高考数学总复习 第六章 第九节数学归纳法课件 理.ppt

第九节数学归纳法 第六章不等式 推理与证明 考纲要求 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 课前自修 知识梳理 数学归纳法 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先证明当n取第一个值n0时命题成立 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 这种证明方法就叫做数学归纳法 用数学归纳法证明一个与正整数 或自然数 有关的命题的步骤 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 例如n0 1 n0 2等 时结论正确 2 归纳递推 假设当n k k n 且k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 由 1 2 可知 命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时 要注意 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 基础自测 1 2012 济南市模拟 用数学归纳法证明1 2 3 n 1 2 n2 则当n k 1时 左边应在n k的基础上加上 a k2 1b k 1 2c d k2 1 k2 2 k 1 2 解析 当n k时 等式左边1 2 3 k2 当n k 1时 等式左边 1 2 3 k2 k2 1 k2 2 k 1 2 多出2k 1项 故选d 答案 d 3 如图 第n个图形是由正n 2边形 扩展 而来 n 1 2 3 则第n 2 n 3 个图形中共有 个顶点 n2 n 4 在数列 an 中 a1 且sn n 2n 1 an 通过计算a2 a3 a4 猜想an的表达式是 考点探究 考点一 探索 归纳 猜想与证明 例1 己知数列 an 满足条件 n 1 an 1 n 1 an 1 且a2 6 设bn an n 猜想 bn 的通项公式 并用数学归纳法证明 自主解答 解析 当n 1时 由 n 1 an 1 n 1 an 1 得a1 1 当n 2时 a2 6 代入 n 1 an 1 n 1 an 1 得a3 15 同理可得a4 28 再代入bn an n中 得b1 2 b2 8 b3 18 b4 32 由此猜想bn 2n2 要证明bn 2n2 可证明an bn n 2n2 n 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 a1 2 12 1 1 前面已求得a1 1 猜想正确 2 假设当n k时 k 1 k n ak 2k2 k 则当n k 1时 由已知 n 1 an 1 n 1 an 1 得 k 1 ak 1 k 1 ak 1 ak 1 ak 1 2k2 k 1 2k 1 k 1 k 1 2k 1 2 k 1 2 k 1 当n k 1时 等式成立 由 1 2 可知对一切n n an 2n2 n都成立 bn 的通项公式是bn 2n2 点评 本题运用了从特殊到一般的探索 归纳 猜想及证明的思维方式去探索和发现问题 并证明所得结论的正确性 这是非常重要的一种思维能力 变式探究 1 2012 锦州市模拟 在数列 an 中 a1 tanx an 1 1 写出a2 a3 a4 2 猜想 an 的通项公式 并加以证明 考点二 用数学归纳法证明恒等式 例2 用数学归纳法证明 12 22 n n n 思路点拨 明确初始值n0的取值并验证n n0时命题的真假 必不可少 假设n k时命题正确 并写出命题形式 分析 n k 1 时命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 并弄清左端应增加的项 点评 用数学归纳法证明恒等式时应注意 明确初始值n0的取值并验证n n0时命题的真假 必不可少 假设n k时命题正确 并写出命题形式 分析 n k 1 时命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清左端应增加的项 明确等式左端变形目标 掌握恒等式变形常用的方法 乘法公式 因式分解 添拆项 配方等 可明确为 两个步骤 一个结论 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 变式探究 2 用数学归纳法证明 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 n2 n 1 n 1 考点三 用数学归纳法证明不等式 例3 证明贝努利不等式 如果x r x 1且x 0 n n n 1 那么有n 1 nx 思路点拨 这是与正整数有关的不等式 可以用数学归纳法来证明 证明 1 当n 2时 由x 0得 2 1 2x x2 1 2x 命题成立 2 假设当n k时命题成立 即有k 1 kx 当n k 1时 k 1 k 1 x kx kx2 1 x 所以当n k 1时 命题成立 由 1 2 知 命题对一切大于1的正整数n均成立 变式探究 考点四 用数学归纳法证明几何命题 例4 平面内有n个圆 任意两个圆都相交于两点 任何三个圆都不相交于同一点 求证 这n个圆将平面分成f n n2 n 2个部分 证明 1 当n 1时 一个圆将平面分成两个部分 且f 1 1 1 2 2 因此 n 1时命题成立 2 假设n k k 1 k n 时命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 当n k 1时 在k 1个圆中任取一个圆c 剩下的k个圆将平面分成f k 个部分 而圆c与k个圆有2k个交点 