（机械设计及理论专业论文）基于ansys的热权函数法分析系统开发技术研究.pdf

浙江工业大学硕士学位论文 基于a n s y s 的热权函数法分析系统开发技术研究 摘要 热权函数法( t w f m ) 是利用温度与热权函数( t w f ) 乘积的积分来直接计算热载 荷作用下裂纹体裂纹尖端应力强度因子( s i f ) 过渡过程的一种方法。由于热权函数与 时间无关，只与模型的几何形状有关，因此在计算热载荷作用下裂纹体裂纹尖端s i f 过 渡过程时，应用热权函数法可以避免在热冲击过程中对每一时刻所做的有限元或边界元 分析，从而极大地提高了计算效率。但是这种新型高效的计算方法目前尚没有应用到时 下流行的有限元分析软件如a n s y s 、a b a q u s 、m a r c 中。本文在a n s y s 环境下对 热权函数法分析系统的开发技术进行研究，开发出了i 、i i 复合型裂纹热权函数法的分 析系统。 首先，对热权函数法的基本原理及其有限元计算方法进行分析，确定了在a n s y s 环境下开发热权函数法分析系统所需要提取的数据种类和需要实现的技术。 其次，对a n s y s 二进制文件的格式和其提供的数据读取子程序进行了研究，给出 了提取上述数据的f o r t r a n 主程序编制方法，同时也给出了a n s y s 下用户定制的 f o r t r a n 程序的编译连接方法。并对a n s y s 下s 的计算和虚拟裂纹扩展技术的实 现进行了研究。 然后，结合热权函数法的有限元计算步骤及其数值积分计算方法，开发出了i 、i i 复合型裂纹热权函数法的分析系统。 最后，应用开发的热权函数法分析系统对若干实例进行计算，并用其他方法对计算 过程和结果进行了验证，结果表明：本文开发的热权函数法分析系统具有较高的计算精 度和计算效率。 关键词：热权函数法，应力强度因子，复合型，虚拟裂纹扩展，a n s y s 浙江工业大学硕十学位论文 r e s e a r c ho n a n a l y t i cs y s t e mo f t h e r m a l w e i g h t f u n c t i o nm e t h o db ya n s y s a b s t r a ct t h es i f so ft h ec r a c kb o d yu n d e rt h e r m a ls h o c kc a nb ec a l c u l a t e dt h r o u g hi n t e g r a t i o no f p r o d u c to ft h et h e r m a lw e i g h tf u n c t i o n ( t w f ) a n dt h et e m p e r a t u r eu s i n gt h e r m a lw e i g h t f u n c t i o nm e t h o d ( t w f m ) t r fi si n d e p e n d e n to ft i m ea n dd e p e n d e n to n l yo ng e o m e t r yo f t h ec r a c kb o d y s ot h er e p e a t e dd e t e r m i n a t i o n so ft h ed i s t r i b u t i o n so fs t r e s st h r o u g hf i n i t e e l e m e n tm e t h o do rb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o dt h r o u g ht h e r m a ls h o c ka r ea v o i d e d b u tt h en e w a n dh i g he f f i c i e n tm e t h o di sn o tu s e di np o p u l a rf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i ss o l , r a r e ss u c ha s a n s y s ，a b a q u s ，m a r c a tp r e s e n t i nt h i ss t u d y , t h ea n a l y t i cs y s t e mo f t w fm e t h o du s e d f o rs o l v i n gt h ep r o b l e m so fi i im i x e dm o d ec r a c ku n d e rt h e r m a ls h o c ki se s t a b l i s h e d u n d e rt h ec i r c u m s t a n c e so f a n s y s f i r s t l y , t h eb a s i cp r i n c i p l e so ft h et h e r m a lw e