（应用数学专业论文）自由端具有局部粘弹性阻尼的悬臂timoshenko梁的能量衰减问题的研究.pdf

东北师范大学硕士学位论文 摘要 本论文研究自由端具有局部粘弹性阻尼的悬臂梁的能量指数衰减问题。通过建立适当 的h i l b e r t 空间，把描述梁的振动的偏微分方程抽象化为相应的h i l b e r t 空间中的发展方程， 并利用算子半群理论研究抽象方程的系统算子所生成的岛一压缩半群，进而探讨其系统 相关的稳定性问题。在一定的光滑假设和系统的结构条件下，得到系统能量指数衰减的结 论。 关键词：悬臂梁；粘弹性阻尼；指数稳定；半群 东北师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ee x p o n e n t i a ld e c a yo fe n e r g yo ft h ec a n t i l e v e rt i m o s h e n k o b e a mw i t hl o c a lv i s c o e l a s t i cd a m p i n go nt h ef r e ee n d b ye s t a b l i s h i n gs u i t a b l eh i l b e r t s p a c e s ，w ec a nr e w r i t t e nt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hd e s c r i b i n gt h eb e a m v i b r a - t i o na sae v o l u t i o ne q u a t i o ni nh i l b e r ts p a c e ，a n dw es t u d yt h ec o s e m i g r o u pg e n e r a t e db y t h es y s t e mo p e r a t o rw i t ht h et h e o r yo fs e m i g r o u p so fo p e r a t o r s u n d e rs o m ec e r t a i ns m o o t h a s s u m p t i o n sa n ds t r u c t u r a lc o n d i t i o n s ，w eo b t a i nt h ee x p o n e n t i a ld e c a yo ft h eb e a me n e r g y k e y w o r d ：c a n t i l e v e rb e a m ；v i s c o e l a s t i cd a m p i n g ；e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ；s e m i g r o u p 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论 文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：边：嫠己丝指导教师签名：起么盏 r 期：三卑：兰! f t 期：型茎：墨2 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 1引言 近年来，带有分布阻尼的弹性系统的指数稳定性问题很受关注，特别是仅分布在一 个子域上的局部阻尼。其中大部分的研究集中于粘性阻尼的情形，并取得了众多研究成 果，例如，与速度成比例的阻尼( 参看【9 】，【2 5 】，【2 8 】，和【4 9 】) 。针对粘弹性阻尼，【1 2 】研究了 带有k e l v i n v o i g t ( k v ) 型阻尼的e u l e r b e r n o u l l i 梁署d r a y l e i g h 梁，【3 0 】，【3 l 】和【3 2 】研究了带 有b o l t z m a n n 型阻尼和k v 型阻尼的e u l e r - b e r n o l l i 梁。4 6 研究了带有局部k v 型阻尼 的t i m o s h e n k o 梁的方程，并证明在不同的系数的光滑性假设下是指数渐进稳定的；f 3 5 研 究了带有局部b o l t z m a n n 型阻尼的固定的t i m o s h e n k o 梁的方程，并指出其在不同的系数 的光滑假设下是指数稳定的。 