（机械设计及理论专业论文）弹性力学混合边界问题的辛差分格式.pdf

摘要 弹性力学h a m i l t o n 体系的理论和方法时至今r 已得到前所未有的大发展，近几年 来，将辛差分方法应用于弹性力学数值求解的研究也已问世。本文将h a m i l t o n 体系辛差 分方法应用于弹性力学位移边界和混合边界问题的数值求解，作了初步探索和尝试。本 文总结性地阐述了弹性力学问题的数值计算方法；然后介绍了平面弹性问题的h a m i l t o n 体系；由弹性力学平面直角坐标h a m i l t o n 对偶方程，采用积分插值法，分别建立了平面 弹性问题位移边界和混合边界的辛差分格式，编程实现了该方法的算法，取得了较好的 预期效果，从而扩展了辛差分法的应用范围；最后对今后的研究方向作了展望。研究结 果表明，辛差分方法采用对偶的二类变量进行求解，能较好地处理各类边界，因此适用 于应力边界、位移边界、混合边界等各种情形，具有广阔的应用前景。 关键词：弹性力学；h a m i l t o n 体系：位移边界：混合边界：积分插值法：辛差分格式 a b s t r a c t s i n c eh a m i l t o n i a ns y s t e mw a si n t r o d u c e di n t oe l a s t i c i t y ，q u i t eg r e a tp r o g r e s sw a s m a d e o ni t st h e o r i e sa n dm e t h o d s b r i l l i a n tf r u i to fr e s e a r c hw a sh a r v e s t e di nt h i sa r e a s y m p l e e t i c f d mw a sp r e s e n t e da san u m e r i c a lm e t h o dt os o l v et h ep r o b l e m so f e l a s t i c i t yr e c e n t l y i nt h i s p a p e r ，t h em e t h o di sa p p l i e dt oe l a s t i c i t yp r o b l e m sw i t hd i s p l a e e m e mb o u n d a r ya n dm i x e d b o u n d a r ya n dt h ep i l o ts t u d yi sm a d e s e v e r a ln u m b e rc a l c u l a t i o nm e t h o df o re l a s t i c i t yi s i n t r o d u c e di nl a g r a n g es y s t e ma n dh a m i l t o n i a ns y s t e m f r o mt h eh a m i l t o n ，sd u a le q u a t i o n s i nt h ep l a n er e c t a n g l ec o o r d i n a t e ss y s t e m , t h es y m p l e c t i cd i f f e r e n c ef o r m a t sa r ee s t a b l i s h e d f o r e l a s t i c i t yp r o b l e m sw i t hd i s p l a c e m e n tb o u n d a r ya n dm i x e db o u n d a r y i n t e r p o l a t i n g i m e 酽a lm e t h o di su s e di nt h ed e r i v i n gp r o c e s s t h ep r o g r a m s c o r r e s p o n d i n gt o t h e s e p r o b l e m sa r ed e s i g n e d t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r ee x p e c t e d t h ef o r m a t se x t e n d e dt h e a p p l i c a t i o no fs y m p l i c t i cf d m t h et r e n do fi 协f a l t t l e rd e v e l o p m e n tw a sd i s c u s s e d t h e r e s e a r c hs h o w st h a tt h es y m p l e c t i cf d mc a nt r e a tv a r i o u sb o u n d a r i e sb e t t e rb e c a u s eo fi t s a d o p t i o no ft h ed u a lv a r i a b l e so fd i s p l a c e m e n ta n ds t r e s s t h es y m p l e c t i cf d mh a saw i d e p r o s p e c ti nf l l t u r e k e yw o r d s ：e l a s t i c i t y ；h a m i l t o n i a ns y s t e m ；d i s p l a c e m e n tb o u n d a r y ；m i x e db o u n d a r y ； i n t e r p o l a t i n gi n t e g r a lm e t h o d ；s y m p l e c t i cd i f f e r e n c ef o r m a t i i 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实， 本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。 