i g h tf u n c t i o nm e t h o da n df i n i t ee l e m e n t m e t h o d s w e r ea n a l y z e d ，t h er e q u i r e dd a t at y p e sn e e d e dt ob ee x t r a c t e da n dt h et e c h n o l o g yt o b ei m p l e m e n t e d ，w h i c ha r eu s e dt od e v e l o pt h ea n a l y s i ss y s t e mo ft h et h e r m a lw e i g h tf u n c t i o n m e t h o di na n s y sa r ed e t e r m i n e d s e c o n d l y , t h eb i n a r yf i l e si na n s y s a n dt h es u b r o u t i n e sf o rd a t a r e a d i n g a r es t u d i e d ，t h e p r o g r a m m i n gm e t h o do ft h ef o r t r a n s o f t w a r et oe x t r a c tt h ed a t aa r eg i v e n ，a l s ot h e c o m p i l ec o n n e c t i o nm e t h o do ff o r t r a na n da n s y s t h ec a l c u l a t i o n so ft h es i f a n dt h e r e a l i z a t i o no ft h ev i r t u a lc r a c ke x t e n s i o nt e c h n i q u eh a v eb e e ns t u d i e d t h e n c o m b i n e dw i t l lf i n i t ee l e m e n tc a l c u l a t i o no ft h et h e r m a lw e i g h tf u n c t i o nm e t h o d a n dn u m e r i c a li n t e g r a t i o nm e t h o d s ，t h ea n a l y t i cs y s t e mo ft w f mf o ri i im i x e dm o d e c r a c ka r ed e v e l o p e d f i n a l l y , t h ea p p l i c a t i o no ft h e r m a lw e i g h tf u n c t i o na n a l y t i cs y s t e ma r eu s e dt oc a l c u l a t ea n u m b e ro fe x a m p l e s ，a l s ot h er e s u l t sa r ev e r i f i e db yt h eo t h e rm e t h o d s r e s u l t sh a v es h o w n t h a t ：t h et h e r m a lw e i g h tf u n c t i o na n a l y s i ss y s t e mh a sh i g ha c c u r a c ya n dc o m p u t a t i o n a l i i i e f f i c i e n c y k e yw o r d s ：t h e r m a lw e i g h tf u n c t i o nm e t h o d ，s t r e s si n t e n s i o nf a c t o r , m i x e d - m o d e ，v i r t u a l c r a c kg r o w t h ，a n s y s i v 浙江工业大学硕士学位论文 1 1研究背景 第1 章绪论 近年来一些化工厂、核电站的压力容器发生爆炸的事故时有发生，严重威胁到人类 的生命安全。尤其是发生爆炸时释放的有毒物质、强辐射性物质，其危害面之大、时间 之久更是难以想象。因此如何保证这些设备安全的工作，避免泄漏或爆炸事故的发生显 得尤为重要。 追究这些事故发生的原因，有很大一部分是由于压力容器内部的裂纹扩展所导致， 而裂纹的存在本身是不可以避免的，而且裂纹的产生是多方面的。如压力容器在制造加 工过程中不可避免的会产生一些阈值尺寸以下的裂纹，在运输或安装过程中可能会发生 碰撞，在工作过程中由于应力腐蚀、同时承受压力和热载荷的作用等原因，这些都会导 致裂纹扩展或诱发新的裂纹。当裂纹扩展到阈值尺寸以上时，会导致设备无法正常工作， 更严重的是导致泄漏或爆炸事故。因此压力容器在工作时需要适时的对其进行准确的安 全性评估，以保证其安全工作。 