在本文中，我们考虑自由端具有局部粘弹性阻尼的t i m o s h e n k o 悬臂梁方程： 边界条件为 肿= ( m 7 刊趣z 9 2 8 ( s m 刈h 亡) 忙( 耻。- o 。0 9 l s 妒叫脚s ) ( 1 1 ) + k ( 叫7 一) 一d 2 9 2 。( s ) ( 似7 ( z ，t ) 一妒( z ，t ) ，o 一埘f z t s ) + 妒f z ，t s ) ) d s ( 1 2 ) 其中，训= w ( z ，t ) 是梁的中心面的横向位移，= 妒( z ，t ) 是垂直于梁的形心轨迹的截面 的全转角( 规定从z - 轴正向转向秒轴正向为正) ，p = p ( z ) 是线密度，= 易( z ) 是转动惯 量，e ，= e i ( x ) 是横截面的刚度系数，k = k ( x ) 是剪切模量，d 1 = d l ( x ) 和d 2 = d 2 ( x ) 是阻尼系数，这里及后面，“7 表示对空间变量z 的导数，” 表示对时间变量t 的导 数，弛( s ) ，i = 1 ，2 ，表示松弛函数吼( s ) 对变量s 的导数。 l 孔 吖 ，l ： 一 比 = l。 一 刮 瓦忆枇 ：、-、妒 、l ， - _ ， s 一 协 3 1 ， n 秒 g z ，= ，g 出姒，厂忡邮 地叫劣吼。旷一一z 拈刊也 叫卜川九 b 一 脚 东北师范大学硕士学位论文 系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 的能量函数为 1 ，l e ( t ) = 言( 叫7 一妒1 2 + e l 妒7 1 2 + p l 西f 2 + i 1 i 口1 2 ) 如 + 三z 。1 9 ，。( 5 ) lz 工。i6 7 f d z d s + 丢0 。1 9 2 s ( s ) i l 。1 2 f y 7 一秒 d z d s ，( 1 3 ) 其中v ( z ，t ，s ) ：= w ( x ，t ) 一叫( z ，t s ) ，o ( x ，t ，s ) ：= ( z ，t ) 一妒( z ，t s ) 。 我们将说明，在与【3 5 】同样的假设下( 1 1 ) ，( 1 2 ) 也是指数稳定的在第2 节，我们给出相 关的物理背景和数学预备知识；在第3 节，我们把系统( 1 1 ) 一( 1 。2 ) 转换成抽象空间中的发展 方程，利用算子半群理论讨论系统( 1 1 ) ( 1 2 ) ；在第4 节，我们将证明在假设了阻尼系数是光 滑的，并且附加了一些结构性条件的情形下，系统( 1 1 ) ( 1 2 ) 能量是指数衰减的；在第5 节， 我们给出简单的结论。 2 东北师范大学硕士学位论文 2物理背景和预备知识 本节我们给出本文所需要的物理背景和数学预备知识。 2 1 物理背景 2 1 1 具有两个广义位移的梁的理论 首先我们给出具有两个广义位移的梁，即t i m o s h i n k o 梁的物理假设和数学模型。该部 分内容可参阅【1 9 】、 4 1 】、【4 3 矛h 4 4 等文献。 取梁的中心线为z 轴，梁的挠平面为z 可平面。做如下假设：在变形前垂直梁中心线的 剖面，在变形后仍保持为平面，但不假设它定垂直变形后的中心线。这样，有两个广义位 移，一个是中心线的挠度“，( 以与y 轴同向者为正) ，另一个是剖面的转角妒( 简称转角， 以从x 一轴正向转向y 轴正向为正) 。由于梁在变形后不一定再垂直中心线，转角妒与挠曲线 的斜率( 简称斜率) u 之间并不存在简单的联系。梁内任一点( 设它的坐标为z ，y ，名；z 轴垂直z ，y 轴) 沿z ，秒轴向的位移乱( 。，y ，z ) ，v ( x ，y ，z ) 与u ，妒的关系为 u ( x ，y ，z ) = 一y 妒( z ) ，v ( x ，y ，z ) = u ( z ) 梁内的应力仍可由剖面上的弯矩m 与剪力q 这两个内力所完全决定。与弯矩m 相对应 的广义应变是相邻两剖面的相对转角k ，它已不是挠曲线的曲率( 称为曲率) 。与剪力q 相对应的广义应变是剪切角7 。k 与7 跟u 与妒的关系为 尼= 一慧，7 = 忑d w 邓 内力与广义应变的关系为： m = d k ，q = 卿 这里d 、c 是两个刚度，与梁的变形情况无关，而只与剖面形状和所用材料有关。对 于等剖面的梁，d ，c 都是常数。d 称为梁的弯曲刚度。对于均匀的梁， d = e j 也就是平常所说的弯曲刚度。系数c 称为梁的剪切刚度。 内力与位移的关系为： m = 一d 筹，q = c ( 筹一办旺z口z 3 东北师范大学硕士学位论文 与挠度“，相应的广义载荷g 是单位长度内的载荷在y 轴上的投影，与转角妒相应的广 义载荷m 是单位长度内的载荷对剖面中心点的力矩。