高考数学总复习 第八章 第六节空间图形的垂直关系课件 文.ppt

第六节空间图形的垂直关系 第八章立体几何初步 考纲要求 1 认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理 2 能运用定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 课前自修 知识梳理 一 空间图形的垂直关系直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 二 直线与直线垂直定义 两条直线所成的角为90 则称两直线垂直 包括两类 相交垂直与异面垂直 三 直线与平面垂直1 定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直 那么称这条直线和这个平面垂直 这条直线叫做平面的垂线 这个平面叫做直线的垂面 2 直线与平面垂直的判定 3 直线与平面垂直的性质 四 二面角1 定义 从一条直线ab出发的两个半平面 和 所组成的图形叫做二面角 记作二面角 ab ab叫做二面角的棱 两个半平面 和 叫做二面角的面 2 二面角的平面角 在二面角的棱ab上任取一点o 过o分别在二面角的两个面 内作与棱垂直的射线om on 我们把 mon叫做二面角 ab 的平面角 用它来度量二面角的大小 平面角是直角的二面角叫做直二面角 五 两个平面垂直的判定和性质 1 定义 两个平面相交 如果所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 2 两个平面垂直的判定和性质 基础自测 1 2012 厦门市期末 已知直线m n和平面 若 m n 要使n 则应增加的条件是 a m nb n mc n d n 解析 已知直线m n和平面 若 m n 根据面面垂直的性质定理 应增加条件n m 才能使得n 答案 b 2 2012 沈阳 大连联考 设a b是平面 内两条不同的直线 l是平面 外的一条直线 则 l a l b 是 l 的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 解析 根据线面垂直的性质 a b是平面 内两条不同的直线 由 l 可以推得 l a l b 反之则不一定 l a l b 是 l 的必要不充分条件 故选c 答案 c 3 如图所示 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 且底面各边都相等 m是pc上的一动点 当点m满足 时 平面mbd 平面pcd 只要填写一个你认为是正确的条件即可 解析 底面四边相等 bd ac pa 平面abcd bd pa pa ac a bd 平面pac bd pc 故当dm pc 或bm pc 时 有pc 平面mbd 从而有平面pcd 平面mbd 答案 dm pc 或bm pc 4 2011 福州市模拟 已知m n是两条不同的直线 为两个不同的平面 有下列四个命题 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n m n 则 若m n 则m n 其中正确的命题是 填上所有正确命题的序号 答案 考点探究 考点一 直线与平面垂直的证明 例1 2012 深圳高级中学测试 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 1 证明 pa 平面edb 2 证明 pb 平面efd 点评 1 证明直线和平面垂直的常用方法有 判定定理 a b a b a a 面面垂直的性质 2 线面垂直的性质 常用来证明线线垂直 变式探究 1 如图 正方形abcd所在平面与三角形cde所在平面相交于cd ae 平面cde 且ae 3 ab 6 1 求证 ab 平面ade 2 求凸多面体abcde的体积 证明 1 ae 平面cde cd 平面cde ae cd 在正方形abcd中 cd ad ad ae a且ad ae 平面ade cd 平面ade cd 平面ade ab cd ab 平面ade 解析 2 法一 在rt ade中 ae 3 ad 6 de 过点e作ef ad于点f 考点二 两直线垂直的证明 例2 2012 肇庆市二模改编 如图 abcdef a1b1c1d1e1f1是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱 底面是正六边形 侧棱垂直于底面 过fb作圆柱的截面交下底面于c1e1 已知fc1 1 证明 四边形bfe1c1是平行四边形 2 证明 fb cb1 点评 欲证线线垂直 可先证线面垂直 而欲证线面垂直 可先证线线垂直 反复用直线与平面垂直的定义 判定及性质来实现 变式探究 2 2012 山西大学附中月考 如图 1 abc是等腰直角三角形 ac bc 4 e f分别为ac ab的中点 将 aef沿ef折起 使a1在平面bcef上的射影o恰好为ec的中点 得到图 2 1 求证 ef a1c 2 求三棱锥fa1bc的体积 考点三 线面垂直的开放性探究 例3 2011 北京市石景山区测试 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 e f g分别为棱bb1 dd1和cc1的中点 1 求证 c1f 平面deg 2 求三棱锥d1a1ae的体积 3 试在棱cd上求一点m 使d1m 平面deg 思路点拨 1 连接dg 证明c1f dg 再用线面平行的判定定理证明 2 确认a1d1是三棱锥的高 3 不论点m在线段cd上的什么位置 都有eg d1m 因此只需在cd上确定点m 使得d1m dg即可 证明 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 f g分别为棱dd1和cc1的中点 df gc1 且df gc1 四边形dgc1f是平行四边形 c1f dg 又c1f 平面deg dg 平面deg c1f 