当然除了像压力容器这样的设备在工作时承受压热冲击外，还有很多设备如发动机 的燃烧室、锅炉等在工作时，也同样承受强烈的压热冲击，也会导致裂纹扩展而使其无 法正常工作、引发事故等，因此也需要对其进行准确的安全性评估。此外金属部件在制 造过程中淬火处理时，也会导致裂纹扩展，虽然裂纹尺寸依然在阈值范围内，但是会导 致部件强度的下降，因此要适时的对其进行准确的强度评估。事实上，内部存在裂纹且 承受压热冲击的部件被广泛的应用于机械，石油化工，航空航天，核工业等领域，怎样 有效的对这些部件进行分析，进而准确的进行安全性评估至关重要。 内部存在裂纹的部件在承受压热冲击时，其裂纹尖端应力强度因子过渡过程的分析 计算工作量非常大。且部件承受压热冲击过程是一个非定常的过程，伴随着很大的温度 梯度和随时间急剧变化的温度场，同时也伴随着较大的压力变化。因此，当部件中存在 裂纹时，其应力强度因子也将随时间急剧变化，这无疑给分析计算增加了难度。因此我 们必须寻求计算效率高且准确的方法来对其进行分析。 热权函数法是一种计算部件在承受压热冲击下裂纹尖端应力强度因子过渡过程非 第1 章绪论 常有效且准确的方法，需要通过参考载荷系统求得裂纹体的热权函数，其他任意温度载 荷作用下裂纹尖端的应力强度因子可以通过温度与热权函数乘积的积分求得。显然想要 通过直接积分求得结果是比较难的，利用热权函数法和当前流行的有限单元法结合，可 以使问题得到简化。 但是，这种新型高效的计算方法目前尚没有应用到时下流行的有限元分析软件如 a n s y s 、a b a q u s 、m a r c 中。本文将在a n s y s 环境下对热权函数法分析系统的开 发技术进行研究，开发出i 、i i 复合型裂纹热权函数法的分析系统。 1 2 国内外研究现状 常规的应力权函数法是由b u e c k n e r t l 】在1 9 7 0 年提出的，权函数法给出了解耦裂纹 几何和载荷配置两类影响的途径。只要对确定的裂纹体求解到了对应的权函数，就可以 对任何载荷使用简单的积分完成应力强度因子的计算。利用权函数应力强度因子用加权 积分的方法直接表示为所受边界力和体力的积分，是求解一般的机械载荷( 表面力) 作用 情况下应力强度因子的一个很有效的方法。r i c e 2 】给出了求解应力权函数的一般方法， 并且证明了权函数的唯一性。 b o w i e 和f r e e s e 3 】对权函数法的应用范围作了推广，在载荷上添加了复合牵引力和 位移边界条件。b o r t m a n 和b a n k s 4 又将权函数法从求解i 型裂纹体问题扩展到求解复合 型裂纹体问题。之后b a n k s 【5 1 对权函数法求解复合材料界面裂纹问题进行研究。其中g a o 6 】 将权函数法应用到了求解双面材料界面裂纹问题中。申连掣7 】对界面裂纹尖端附近、无 限大体半无限界面裂纹问题进行了具体的研究，推导出了适应于求解这类问题的权函数 的显式表达式。 柳春图阶又提出了半权函数法，他从功的互等定理出发，得到以半权函数为被积 函数的应力强度因子积分形式的表达式。由于半权函数比权函数易于获得，且与裂纹体 的几何尺寸无关，对边界条件没有要求，在积分中避开了裂尖的奇异性，因此即使采用 较粗糙的模型或方法得到的近似值，也可以得到精度较高的应力强度因子。 黄佩珍1 2 1 等从界面裂纹完备的特征展开式出发，利用伪正交特性，提出了计算界面 裂纹特征展开式系数和应力强度因子的高次权函数法，应用这种方法可以用较少的特征 展开式项数和边界积分点数获得较高的精度，大大减少了工作量。 g l i n k a 和s h c i l 【1 3 - 【1 6 】对有限厚度板角裂纹和半椭圆裂纹的应力强度因子及权函数进 行了研究，推导出近似权函数用于有限板的半椭圆表面裂纹问题的求解。w a n g 和 2 浙江工业大学硕士学位论文 l a m b e r t 17 】利用权函数法对t 型板焊接点的半椭圆裂纹和有限厚度板的半椭圆表面 裂纹s i f 的求解进行了研究。此外，还有许多学割2 0 】【2 5 1 对权函数法也做了大量研究。 随着计算机技术和有限单元法的发展，许多学者都致力于使用有限元法来构建有限 裂纹体的权函数。s h a 2 6 】使用刚度导数技术与奇异裂尖单元直接耦合的方法，用于确定 权函数，并且通过使用有限单元法推导出了指定宽度和长度的单一裂纹体的权函数。s h a 和y a n g 2 7 1 使用有限单元法推导出了斜裂纹的权函数，并在其中采用了由p a r k s 2 8 1 和 h e l l e n e 2 9 】提出的虚拟裂纹扩展技术。t s a i 和m a 3 0 1 采用有限单元与曲线拟合技术，为有 限矩形板的i 型裂纹面构建应力强度因子的显式权函数。这些显式权函数由定位坐标、 裂纹长度、样本长度与宽度构成，在实际工程中非常有用。h e o 3 1 1 和k o o 3 2 1 利用有限元 法进行权函数的计算。 上述权函数法仅限于求解一般机械载荷作用下裂纹体的应力强度因子，并没有涉及 到热载荷，但是在工程应用中，承受热载荷作用的裂纹体随处可见。因此对热载荷作用 下的裂纹体进行研究十分必要。 