于是梁的平衡方程是 d q 一面2 g ， d m 一d x 2 z 以厂义位移表不的半衡万程为 一乏 c ( 筹刊 _ g ， 一乏( d 笔) 一c ( 筹一) = m 如果梁上还有作用有轴向拉力n ，那由于产生，4 个相当的横向载荷，所以平衡方 程应修改为 一乏 c ( 差刊 - n 面d 2 钆 一昙( d 塞) 一c ( 塞一妒) = m ， 关于梁的边界条件，自由端条件为 q = 已知，或m = 已知； 简支端的条件为 一 u = 已知，或m = 已知； 而固定端是剖面没有转角或者有已知转角的。因此综合起来有 u = 已知，或q + 赛= 已知， 妒= 已知，或m = 已知， 对于梁的运动方程，由于梁的挠度w ( x ，t ) 所产生的惯性力q l 为 口1 = 一舭丽0 2 “2 由梁的转角妒( 。，t ) 所产生的惯性力矩1 1 2 1 为 ，a 2 u m l2 一p 丽 4 一 查! 皇塑薹奎兰堡主兰垡迨窭 - - _ - - _ _ _ _ _ i _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - - - - _ - - _ _ - - _ _ - _ - - _ _ _ _ - - _ 。_ _ _ _ - - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ - _ 一 一 这里p 是材料密度，a 是剖面的面积，j 是转动惯量将以上惯性力q l 和惯性力矩 m l 带入到以广义位移表示的平衡方程的g 和m 中，得到梁的运动方程为 一岳 c ( 嘉刊卜卵丽a 2 w 吨 一未( 噻) 一c ( 筹一妒) + 尸j 等= 肌 在梁做固有振动时，令切，妒为挠度和转角的振幅，叫为角速度时，上式可化为 芝d w - 刊 + c a 2 p a w = 0 旦d x d ( 尝) + c ( 筹刊彬p j 妒= 0 此时，梁的边界条件如下： 在固支端：训= 0 ，咿= 0 。 在简支端：w = 0 ，m = 05 在自由端：m = 0 ，q = 0 。 显然，由悬臂梁一端固定、一一端自由的形式，悬臂梁的边界条件应满足： ( 1 ) 在固支端：w = 0 ，够= 0 ； ( 2 ) 在自由端：m = 0 ，q = 0 。 2 1 2 虚功原理 该部分内容可参阅【1 9 】、【4 1 】、【4 3 】和【4 4 】等文献。 1 静力学系统 假定一个力学系统在作用力和给定的几何约束下处于平衡状态，那么，存在于系统内 的外力和内力在满足给定几何约束的任意无限小虚位移上所做的全部虚功之和( 用6 w 表 示) 为零，即 占7 w ：0 当所有外力和内力都可以由位势函数u ( 它是质点坐标的函数) 导出，有 6 f w = 一6 u 则虚功原理可以导致驻值势能原理的建立：在所有的容许位形中，平衡状态是由势能u 的 驻值性质来表征的： 6 u = 0 5 东北师范大学硕士学位论文 2 动力学系统 系统所受的作用力和几何约束都与时间有关在考虑惯性力后，该系统可以看作是处 于平衡状态的，于是有 6lt d t 七|8 w d t = 0 ，t 1 ，l 式中? 是系统的动能 虚功原理在各种坐标变换中均保持不变，而且和物体材料的应力一应变关系无关 2 1 3粘弹性模型表述 该部分内容可参阅【4 5 】o 1 k e l v i n v o i g t 粘弹性模型表述 弹性元件服从胡克定律，有 盯= e z ? 或 7 - = g 7 式中盯、7 、和7 分别为正应力、剪切力、正应变和剪应变；e 、g 分别为弹性模量和剪 切弹性模量，均为常数。 粘性元件服从牛顿粘性定律： 丁= 叼l 或 盯27 7 叠 式中，7 或刀l 为粘性系数；力= d e d t 为应变率。 k e l v i n 模型由弹性元件和粘性元件并联而成。两个元件的应变都等于模型的总应变， 而模型的总应力为两元件应力之和，即盯= 盯l + 0 2 综上，可得k e l v i n v o i g t 的本构方程： 仃= e e + ? 7 誉， 即 a ( x ，t ) = o ( z ) ( 。，t ) + 6 ( z ) 窖( z ，t ) ( 式中的”i ，表示对时间变量t 求导数) 。 6 东北9 币范大学硕士学位论文 进而，具局部k e l v i n - v o i g t 型粘弹性的的t i m o s h e n k o 梁的方程为 jj 口曲= 【k ( u 7 一妒) + d 。( d 7 一驴) 】7 ， l 厶= ( e ，妒7 + d 6 7 ) 7 + f k ( 7 一妒) + d 。