这2k个交点将圆c分成2k段弧 每段弧将它所在的平面部分一分为二 故共增加了2k个平面部分 因此 f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 所以n k 1时命题也成立 由 1 2 知对一切n n 命题都成立 点评 用数学归纳法证明几何问题 如本题证题的关键是弄清增加一个圆能够增加多少段不同的弧 解此类问题常运用几何图形的性质 可注意加以运用 变式探究 4 平面内有n条直线 其中无任何两条平行 也无任何三条共点 求证 这n条直线把平面分割成 n2 n 2 块 证明 1 当n 1时 1条直线把平面分成2块 又 12 1 2 2 命题成立 考点五 用数学归纳法证明整除问题 例5 用数学归纳法证明 对于任意自然数n 数11n 2 122n 1是133的倍数 证明 1 当n 0时 11n 2 122n 1 112 121 121 12 133 故n 0时命题成立 2 假设当n k k 0 k n 时命题成立 即11k 2 122k 1能被133整除 当n k 1时 11 k 1 2 122 k 1 1 11 11k 2 122 122k 1 11 11k 2 122k 1 122 122k 1 11 122k 1 11 11k 2 122k 1 122k 1 144 11 11 11k 2 122k 1 122k 1 133 由归纳假设知11k 2 122k 1及133都能被133整除 所以11 k 1 2 122 k 1 1能被133整除 即n k 1时命题也成立 根据 1 2 可知 命题对一切自然数都成立 点评 因为自然数中包括0 所以本题的初始值n0 0 所以第一步应验证n 0 而不是n 1 在证明整除时 为了得到相等的式子 同时添加一些项 再去掉一些项 利用数学归纳法证明整除问题 由归纳假设p k 能被p整除 证p k 1 能被p整除 也可运用结论 p k 1 p k 能被p整除 p k 1 能被p整除 变式探究 5 用数学归纳法证明42n 1 3n 2能被13整除 其中n n 证明 1 当n 1时 42 1 1 31 2 91能被13整除 命题成立 2 假设当n k k 1 k n 时 42k 1 3k 2能被13整除 则当n k 1时 42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 42k 1 13能被13整除 42k 1 3k 2能被13整除 当n k 1时也成立 由 1 2 知 当n n 时 42n 1 3n 2能被13整除 考点六 数学归纳法与数列问题的综合 例6 2012 江苏泰州中学调研 已知多项式f n 1 求f 1 及f 2 的值 2 试探求对一切整数n f n 是否一定是整数 并证明你的结论 变式探究 6 2011 北京市丰台区模拟 设函数f x x xlnx 数列满足0 a1 1 an 1 f an 证明 1 函数f x 在区间 0 1 是增函数 2 an an 1 1 2 用数学归纳法 当n 1时 0a1 由函数f x 在区间 0 1 是增函数 且函数f x 在x 1处连续 则f x 在区间 0 1 是增函数 a2 f a1 a1 a1lna1 1 即a1 a2 1成立 假设当x k k n 时 ak ak 1 1成立 即0 a1 ak ak 1 1 那么当n k 1时 由f x 在区间 0 1 是增函数 0 a1 ak ak 1 1 得f ak f ak 1 f 1 1 而an 1 f an 则ak 1 f ak ak 2 f ak 1 ak 1 ak 2 1 也就是说当n k 1时 an an 1 1也成立 根据 可得对任意的正整数n an an 1 1恒成立 1 用数学归纳法证明问题应注意 1 第一步验证n n0时 n0并不一定是1 2 第二步证明的关键是要运用归纳假设 特别要弄清由k到k 1时命题的变化 3 由假设n k时命题成立 证明n k 1时命题也成立 要充分利用归纳假设 要恰当地 凑 出目标 2 用数学归纳法证明与自然数有关的命题时 要注意初始值 要弄清n k和n k 1时的结论是什么 要有目标意识 紧盯n k 1时的结论 对n k时的结论进行一系列的变形 变形的目标就是n k 1时的结论 这就是所谓的 凑假设 凑结论 3 常用数学归纳法来证明恒等式 不等式 数的整除性 几何中计算问题 数列的通项与和等 4 用数学归纳法证明恒等式的注意事项 明确首取值n0并验证真假 必不可少 假设n k时命题正确 并写出命题形式 分析 n k 1时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清左端应增加的项 明确等式左端变形目标 掌握恒等式变形常用的方法 乘法公式 因式分解 添拆项 配方等 可明确为 两个步骤 一个结论 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 5 运用数学归纳法证明问题时 常常要运用从特殊到一般的探索 归纳 猜想及证明的思维方式进行求解 在证明整除时 为了得到相等的式子 同时添加一些项 再去掉一些项 用数学归纳法证明几何问题 证题的关键是弄清增加一条直线能够增加多少不同的交点 解此类问题常运用几何图形的性质 可注意加以运用 感悟高考 品味高考 2 2012 大纲全国卷 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过两点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴交点的横坐标 1 证明 2 xn xx 1 3 2 求数列 xn 的通项公式 高考预测 1 2012 郴州市模拟 观察下表 设第n行的各数之和为sn 则sn 1 234 34567 45678910 解析