对于热弹性范围内的裂纹问题，s i h 3 3 1 ，f l o r e n c e 和g o o d i c r 3 4 1 等学者对特殊热载荷 条件下的无限体裂纹问题进行研究。w i l s o n 和y u 3 5 】以及h e l l e n 和c c s a r i i 3 6 】采用有限元 法对热载荷作用下有限体裂纹问题进行了研究，其中，w i l s o n 和y u 提供了修正的j 积 分法，并结合有限元法进行问题求解。此外，b a h r 和b a l k e 3 7 1 以及r i z k e 3 8 】- 【删采用叠加 原理加应力权函数法对热载荷作用下有限体裂纹问题进行了研究。 以上学者对热载荷作用下的裂纹体进行了研究，但是存在一个共同的问题，即对于 承受不同热载荷作用的同一裂纹体，需要重复的进行计算工作量很大的有限元法或边界 元法分析，尤其当该裂纹体处于瞬态热载荷条件下，则计算量将更多，这样就降低了分 析效率，因此需要寻求其它高效的方法。 为了高效的求解瞬态热载荷作用下裂纹体的应力强度因子的变化过程，t s a i t 4 l 】提出 了热权函数法来求解这类问题。但是t s a i 只给出了求解二维平面问题的热权函数计算公 式，至于求解轴对称以及更一般的三维问题的热权函数计算公式则尚未得到解决。卢炎 麟【4 2 】【4 8 】将热权函数法推广到轴对称问题，并进一步给出了三维热权函数法的基本公式 和求解方法。在热权函数法中，先求出温度场过渡过程，然后只要对带裂纹的几何体进 行一次热权函数分析，确定其热权函数：由于热权函数与时间t 无关，所以接下去只需 将温度与热权函数的乘积直接进行积分，便可求得每一时刻的应力强度因子。由于免去 了对每一时刻所作的有限元或边界元分析，工作量大大减小。显然，这种新方法在求解 第l 章绪论 热冲击非定常问题时具有很大的优越性。此外，r a t n e s h 4 9 】利用热权函数法对两相材料 界面裂纹问题进行了研究。 s h a 和y a n g 2 刀将虚拟裂纹扩展技术推广到复合型问题，同时在裂纹尖端附近采用一 种特殊的对称网格，使i 型和型应力强度因子可以得到独立的求解。一些研究者对带 斜裂纹的半无限裂纹板，利用不同的方法进行复合型应力强度因子的计算，其中 w i l s o n 5 0 1 利用边界配置法进行分析，a l i a b a d 剐利用边界元法分析复合型b u e c k n e r 权函 数。y o n e y a m a 5 2 】和a r a k e r e 5 3 1 对复合型应力强度因子的求解也都做了一些研究。 s e r k a n t 5 4 】等利用修正的有限元法对热机载荷作用的复合型应力强度因子进行求解。 另外，不少学者对多种不同结构的裂纹模型进行了深入的研究，为权函数法的推广 做了大量而细致的工作，而热权函数法的提出则为高效的求解瞬态热应力强度因子带来 了很大的方便。 其中，瞬态热冲击下的平面i 、i i 复合型裂纹问题是工程中经常遇到的，但是解决 起来非常复杂的一个问题，因此研究热冲击下平面i 、i i 复合型裂纹的失稳与扩展规律 具有重要的工程意义。热权函数法在计算热冲击下含裂纹结构的应力强度因子时具有极 高的计算效率。但是，当前主流的c a e 软件目前还没有针对热权函数发开发出相应的 计算模块，卢炎麟、傅建钢【髟1 等在m a r c 环境下对应用热权函数求解裂纹体应力强度 因子的方法进行了研究，本文将在a n s y s 环境下对热权函数法分析系统的开发技术进 行研究，开发出i 、i i 复合型裂纹热权函数法的分析系统。 1 3 研究的主要内容 本文研究工作主要有以下几方面： ( 1 ) 对热权函数法的基本原理及其有限元计算方法进行了研究，确定了在a n s y s 环境下开发热权函数法分析系统必须从a n s y s 二进制文件中提取到整体刚度矩阵、整 体结点位移矩阵、整体结点力矩阵、整体结点温度矩阵、单元连接信息等，同时还需要 计算参考载荷系统作下的裂纹体的s i f ，实现虚拟裂纹扩展技术。 ( 2 ) 对存储上述数据的a n s y s 二进制文件的格式和a n s y s 提供的数据读取子程 序进行研究，给出了提取上述数据的f o r t r a n 主程序的编制方法，同时也给出了 a n s y s 下用户定制的f o r t r a n 程序的编译连接方法。并对a n s y s 下s i f 的计算和 虚拟裂纹扩展技术的实现进行了研究。 4 浙江工业大学硕卜学位论文 ( 3 ) 结合热权函数法的有限元计算步骤及其数值积分计算方法，将热权函数法的 分析系统开发分为两部分t 虚拟结点力计算、应力强度因子计算。给出了利用有限元方 法计算虚拟结点力的方法和程序开发的方法，线积分边界的提取方法和应力强度因子计 算程序系统的结构图及相应的程序编制方法。并以此为基础开发出了i 、i i 复合型裂纹 热权函数法的分析系统。 ( 4 ) 应用开发的热权函数法分析系统对若干实例进行计算，并用a n s y s 提供的 a p d l 命令及有限元的平衡方程对计算过程数据提取的正确性进行了验证，并将本程序 系统计算的结果与a n s y s 下用热力学耦合的方法计算的结果进行了比较，比较结果表 明：本文开发的热权函数法分析系统具有较高的计算精度和计算效率，同样也说明了热 权函数法计算s i f 的高效性和可靠性。 