( d 7 一驴) 1 2 b o l t z m a n n 型粘弹性模型表述 除k e l v i n v o i g t 粘弹性模型外，我们也常见b o l t z m a n n 型应力- 应变本构关系 = 叼( x , t - - s 贼) d s ( e ( 。，一。) = 0 ) p 0 0 = 口( z ) ( z ，t ) 一6 ( z ) m ( s ) 【( z ，t ) 一5 ( z ，t 一8 ) d s ，o 这里，松弛函数取为可分离变量的形式： 7 7 ( z ，s ) = a ( x ) + 6 ( z ) 夕( s ) ，g ( e o ) = 0 k 叫型应力一应变本构关系可以看成是b o l t z m a n n 型应力一应变本构关系中松弛函数取 为 叼( z ，s ) = a ( x ) + 6 ( z ) j ( s ) 时的特殊情形。其中6 ( s ) 是d i r a c 函数 则具局部b o l t z m a n n 型粘弹性的t i m o s h e n k o 梁的方程为 砌= ( 脚刊啦0 。删( 比旷州) - - w 7 ( z ，t s ) + 妒( z ，t s ) ) d 5 ) ， 易= ( e ，妒7 一。z 0 0g 。( s ) ( 7 ( z ，t ) 一妒( x , t - - s ) ) d s ) 7 + k ( 训一妒) 一d 2 9 2 。( s ) ( 训7 ( z ，t ) 一妒( 。，t ) - - w ( z ，t s ) + 妒( z ，t s ) ) d s 2 2 数学预备知识 本小节我们对后面的讨论中需要的部分数学知识做一个简单的介绍。下面的材料来 自【3 7 】。 定义2 1 设x 是b a n a c h 空间，丁( f ) ( 0 t ) 是映x 到x 内的有界线性算子的单 参数族。称r ( t ) ( o t 和对于z d ( a ) ， a z ：l i m t ( t ) x - x ：d + t ( t ) xi 。 l otd ti t ：0 称a 是半群t ( t ) 的无穷小生成元，d ( a ) 是a 的定义域 定义2 3设x 是b a n a c h 空间，一个x 上的有界线性算子半群丁( ) ( o t 0 成立。 定理2 。4 ( l u m e r p h i l l i p s ) 设a 是x 中具有稠定义域的线性算子， ( a ) 如果a 是耗散的，且存在a o 0 ，使得a o i a 的值域r ( a o ，一a ) = x ，则a 是 一个岛收缩半群的无穷小生成元。 ( b ) 如果a 是一个x 上岛收缩半群的无穷小生成元，则对一切p 0 ，有r ( a o i - a ) = x ，且a 是耗散的。此外，对每一个z d ( a ) 和每一z + f ( z ) ，有 r e ( a x ，x + ) 0 定理2 5 设a 是耗散的，且n ( 1 一a ) = x ，如果x 是自反的，则d ( a ) = x 关于h i l b e r t 空间中半群的指数稳定性，黄发伦在 2 1 1 中给出了如下的结果： 定理2 6 设e 。a 是h i l b e r t 空间h 中的国半群，且存在正常数m 使得l i e 。a i l m ( t 0 ) ， 则e t a 是指数稳定的当且仅当 且 主u ；一。 u + o 。) cp ( a )t 2 u ；一。 u + o 。，c) m o = s u p l l ( i w a ) 一1 1 1 一。 u + ) + o o 。 9 东北师范大学硕士学位论文 且 显然，定理中的条件 t u ；一o 。 u + 。) cp ( a ) m o = s u p l i ( 童u a ) 一1 l l ；一o o u 0 ，g i 。 0o n ( 0 ，o o ) ， ( 9 3 ) g i 。一七1 吼。