平面deg 点评 第 1 题也可以用面面平行的性质定理来证明 连接b1f 则可证明平面b1c1f 平面deg 第 2 题也可以将平面aa1d1作为底面 e到aa1的距离为高 求得体积 第 3 题是探索性问题 常采用根据题设条件和结论 猜出要探索的结论 再证明其正确性 变式探究 3 2012 青岛市模拟 已知一四棱锥p abcd的三视图如下 e是侧棱pc上的动点 1 求四棱锥p abcd的体积 2 是否不论点e在何位置 都有bd ae 证明你的结论 3 求四棱锥p abcd的侧面积 2 不论点e在何位置 都有bd ae 证明如下 连接ac abcd是正方形 bd ac pc 底面abcd 且bd 平面abcd bd pc 又 ac pc c bd 平面pac 不论点e在何位置 都有ae 平面pac 不论点e在何位置 都有bd ae 3 由 1 知pc cd pc bc cd cb rt pcd rt pcb ab bc ab pc bc pc c ab 平面pcb pb 平面pbc ab pb 同理ad pd 四棱锥p abcd的侧面积 考点四 平面与平面垂直的证明 例4 如图 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 思路点拨 1 证明de da 可以通过图形分割 证明三角形全等 2 证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面 由 1 知dm ea 取ac中点n 连接mn nb 易得四边形mnbd是矩形 从而证明dm 平面eca 证明 1 如图所示 取ec中点f 连接df ec 平面abc bd ce 得db 平面abc db ab ec bc bd ce bd ce fc 则四边形fcbd是矩形 df ec 又ba bc df rt def rt adb de da 2 如图所示 取ac中点n 连接mn nb m是ea的中点 点评 面面垂直的问题常常转化为线面垂直 线线垂直的问题解决 变式探究 4 2012 梅州市质检 如图 在多面体abcd efg中 平面abc 平面defg ad 平面defg ab ac ed dg ef dg 且ac ef 1 ab ad de dg 2 1 求证 平面bef 平面defg 2 求证 bf 平面acgd 3 求三棱锥a bcf的体积 证明 1 平面abc 平面defg 平面abc 平面adeb ab 平面defg 平面adeb de ab de 又ab de 四边形adeb为平行四边形 be ad 又 ad 平面defg be 平面defg 又be 平面bef 平面bef 平面defg 证明 2 取dg的中点m 连接am fm 则由已知条件易证四边形defm是平行四边形 考点五 面面垂直性质的运用 例5 2011 青岛市一模 如图 正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直 ad cd ab cd cd 2ab 2ad 1 求证 bc be 2 在ec上找一点m 使得bm 平面adef 请确定m点的位置 并给出证明 解析 2 取ec中点m 则有bm 平面adef 证明如下 连接mn 由 1 知bn ad bn 平面adef 又 m n分别为ce cd的中点 mn de 则mn 平面adef 平面bmn 平面adef bm 平面adef 变式探究 5 如图 正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直 ef ac ab ce ef 1 1 求证 af 平面bde 2 求证 cf 平面bde 四边形cefg为菱形 cf eg 四边形abcd为正方形 bd ac 又平面acef 平面abcd 且平面acef 平面abcd ac bd 平面acef cf bd 又bd eg g cf 平面bde 1 三种垂直关系的证明 1 线线垂直的证明 利用 两条平行直线中的一条和第三条直线垂直 那么另一条也和第三条直线垂直 利用 线面垂直的定义 即由 线面垂直 线线垂直 利用 三垂线定理或三垂线定理的逆定理 2 线面垂直的证明 利用 线面垂直的判定定理 即由 线线垂直 线面垂直 利用 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于同一个平面 利用 面面垂直的性质定理 即由 面面垂直 线面垂直 利用 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 它也垂直于另一个平面 利用定义 如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直 那么这条直线和这个平面垂直 注意 任何一条直线并不等同于无数条直线 这一点常作为考查的陷阱 3 面面垂直的证明 利用 面面垂直的定义 即证 两平面所成的二面角是直二面角 利用 面面垂直的判定定理 即由 线面垂直 面面垂直 2 空间垂直关系之间的转化 也是立体几何中证明垂直关系常用的思路 3 两个平面垂直的性质定理 即 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 是作点到平面距离的依据 要过平面外一点p作平面 的垂线 通常是先作 找 一个过点p并且和 垂直的平面 设 l 在 内作直线a l 则a 感悟高考 品味高考 高考预测 1 2012 泉州市质检 下列四个条件 x y z均为直线 x y是直线 z是平面 x是直线 y z是平面 x y z均为平面 其中 能使命题 x y y z x z 成立的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 根据线线垂直 线面垂直 面面垂直的判定定理 可知 能使命题 x y y z x z 成立 答案 c 2 2011 江西师大附中等重点学校联考 如图 ab为圆o的直径 点e f在圆o上 ab ef 矩形abcd所在的平面