1 4 研究目的和意义 课题主要针对当前主流的c a e 软件目前还没有针对热权函数发开发出相应计算模 块的现状，利用a n s y s 强大的二次开发功能、接口技术与有限单元法、数值计算方法 结合开发出应用热权函数法计算受热冲击时平面i 、i i 复合型裂纹尖端应力强度因子过 渡过程的程序系统。 5 第2 章热权函数法基本原理及其有限元解法 第2 章热权函数法基本原理及其有限元解法 2 1机械力权函数法基本原理 权函数法求解裂纹尖端s i f 首先由b u e c k n e r 提出，它是求解裂纹体在表面力作用下 裂纹尖端s i f 的一个有效方法。r i c e 给出了求解表面力权函数的一般方法，对于一个厚 度均匀的平面i 型裂纹体，如果已知该裂纹体在某一基本参考载荷系统( 如图2 1 a 所 示) 下的位移场u ( 1 和应力强度因子k 由此可以求得此裂纹体的表面力权函数h ： h ) = 南掣 ( 2 1 ) 式中 f e ，平面应力 肚1 毒1 平面应变 l 一2 。 ( a ) 基本参考载荷系统( 1 )( b ) 待求载荷系统( 2 ) 图2 - 1 表面力作用下的裂纹体 r i c e 还证明了对于一个确定的裂纹体，其表面力权函数是唯一的，即表面力权函数 只与裂纹体的结构有关，而与所施加的外载荷无关。应用求得的表面力权函数可以方便 的求得该裂纹体在任意一组表面力t ( 2 ( 如图2 1 b 所示) 作用下裂纹尖端的s i f ： 斛2 ) - i , t 蚴h ( x ，y , a ) d s ( 2 - 2 ) 其中，墨为表面力t 蚴的作用边界。 浙江工业大学硕1 二学位论文 最初的权函数法只能求解裂纹体在表面力作用f 裂纹尖端的s i f ，至于求解裂纹体 在机械载荷( 包括表面力、体积力、位移边界条件) 作用下裂纹尖端的s i f 则需要用机 械力权函数法。机械力权函数法同表面力权函数法相似，对于一个厚度均匀的平面i 型 裂纹体，如果已知该裂纹体在某一基本参考载荷系统( 如图2 - 2 a 所示) 下的位移场u ( 1 ) 、 应力强度因子k j 、因位移边界条件u 而产生的表面力t ，由此可以求得此裂纹体的 表面力权函数h 、位移权函数h “、体积力权函数h ： h f ( ) = 刍掣 ( 2 3 ) r “脚) = 刍掣 ( 2 - 4 ) h 乍川= 恭掣 ( 2 - 5 ) ( a ) 基本参考载荷系统( 1 )( b ) 待求载荷系统( 2 ) 图2 2 机械力作用下的裂纹体 应用求得的表面力权函数h 、位移权函数h “、体积力权函数h ，可以方便的求得该 裂纹体在任意一组机械载荷( 包括表面力t 气舶、体积力f ( 2 ) 、位移边界条件u 蚴) ( 如图 2 2 - b 所示) 作用下裂纹尖端的s i f ： k 卜l t ( h ( 硼口) a s 一1 1 1 * ( 2 ) h “( w ，口) 搬+ f i f 悯h 佩，y ，口) ( 2 - 6 ) 其中，瓯为位移边界条件u 的作用边界，a 为体积力f 啦的作用区域。 7 第2 章热权函数法基本原理及其有限元解法 2 2 综合权函数法基本原理 综合权函数法同表面力权函数法和机械力权函数法一样都是利用基本参考载荷系 统求出相应的权函数，然后再通过待求载荷系统的载荷与相应权函数的乘积的积分来计 算裂纹尖端的s i f 。综合权函数法可以求解裂纹体在表面力、体积力、位移边界条件、 热冲击共同作用下裂纹尖端的s i f 。 图2 3 表示一个厚度均匀的平面裂纹体分别受到基本参考载荷系统( 1 ) 和待求载 荷系统( 2 ) 的作用。其中，基本参考载荷系统( 1 ) 的表面力t ( n 、体积力f , t 1 ) 、位移 边界条件u ( 1 ) 、盈余温度 ( 1 都是己知的，在其作用下裂纹尖端的应力强度因子k ：、 k ? 也是已知的：待求参考载荷系统( 2 ) 的表面力t ( 2 ) 、体积力f ( 2 ) 、位移边界条件u ( 孙、 盈余温度。讹都是己知的，在其作用下裂纹尖端的应力强度因子k ；舶、k ：；是待求的。 ( a ) 基本参考载荷系统( 1 )( b ) 待求载荷系统( 2 ) 图2 3 裂纹扩展前综合力作用下的裂纹体 对图2 - 3 中的裂纹体应用b e t t i 功的互等定理( 即第一组力在第二组力引起的位移上 所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功) 可得： t 砸u ( 2 ) ( 口) d s 一上。u ”t ( 2 ) ( 口) a s + f f 川口) 幽+ f 【羽弋n 但( 口) 姒 = f f t ( 2 ( 口) 以口) d s 一上。u ( 2 ) ( 口) t ( 1 ( 口) a s + f f ( 2 ) ( 口) 以口) 谢+ ( 2 - 7 ) f e 羽( 2 ) ( 口) o ( 口) 幽 其中，口是热传导系数，等于正应力o x x 、仃。