o n ( 0 ，o o ) f o r s o m ek t 0 ， ( 9 4 ) g i ( o o ) = 0 系统( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的系数满足条件： ( h 1 ) p ，k ，e ，d 1 ，d 2 l o o ( o ，l ) ；p ，易，k ，e i c o o ；d 1 ，d 2 0o n 【o ，别，d 1 = d 2 = 0o i l 【0 ，a ) 定义 睨= w l w ，w l 2 ( ( f ，l ) ，v 6 ( q ，l ) ，西7 l 2 ( 口，l ) ， i = 1 ，2 ， = 叫f 钮h 1 ( o ，三) ，w ( 0 ) = o ) h = l 2 ( o ，l ) xl 2 ( o ，l ) ， v = h o g o ， l i ( v ，妒) i i 备= ( p l 钞1 2 十b l 妒1 2 ) d z ， l i ( 叫，妒) l i 移= ( k l 叫7 一妒1 2 + e ，i 妒7 1 2 ) d x ， 以及 y 1 = l 2 ( ( o ，。) ；w 2 ) xl 2 ( ( o ，l ) ；w 1 ) ， i i ( y , e ) l i 魏= o 1 9 2 。( s ) iz l 。i y - - 1 2 d x d s + z o 1 9 。( s ) tf n d 。l 1 2 d z d s ， 则uh 是h i l b e r t 空间，但y 不是，因为，) l l y , 不是范数。 令 n = ( y ，e ) l y = c 1 ( s ) z + g ( s ) ，p = c 1 ( s ) ，c 1 ( ) ，c 2 ( ) 满足 i g i 。i i c , ( s ) 1 2 d s 一争。令 秒( z ，s ) ：se - x ( s - t ) l ( x , t ) d t ，o ( z , s ) ：8e - a ( s - t ) t ( x , t ) d t ，秒( z ，s ) =t ，) =( ， uo ，o 则( 耖，p ) yn c ( 【o ，。) ；w 2 ) c ( 【o ，o 。) ；厂1 ) ，( y 。，0 。) 1 i , 且 i i ( y ，o ) 1 1 多吉( 2 r e a + k l j ) 。i | ( f ，丁) 悖对6 ( o ，r e 入+ 七1 ) ， ( 3 2 ) r e ( ，纯) ，( y ，) ) y 冬| | ( y ，伊) 慨 ( 3 3 ) 这里，( y ，占) c ( 【0 ，o 。) ；w 2 ) c ( o ，o 。) ；m ) 的意思是v ( 秒1 ，护1 ) ( y ，护) ，有( y l ，伊1 ) d ( 【o ，o o ) ；w 2 ) c ( o ，o 。) ；鹏) 。 证明：对( 1 0 ， t o ) ( f ，7 i ) ，令可o ( z ，s ) = 片e 。( 8 ) l o ( x ，t ) d t ，o o ( x ，s ) = 片e - x ( 。一丁o ( z ，t ) d t ， 容易验证( y o ，钆) ( y ，秒) ，由于( f o ， 1 - o ) h ，利用 4 8 j 中引理2 2 1 的相同证明，我们有 ( 珈，o o ) mi - i c ( 0 ，) ；) c ( o ，) ；) ) ， ( y o 。，o o 。) m ， 1 2 y 日 矿 l i 咒 令 东北9 币范大学硕士学位论文 且 i l ( 蜘，如) 悖去( 2 r e 入+ k 1 6 ) 。i i ( c 。，) 慷， 对6 ( o ，r e 入+ k 1 ) r e ( ( 可，0 0 。) ，( 珈，如) ) m 百g li i ( 珈，p 。) l | 魏 而 j i ( u o ，o o ) l l y , = i l ( y ，o ) l l y ，l i ( 1 0 ，咱) 忆= j i ( 1 ，下) | | y ， r e ( ( 可o 。，0 0 ，) ，( y o ，) ) n = r e ( ( 蜘，以) ，( y ，秽) ) y ， 我们证明了引理3 1 。 口 引理3 2设条件( 9 1 ) 一( 夕4 ) 和( h 1 ) 成立，则a 是耗散算子。 证明：对v z = ( w ，妒， ，妒，y ，p ) 口( 4 ) ， = 融 氕 = r e o l ( k ( u ，一妒) ( 面，一9 ) + e ，妒7 孑7 + 丁7 雷+ ( 爿+ t ) 移) d z p p l + 1 9 2 。( s ) i d 2 ( u 7 一以一妒+ 以) ( 矿一o ) d x d s ，0 ，a +00 m)懂l918d ，( 旷o ：) ( o t ) d x d s ) + i ( s ) i ，( 妒7 一 j o j = r e o l ( k ( u ，一妒) ( 西，一多) + e ，妒7 万7 一丁护一r 巧7 + 丁移) d z ( 分部积分) + ：+ 三 = ( 鸸0 。9 2 s 叫蚺徊，f o 。g l s o i d s - 加。0 。