 1 a 1 综上所述 a的取值范围为 3 1 方法二 令g x x2 2ax 2 a 由已知得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 即 4a2 4 2 a 0 或解得 3 a 1 即实数a的取值范围是 3 1 热点考向3一元二次不等式的实际应用 方法点睛 解不等式应用题的一般步骤 例3 汽车在行驶中 由于惯性的作用 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住 我们称这段距离为 刹车距离 刹车距离是分析事故的一个重要因素 在一个限速为40km h的弯道上 甲 乙两辆汽车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相碰了 事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km h 之间分别有如下关系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 005x2 问 甲 乙两车有无超速现象 解题指南 由题意只需利用刹车距离与车速的关系 与实际刹车距离构建不等关系求解即可 规范解答 由题意知 对于甲车 有0 1x 0 01x2 12 即x2 10 x 1200 0 解得x 30 或x 40 不合实际意义 舍去 这表明甲车的车速超过30km h 但根据题意刹车距离略超过12m 由此估计甲车车速不会超过限速40km h 对于乙车 有0 05x 0 005x2 10 即x2 10 x 2000 0 解得x 40 或x 50 不合实际意义 舍去 这表明乙车的车速超过40km h 超过规定限速 反思 感悟 不等式应用题多是解决现实生活 生产 科技中的最优化问题 本题即是利用一元二次不等式解决现实生活中常见的交通事故责任调查与取证的问题 其关键是正确确定不等关系 变式训练 国家原计划以2400元 吨的价格收购某种农产品m吨 按规定 农户向国家纳税为 每销售收入100元纳税8元 称税率为8个百分点 即8 为了减轻农民负担 决定降低税率 根据市场规律 税率降低x x 0 个百分点 收购量能增加2x个百分点 试确定x的范围 使税率调低后 国家此项税收总收入不低于原计划的78 解析 设税率调低后的税收总收入为y元 则y 2400m 1 2x 8 x m x2 42x 400 由题意知 0 x 8 要使税收总收入不低于原计划的78 有y 2400m 8 78 整理得x2 42x 88 0 解得 44 x 2 又0 x 8 0 x 2 所以x的取值范围是 0 2 变式备选 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律 每生产产品x 百台 其总成本为g x 万元 其中固定成本为2万元 并且每生产100台的生产成本为1万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入r x 满足假定该产品产销平衡 那么根据上述统计规律 1 要使工厂有盈利 产品数量x应控制在什么范围 2 工厂生产多少台产品时盈利最大 此时每台产品的售价为多少 解析 依题意得g x x 2 设利润函数为f x 则f x r x g x 所以 1 要使工厂有盈利 则有f x 0 因为或5 x 8 2 1 x 5或5 x 8 2 1 x 8 2 所以要使工厂盈利 产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内 2 0 x 5时 f x 0 4 x 4 2 3 6 故当x 4时 f x 有最大值3 6 而当x 5时 f x 8 2 5 3 2 所以当工厂生产400台产品时 盈利最大 又x 4时 2 4 万元 百台 240 元 台 故此时每台产品的售价为240元 1 2012 重庆高考 不等式 0的解集为 a 1 b 1 c 1 d 1 解析 选a 不等式 0等价于 2 2013 龙岩模拟 设集合m x x 3 x 2 0 n x 1 x 3 则m n a 1 2 b 1 2 c 2 3 d 2 3 解析 选a 由集合m x x 3 x 2 0 x 3 x 2 集合n x 1 x 3 m n x 1 x 2 即为 1 2 3 2013 厦门模拟 若不等式ax2 bx c 0的解集是 4 1 则不等式b x2 1 a x 3 c 0的解集为 a 1 b 1 c 1 4 d 2 1 解析 选a 由不等式ax2 bx c 0的解集为 4 1 知a0 即3x2 x 4 0 解得 x 1 故选a 4 2011 福建高考 若关于