、仃。之和。 现在假设分别给图2 3 b 中的待求载荷系统( 2 ) 的表面力t 、体积力f ( 孙、位移 边界条件u 、盈余温度o 一个微小的增量使裂纹体的裂纹产生微小的扩展量口， 8 浙江工业大学硕士学位论文 同时也产生了新的边界面a s , ，形成了新的裂纹体，如图2 4 - b 所示。另外对新形成的 裂纹体，除施加与图2 - 3 一a 中相同的参考载荷外，还在新形成的边界面墨施加大小等于 2 - 3 一a 中裂纹尖端应力的已知表面力，使边界面墨的张开位移为零，如图2 - 4 a 所示。 对新形成的裂纹体应用b e t t i 功的互等定理有： ( a ) 基本参考载荷系统( 1 ) ( b ) 待求载荷系统( 2 ) 图2 4 裂纹扩展后综合力作用下的裂纹体 f ，t ( 以口+ 口) a s + l ，一 口+ 口) a s 一工。u t ( 2 ( 口+ a ) a s + 紧麓：怒) a 紧s 乏篇) d s + 陆趵 = f ，t 2 ( 口+ 以) u 1 ( 口一上。u 。2 ( 口+ 口) t 1 ( 口 + 、。 f 懈( 口+ 血) u ( 口) 幽+ 儿羽( 2 + 口) m ( 口) 刎 上。t ( 1 ( u 犯k ) + 垒竽血) 嬲+ l ，t ( 1 ) ( u ( 2 k ) + 垒挚口) 钌一 l u ( 1 ( t 但) ( 口) + 型竽勘) 嬲+ 儿p ( u ( 2 k ) + 塑杀堕以) 姒+ 【棚，( ( a ) + 丝毫堕口) 剃 ( 2 9 ) = 工，( t ( 2 1 ( 口) + 丛尘妇) - u ( 1 k ) 嘏一c 。( u 讹) ( 口) + 垒兰盟血) t ( 1 ) ( 口) 嬲+ 儿( f ( 2 ) ( 口) + 堕鼍盟口) u m ( 口) 幽+ 儿口( 。唯k ) + 掣血) 哪) ( 口) 以 9 第2 章热权函数法基本原理及其有限元解法 t ( 1 ) 塑塑搬一fu ( 1 ) 一o t ( 2 ( a ) d s + ( 1 ) 型塑幽+ 矗8ai s 。a 口 j k 抛 l 剁挈刎= 王，( u ( 1 ) ( 口) 学“学肛 【( t ( 1 ) ( 口) 篓塑+ u 讹) ( 口) 掣) 嬲+ ( 2 - 1 0 ) o 。 o ao a 胪) ( 口) 学+ f 1 2 k ) 掣肌 f 【咖m ( 口) 学+ o ( 2 k ) 学) 刎 通过比较式( 2 - 7 ) 、( 2 - 9 ) 、( 2 - 1 0 ) ，经整理后可得： 石1 p u ( 2 ) ( 棚2 f ，t i ( 口) 掣始+ 旷) ( 口) 掣加倍 胪k ) 学拟一f 舻学谢 一 以上所讨论的裂纹体的裂纹可以是单一型也可以是复合型，下面将分别讨论i 型、 ：并霉 p 切 t 圳( x ，y ) 旷= ( o ， 睾一) 将式( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 代入式( 2 1 1 ) 中，整理可得到i 型单一型裂纹综合权函数法的基本表 达式： 1 0 薹v番盖 浙江工业大学硕i 二学位论文 尉2 ) - t 气舢h ：钌一u 气扪- h t a s + 几f ( 孙h f 幽+ l 羽1 h ： a a ( 2 - 1 4 ) 其中， h ；= 砰h 百0 u r n ( a ) 川= 硒h 百o t t o ( a ) ，h ；= 硒h 百0 u r n ( a ) ，h o , = 面h 学( 2 - 1 5 ) h ；、h ；、h f 、彬分别表示i 型单一型裂纹的表面力权函数、位移全函数、体积力权函 数、热权函数。 如果图2 - 3 、图2 - 4 中的裂纹体的裂纹均为i i 型，待求应力强度因子为k 舅。同理 也可以得到i i 型单一型裂纹综合权函数法的基本表达式： k 管k 上，t 气舶- h 。钌一f 。u 1 2 1 h 备拇+ 且f h ；幽+ f 羽群幽( 2 - 1 6 ) 其中， h ：，= 南学，h ：! ，= 南掣= 砑1 t 百o u m ( a ) 肛瑟1 - 1 万学( 2 1 7 ) h 0 、h ”，、h 二、蟛分别表示i i 型单一型裂纹的表面力权函数、位移全函数、体积力权 函数、热权函数。 2 2 2i 、复合型裂纹的综合权函数法 本小节将讨论i 、i i 复合型裂纹的综合权函数法，假设图2 3 、图2 4 中的裂纹体 的裂纹均为i 、i i 复合型，待求应力强度因子为k j 孙、k 譬。用叶和o 分别表示裂纹 的上表面和下表面，由裂纹尖端附近的位移场和应力场计算公式可得图2 3 a 中施加在 裂纹面a s t 上下表面的表面力分别为： 图2 3 b 裂纹尖端附近的位移场分别为： 瓮岛丽 足一压 一一一 乏懈秘瑶 = 一口 厨扣静篙 第2 章热权函数法基本原理及其有限元解法 将式( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 代入式( 2 1 1 ) 中，整理可得： 群”2 + 础砰) - p 2 1 盥o a 豳一f 。u 懈，也占。 