9 2 s c y _ 0 汹) 如 + l ：+ o 吣 ( 根据丁，冗的定义和条件( h 1 ) ) = & 忻鼢( s ) fd 2 ( 以刮矿一o ) d x d s + 知s ( s ) f 即胁础) ( 根据条件( 9 2 ) ，g 妇 0 ，使 i i z l l 何m l l z l 忱 ( 3 4 ) 因而a 有有界逆，于是0 9 ( 4 ) 。事实上，由于 我们有 ( ，y 川多= 厂0 0 。( s ) l z厶，一712dxdsl92 d 2 1 f d x d s + 厂i g l 。( s ) i ( ldtl312dxdsj0 j 0 j ( 厂，y ) 悖= 。( s ) l 7 7 l+ 。( s ) i m j a 口 ：9 2 ( o ) 厂五d 2 l y - 0 2 d x + g l ( o ) 厂l d l l6 i ，1 2 d z d s ，q，a c 2 1 1 ( f ，7 ) 慨 ( 3 5 ) ，厶 i ，妒) l i 备= ( p i ，1 2 + 厶i ，y 1 2 ) d x c 4 1 1 ( f ，y ) i l 移 ( 3 6 ) ，0 i l ( 矽，p ) l l 参= i l ( 0 3 ( ，( z ) 一l ( z ，s ) ) d s ，0 5 ( 7 ( z ) 一下( z ，5 ) ) d s ) i i 二 碍4 i l ( ，一2 ，一y 一7 - ) 眵 ( 根据引理2 1 ) 可s c 2l j ( ，7 ) 幢十碍8 l | ( z ，丁) 悖 ( 根据( 3 5 ) )( 3 7 ) 1 4 东北师范大学硕士学位论文 = 剧南恤) 小5 ( s b s ) 吨s 肿s lp m 1 2 + 南i d i ( z ) z 虬( s ) 趴叩) d s z l ( 易( z ) p ( z ) + lp ( z ) ( z ) 如) 如1 2 ，d z 苦z l 。；( z ) ( z 观。( s ) ( 可7 ( z ，s ) - e ( x , s ) ) d s ) 2 + ( z lp ( z ) 九( z ) d z ) 2 + 。 ( z ) ( z o o9 ，。( s ) 口7 ( z ，s ) d s ) 2 + ( l ( 厶( z ) p ( z ) + lp ( z ) ( z ) 如) 如) 2 d x 苦l o i 灿iz z d l l 卯i 捌s ) + 等2 如+ 2 o l 枷1 2 d x4 2 l 2 o lm 1 2 d z ( 3 6 ) 一( 3 8 ) 表明，( 3 4 ) 成立。 口 现在，我们来完成定理3 1 的证明。因为o p ( 4 ) ，则a 是闭的，且对充分小的入 0 ， 有冗( 入一a ) = 咒，根据【3 7 】中定理1 4 6 ，丽= h ，再根据l u m e r - p h i l l i p s 定理，即知定 理结论成立。 1 5 口 东北师范大学硕士学位论文 4 指数稳定性 为了得到指数稳定性结果，我们还需要下面的假设： ( h 2 ) p ( k + d 2 9 2 ( 0 ) ) ，i p ( e i 十d i g ( o ) ) c 1 , 1 o r ，三】，p k ，厶e ，c 0 , 1 【o ，a 】 ( 9 5 ) 9 1 鼬( s ) + k 2 9 i 。0 ， i = l ，2 ，其中常数南2 k l 。 定理4 1 假设条件( 9 1 ) - ( 9 5 ) 、( h 1 ) 和( h 2 ) 成立，则e a 是指数稳定的。 证明：首先我们证明( 参见【1 6 】，【2 0 】和 3 8 1 ，或本文的定理2 6 ) ： i rcp ( 4 ) ， s u p l l ( i z u t ) - 1 i i ：p r ) 0 ，使得 l f ( 主p u t ) z l l 咒j | z f i 爿，v z 勿( ) ，夕r ， 反证法。假设( 4 3 ) 不成立，由于0 p ( 么) ，存在 风r ，z n = ( w n ，妒n ，v n ，妒n ，y n ，6 k ) d ( 4 ) ，n = 1 ，2 ， 使得 i i z , , l l 氕= 1 ，i 风f 扣4 1 f f l 三如 且 ( 主风一4 ) = ：( a ，h ，铂，j 竹，) _ 0i n 咒， 即 ( 主风一v n ，藿风一) = ( ，) 一0 i n v ( 主风一言z ，主阮一去( 磁+ 兀) ) = ( 危n ，) _ 。i n h ， ( 蕾风+ 。一v n ，蕾风+ 以。一妒) = ( k ，) _ 0 i n y 这里， l ：= k ( 以一垆n ) 一d 2 9 2 。( s ) ( 珐( z ，s ) 一p n ( z ，s ) ) d s ， ，o o ，0 心：e ，妒：l d l o o9 1 8 ( s ) ( z ，s ) d s ，0 1 6 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) q 印 动 力 酌 h 东北师范大学硕士学位论文 弓l 理4 1 对序列( w 。，n ，u n ，移n ) ，一f 列各式成立： n - - 4 ) l i t 0 l i mi | ( ，如 = ， l i m ( d 2 1 w 一妒n 1 2 4 - d 1 l 妒：1 1 2 ) 如= 0 ， n - - o o ，a j 1 巴( 1 1 2 + l | 2 ) 如= 0 ， n 。o 。，口 。 ，l i m( i 矗一( 叫：一妒n ) 1 2 + l 心一e ，妒0 1 2 ) d x = o 证明：根据( 4 8 ) =e 以风卜a ( 留n ( z ) + f n ( z ，入) ) d 入 = 去( 1 e _ 鼬) u n + 5 e - i z ( s - x ) i n ( ) 扒 氏= e - z b ( 卜a ( ( z ) + ( z ，a ) ) 枞 = i 1 ，。( 1 - e - i e * ) 矽。+ 3 e 一主风( 8 一a ) ( z ，入) d 入 因此，从( 3 3 ) 、( 4 4 ) f f - f l ( 4 5 ) 我们可以推出 要l i ( ，以) 悖( ( 。，如。) ，( 鼽，) ) y = r e ( ( 蕾风一4 ) ，) 咒 _ 0 于是，根据引理3 1 、( 4 8 ) $ 1 1 ( 4 1 3 ) ( 4 1 5 ) 有 c l e 一讽，去c l e 饥卜。， 即 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 2 小矾一渤小) d sf 。i1 i ( 吒吨) 卜 + 2 序矾s 嘞小油a l d 1l 去砂二j 2 出 一0 ( 4 1 6 ) 根据( 9 1 ) ( 9 3 ) ， ， q ( ) ：= ( c o sz s 一1 ) 夕诂( s ) d s 0 f o r v p 0 ，i = 1 ，2 ，0 1 7 东北师范大学硕士学位论文 由r i e m a n n 引理， l i m 白( p ) = 俄( 0 ) 0 ， i = 1 ，2 ， t l 。 而厶) ( i = 1 ，2 ) 在r 连续，有 聪n f 。彘( p ) q o ，江1 ，2 ， 其中q 为常数。结合( 4 6 ) 和( 4 1 6 ) 得到( 4 1 0 ) 。 根据( 4 1 0 ) 和( h 1 ) 得到 ，山 l i m ( 1 1 2 + f q o n l 2 ) 如= 0 ，w ( 口，三) n 。o 。t ，d 因为皈和在l 2 ( q ，l ) 中有界，( 4 1 1 ) 可由紧子区域的内插定理得出 a d ，t h e o r e m 4 2 0 】。 此外， l i m ( i t 一k ( 叫二一q o n ) 1 2 + l 风一e ，妒：1 2 ) d x 7 1 , - 0 0 ，a = z l ( i 。：f o o d9 2 8 ( 如- o , ，) d s 2 + i 。f o 。9 1 s d 5 1 2 ) 如 z 0 。l 仍。i d sf ld ；f o 。01 9 。i l y l 一钆1 2 d s d x + 0 0 0 1 9 。l d sf f d ；f o 。1 9 - 。i i 铊1 2 d s d z r lp o or br c 2 9 2 ( 0 ) d 2 l 夕2 。i i 以一以1 2 d s d x + c ，g x ( o ) d 1 1 9 1 。l l f 7 ：1 2 d s d x ，aj o j aj 0 结合( 4 9 ) 就得n ( 4 1 2 ) 。 引理4 2 对v 9 1 ，q 2 c ( 【口，三】；f t ) ， 口 f l q 2 p d 2 v n f o o d9 2 s c 以。一p n 。，d s 如l + i l lq x 厶。蟊f o 。d9 。吒。d s 如i 一。c 4 ，7 ， 1 8 东北师范大学硕士学位论文 证明：对s 分部积分并利用条件( 9 5 ) 有 l f l q 2 p d 2 v n 0 。9 2 s c 如。一e k 。，d s d z i + i z _ g 如。够nz 。夕- 。