垡塑搬+ o a 胪，学幽+ 儿舻学幽 ( 2 2 0 ) 因为此时待求应力强度因子有两个( 即k j 孙、k 乎) ，所以根据需要引入基本参考 系统( 3 ) 。类似，在基本参考载荷系统( 3 ) 和待求载荷系统( 2 ) 之间可以建立如下方 程： 由式( 2 2 0 ) 、( 2 - 2 1 ) 整理可得i 其中， i i 复合型裂纹综合权函数法的基本表达式： = t 啦h ? d s 一u 1 2 1 h ? 2 d s + 儿f 讹h f 2 d a + 棚叮舢矽但d a ( 2 - 2 2 ) = t 啦h z d s 一量u 讹h 努2 嘏+ f 讹- h ，( 2 姒+ 硼啦j | l j ；( 2 ) 幽( 2 - 2 3 ) 岈= 去p 学 h f ( 2 ) z h kp 掣 一霹，型塑k z ，0 。 a j 一。 一叫k o ) 掣陋0 0 a 2 ) l = 旦2 k p 盥0 a “j 3 ) 学i 。 1 加i ：乳。，必唧，五(22502 k 。 a。0 a i k = 耐d k 舅一k j 3 k 吕，h ? 孙h i 。f 2 、h 7 但和h 努2 1 、h ，( 2 和h 二但、砰2 和磷2 分别表示 i 、i i 复合型裂纹的表面力权函数、位移全函数、体积力权函数、热权函数。 2 3 基于有限元的热权函数法 一2 但， 髟 但盯 k 砷 q 、j 一 似一 1j b 一切 力一 k 一6剡雩 型 础 k ，一 一 力一 力一 q 吖瓦雩d学等 哪 砖k一一厂il 日一 日一猫 蟛 片 1i卜上广=1j 堕一 些钯丛加 型。型 0 盯 吖咄 醚 k 堕 一 气百丛缸警警 盯 巾 醚 k一 一 一厂l j l 一强 一猫 浙江丁业犬学硕上学位论文 2 3 1热权函数法的基本表达式及其有限元计算格式 如果待求载荷系统( 2 ) 的裂纹体只受到热载荷的作用，上述综合权函数法的基本 表达式便可化简为热权函数法的基本表达式。如i 型单一型裂纹热权函数法的基本表达 式： 掣= 参i 舻，学刎 ( 2 - 2 6 ) i i 型单一型裂纹热权函数法的基本表达式： 础= 南a o 1 2 ，学幽 仁2 7 ， i 、i i 复合型裂纹热权函数法的基本表达式： 班面h i k , 7 学御学卜 亿2 8 ， 础= 芸i p 学钟学卜 弘2 9 ， 因为仃艟对裂纹长度非常敏感，所以不适合直接用式( 2 2 6 ) - ( 2 - 2 9 ) 和有限元计算所 得的应力值来计算应力强度因子k j 孙、k 管。必须将热权函数法的基本表达式化简为适 合用有限元方法进行计算的有限元计算格式 首先必须将盯。进行转化，对于平面问题有 e 2 f 瓦2 其中，x 、y 为总体坐标，”、，分别为沿z 、y 方向的位移。再将式( 2 3 0 ) 分别代入式 ( 2 - 2 6 ) - ( 2 2 9 ) ，交换微分次序后，再应用g r e e n 定理，便可将式( 2 - 2 6 ) 化为i 型单一型裂 纹热权函数法的有限元计算格式： 掣= 南p 2 c 警砂一警妒j ic 警警+ 等警脚 仁3 - ， 其中， 03 q 力 瞳 耐 辘 耐 陋 稚 平 ，、 、， v y劫盘砂 + ，一，o 生缸罡爿南 第2 章熟权函数法基本原理及其有限元解法 h 。= 粤兰，平面应力 1 一 百1 禹，平面应变( 一2 ) ( 1 一2 ) 一。、 司将式( 2 - 2 7 ) 化为i i 型单一型裂纹热权函数法的有限兀计算格式： 聊= 南p 2 c 警咖一警妒ic 警警+ 等警脚i 陋3 2 ， 可将式( 2 2 8 ) 、( 2 2 9 ) 化为i 、i i 复合型裂纹热权函数法的有限元计算格式： 群，= 譬p 2 ，c 警咖一警妒ic 警百0 u ( i ) + 等警脚| - 警p 2 ，c 警方一警妒ic 警警+ 等警脚l 一 水u ) = 型2 kp 2 ，c 警方一警妒j ic 警警+ 等警脚i - 譬p 2 c 警方一警妒i t 警警+ 等警膨l 一 我们可以直接利用热权函数法的有限元计算格式和有限元计算的结果方便的求得 裂纹体的应力强度因子k j 孙、k 譬。下面我们将讨论如何利用有限元计算的结果通过热 权函数法的有限元计算格式来计算裂纹体的应力强度因子k j 孙、k 乎。 2 3 2 权函数o u o a 和偏导数孢的有限元计鼻方法 为了利用热权函数法与有限元法相结合来求解裂纹体在热载荷作用下裂纹尖端的 s i f 。首先必须对参考载荷系统作用下的裂纹体进行有限元分析，利用有限元分析的结 果计算权函数罢，其中u ：kv 】；然后对待求载荷系统( 热载荷) 作用下的裂纹体进 行有限元分析，利用有限元分析的结果计算偏导数爰、o ，其中x = b y 】；最后将计 算得到的塑o a 、爰代入到热权函数法的有限元计算格式中进行数值积分，完成应力强 度因子的计算。对某个区域的积分可以等效为此区域内所有单元区域积分的和，下面将 主要讨论如何利用有限元分析的结果来计算一个单元区域内的权函数孚和偏导数 a 一o i 钔【 1 4 浙江1 = 业大学硕上学位论文 一l 早兀区域冈仕葸点明温发值 口j 以j 盥过温度捕值函数矩阵n 与单兀结点温度 矩阵o 。