吒。d s d z l =l q 2 p d 2 v nj o 。9 2 s s ( 如一州s 如l + lq l 厶d z 巧nf o 。9 1 8 8 0 轴妇l f o or lp c op l c 2 k 2 1 9 2 。i d 2 1 q 2 v l y ：一日n d x d s + c 2 k 2 | g l 。l d l l q l 妒 i i 1 d x d s j 0 ja i ojd q 鲍( z i 夕2 。l 如f a ld 2 i q 2 i 2 d x ) 吾( o i 仍。l d s l d 2 i 蟊一如1 2 如) 5 + c 之j 已( z 0 0 i 夕。i d s l d 1 i q 妒n 1 2 d z ) 5 ( z 。01 9 。i d s a ld 1 l p ：1 1 2 如) j c 乞j 岛 ( 9 。( 。) ld 2 l q 2 v , ，j 2 d x ) i 1 + ( 夕，( 。) ld x l q l 矽, ，l z d x ) 5 i i ( ，) i j y 引理4 。3函数w n ，v n ，如，瓦和满足 口 n l i m o o ( 1 w ( o o i + l 妒n ( o ) i + l u n ( q ) l + l 妒n ( 0 0 1 + i t ( c 0 1 + i ( q ) i ) = 0 ， ( 4 1 8 ) ，厶 ( k i 皈一妒。1 2 + e j f i 妒乞1 2 + p l y n l 2 + 易l 妒n 1 2 ) d x = d ( 1 ) ( 4 1 9 ) ，n 证明：对q l ，q 2 c 1 1 ( 1 q ，引，r ) ，q z ( l ) = q 2 ( l ) = 0 ，用( p q 2 t n ，厶9 1 r ) 1 和1 ( 4 ，7 ) 在 l 2 ( q ，l ) l 2 ( q ，l ) 中做内积，有 ，i 厶 r e ( 风9 2 磊一q 2 e i - - n + 易主风q z i - 主n q z 磁赢一q l t n 赢) d x = d ( 1 ) ( 4 2 0 ) 一盘 1 9 东北师范大学硕士学位论文 而 r e ( 风u n 9 2 磊+ 彬风讥q 1 赢) 出 ir l = r e ( p t 风u n q 2 k ( f f 砭一9 n ) + 厶蕾风妒n q l e i ：) d x 一上上p 主厣n t ，n 匏。z 0 。9 z 。( 蟊一o , o d s d x - z 己，p 蕾n c n q ld 1 o 。9 。殁d s d x lp b = r e ( 一p v n q 2 9 、- n ! + 丑一蟊一彳竹) 一厶妒n q l e ，( 玩一) ) d z p op + p v , , q 2 d 2 9 2 。( - - ! + 己一- - ! 。一磊一磊+ o , ) d s d x 广l，o o、 + i p 矽q , d 1 g l s ( 识+ 一爵。) d s d x ( 根据( 4 6 ) 和( 4 8 ) ) ja j0 l = r e ( - p v 珏q 2 k ( 覆n 一诋) 一移靠g l e 识) d z 一p v n q 2 d ：9 2 ( o ) ( 5 二一矽n ) d z 一f r y 。q 2 d 2 9 2 。( 死。一巩。) d s d x ，口j c l j 0 一j il 如n q l d l g l 嘞弛一卜妒, 。q l d l 卜船d 弋 + d ( 1 ) ( 根据( 4 4 ) 、( 4 6 ) 、( 4 8 ) 和( 4 9 ) ) ，l = r e 一q 2 p ( k + d 2 仂( o ) ) ( 铭一蟊) 一q l l p ( e i 十d 1 9 l ( o ) ) 妒n 识) d x + 口( 1 )( 根据( 4 ，1 7 ) ) 互1 口2 ( 口) 恳( 口) h 陋) 1 2 + 虿1z l ( 渤尼) 7 一1 9 2 i 尼) h f 2 如 11，- 厶 + 专g - ( a ) r ( 口) f 妒( q ) f 2 + 丢( ( g l r ) 7 一f 9 2 f 最) f 妒n f 2 d x + d ( 1 ) ， “( 分部积分，及口1 ( l ，二乞( 三) ：o ) 其中只：= b ( e i + d a g x ( o ) ) ，尸2 ：= p ( k + d 2 9 2 ( o ) ) ： r e ( 一9 2 瓦磊一q l 欲扁一q l r 扁) 如 = 丢眈( q ) i t s ( 酬