的积来计算： i s i = n o o ( 2 3 5 ) 权函数孚可以用虚拟裂纹扩展技术来计算，假设给裂纹一个扩展量如，则对平面 d 扭 问题有： 百c o u ：粤一罢妾一罢李( 2 - 3 6 ) 一= = ：一一 8 口d na xd n 乏d c 下面将用有限元分析的结果来计算一个单元区域内的爰、罢、等、罢。其中， 应用有限元法中的等参元( 即位移、坐标、温度插值都采用相同的插值函数n ) 来计算 罢、爰，计算结果如下 焉3 u ：r p u 。( 2 - 3 7 )一= - r j a x ” 塑：r p o 。( 2 - 3 8 ) c o x ” 其中，j 为单元的j a c o b i 矩阵，j = p x o ，u o 为单元节点位移矩阵。 计算孥，可以首先计算霉蔓，然后通过坐标插值函数n 求得孥，计算结果如下： a aa a d a 筚：斗( 2 - 3 9 ) ：= = ：= = = a ac l a d x ：n 挚( 2 - 4 0 ) d ad a 其中，x 。为单元结点坐标矩阵，x 。为虚拟裂纹扩展前的单元结点坐标矩阵，x 口+ 如为虚 拟裂纹扩后的单元结点坐标矩阵。 同样，计算_ d u ，也可以首先计算掣，然后通过位移插值函数n 求得掣。其中 a a a ad a 计算华可采用刚度矩阵导数法，将有限元分析的整体平衡方程k u ：f 的两边对口求 a a 导后整理可得： 掣：k ：t ( 挛一拿u o ) ( 2 - 4 1 ) a aa aa a 而计算挛、拿可采用虚拟裂纹扩展前后的两次有限元分析的结果的差来计算， a aa a 第2 章热权函数法基本原理及其有限元解法 计算结果如下： 盟：k - l ( 生些一毕v o ) ( 2 - 4 2 ) d a 4 、 妇如 d u ：nd u o 一= - d ad a ( 9 _ - 4 3 ) 其中，k 。和f a 分别为虚拟裂纹扩展前的整体刚度矩阵和整体结点载荷矩阵，k 。+ 砌和 f 口+ 如分别为虚拟裂纹扩展后的整体刚度矩阵和整体结点载荷矩阵，u 。为单元结点位移 矩阵，u j 为整体结点位移矩阵。 2 3 3 热权函数法的数值积分计算 在研究热权函数法的数值积分计算之前，首先应该选择合适的单元类型和积分方 法，因为不同形状的单元积分方法不同，不同结点数的单元求解精度不一样，同样采用 不同的积分方法计算精度也不一样。由于用a n a y s 求解平面裂纹体裂纹尖端s i f 时， 裂纹尖端区域采用四边形八结点的奇异单元进行网格划分；而且，通常情况下四边形单 元比三角形单元更为方便有效，八结点四边形单元比四结点四边形单元有较好的计算精 度；同时，为了使数值积分的过程标准化、通用化，使程序系统易于开发。因此本文将 选用四边形八结点等参单元进行程序开发。数值积分的方法有很多，而高斯积分方法可 以用较少的积分点达到较高的计算精度，因此本文选用高斯积分法来进行数值积分计 算。 图2 5四边形八结点单元的坐标变换 在有限单元法中，对某个区域的积分通常被转化为对该区域所有单元的积分的和。 1 6 浙江t 业大学硕：l 学位论文 而为了使对任意四边形单元的数值积分在规范域内采用标准化的步骤进行，通常需要建 立总体( 笛卡尔) 坐标x 、y 中任意四边形单元与局部( 自然) 坐标孝、r 中矩形单元 之间的等参变换( 其坐标变换如图2 5 所示) 、场函数偏导数的变换、面积微元的变换 ( 如图2 6 所示) 等。 d 图2 - 6 面积微元的变换 通过上述变换可以将结点坐标x 、结点位移u 、结点温度o 、全导数竿和掣、 口口口口 权函数罢、偏导数蓑都用自然坐标孝、，7 表示。然后再应用高斯积分法可以将热权函 数法的面积积分化为： lc 暑鲁+ 熹鲁 = 喜f l f l ( 暑鲁+ 爹瓤l 蝴 ：窆k = l 羔i = i 羔j = lc 掣掣+ 掣掣籼驯阿髟 但硝 = 窆k = l 芝i = l 芝j = l ( 掣) t 璺掣k ( 彭以) p ；， 1 7 第2 章热权函数法基本原理及其有限元解法 圣o ( 抛a ud y 一鲁 h = 七= l 工。c 詈善一a 加a 奏) d 孝k - 一上。c 鼍嚣一笔套d 亭i j 7 = l + f 。 ( 鲁考一生t t a 鱼a t ) 却b f 。( 瓦a u 瓦 一生o a 鱼a r l ) d 刁k - 羔j = l 。c 掣掣一掣掣绯一， 一 、a 口 a 毒a 口a 孝 7 川叩。叫 一喜 c 掣掣一型o a 掣啡。亏詈 、a 口 a 善a 孝 川7 2 1 + 兰 ( 型掣一型掣) 乩。 - i = i 、 a a a ，7 a a a ，7 。1 5 ” 一兰(型型一型掣)址一。a 智、 a a r l a a a ，7 7 叫铲1 ( 2 4 5 ) 其中，以表示单元的个数，肌表示高斯积分点的个数，日，、h j 称为积分权系数，其取 值由选择的高斯积分点的个数决定。 2 4 本章小结 本章首先通过介绍表面力权函数法和机械力权函数法对权函数法求解s i f 的基本理 论进行了阐述，然后通过介绍综合力权函数法引出热权函数法，并介绍了热权函数法的 有限元计算格式及其有限元计算方法，最终确定了在a n