论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： 第一章绪论 1 1引言 第一章绪论 力学的发展与数学物理方法的发展是并行的、不可分割的过程。单从问题的物理角 度来看，只要将其基本微分方程建立起来，就已将问题对数学方面的要求表达清楚了， 以下就是如何去求解。经常见到的情况是，基本方程建立起来了，然而其求解却非常困 难。就以弹性力学”。1 来说，其基本方程体系早在1 9 世纪处就已臻完善，然而其求解却 费了一个多世纪，还远远不能说是已臻完善了，求解一直是其发展的一个“瓶颈”。也 正是因为弹性力学微分方程的复杂和求解的困难，在弹性力学上，其求解方法研究上的 突破被视为是与理论研究上的突破同等重要的。 弹性力学的基本理论及其控制方程确立于1 9 世纪上半叶，迄今已逾一个半世纪经许 多数学、力学大师的开拓，1 主i l o v e 和t i m o s h e n k o 集其大成。随后又有大批力学家，包括我 国学者的工作。已构成该领域传统的求解体系其基本路线是先将基本方程演化成只含一 类未知量( 应变或应力) 的微分方程组，也就是把未知量空问降维，然后再就各种具体问题 寻找可行的求解方法，主要是巧妙灵活地应用凑合法、半逆法或其他各种近似法，解出这 一类未知量之后再推得另一类未知量。这个求解体系在“前计算机时代”，克服了基本微 分方程组的求解困难，取得了很大成功。但是由于系统性和一般性不够，能够解决问题的 范围就有局限，所以在一定程度上限制了弹性力学的应用和发展 进入2 0 世纪5 0 年代，随着计算机的发展及高级语言的问世，有限元首先在力学分析 中出现，迅速改变了局面。在力学体系的理论基础上，以强大的计算机能力为后盾，对 于用线性方程描述的结构力学、固体力学等很快发展出通用灵活的有限元数值方法“”， 并系统化为大规模有限元程序系统，解算了数以万计未知数的线性代数方程组，成为工 程师手中强大的分析工具，确立了计算力学的地位。有限元法在结构分析中成功的基础 上迅即扩展到了工程与科学计算的各个方面，取得了极大的成功。 有限元的成功并未减低解析法的意义。其原因是：首先，有限元法本是一类数值近 似，其理论基础脱离不了解析法：其次，有许多问题，例如复合材料的层间效应、断裂 力学中的裂尖奇点元、无限域的元等，其本性是解析的，再如壳体问题的边缘效应、复 合材料的自由边界及其边缘奇点分析8 “等带有明显局部效应的课题，采用有限元数值 计算有精度问题，因而仍要求助于解析或半解析法。钟万勰院士在文1 中将弹性力学、 h a m i l t o n 力学与有限元方法结合起来，提出了个新型超级单元一h a m i l t o n 单元，将状 态空间法与有限元相结合，给出了带有明显局部效应区域处理为整体结构中的一个超级 单元。超级单元可以用解析法求解，采用本征函数向量展开的的方法再结合变分原理可 1 l 海人学工学硕士论文 弹性力学混合边界问题的辛差分格式 以计算出该超级单元的单元刚度阵然后再把它与现行有限元程序包相连来求解。 1 2 弹性力学h a m i l t o n 体系的发展与研究现状 h a m il t o n 体系的理论，最早是出现在经典的分析动力学中如人们所熟知的h a m i l t o n 原理、h a m i l t o n 正则方程等，由于只涉及到系统的状态函数，因此它不但能用于离散系 统，也能用于连续系统或混合系统。随着近代科学理论的发展，尤其是现代控制理论的 发展h a m i l t o n 体系不仅成为最优控制理论的根本，由于它能本质的反映许多物理规律， 因而币逐渐地得到人们的进一步重视。 h a m i l t o n 系统首先是f h h a r n i l t o n 于1 9 世纪2 0 年代描述几何光学时发现的，不久就被 推广到力学中去，成为在数学上与牛顿力学和拉格朗日力学等价的又一种力学的描述形 式。如何从h a m i l t o n 系统出发来构造计算方法呢? 以前的数学家们从未想到将h a m i l t o n 系统作为一个特殊的系统来构造计算方法。h a m i l t o n 力学虽然可以在理论物理和理论力 学的教科书中找到，但大多写得深奥难懂。7 0 年代末，前苏联著名数学家阿诺尔德田l ( v i a m o l d ) 的经典力学的数学方法的英译本出版。该书以现代数学的观点，从辛 几何角度来叙述h a m i l t o n 系统。在辛几何的框架下，h a m i l t o n 系统的理论脉络清晰而流 畅，h a m i l t o n 系统的最主要特点表现为相流是相空间上的辛变换群。冯康院士以他特有 的数学直觉，一下予抓住了设计h a m il t o n 系统数值方法的突破口一辛几何方法。辛几 何是h a m i l t o n 系统的数学基础，也必将是h a m i l t o n 系统的数值方法的基础，只有辛型数 值方法一辛几何算法，才是h a m i l t o n 系统的合适的数值方法。传统的非辛算法都不可 避免地带有人为耗散性等歪曲体系特征的缺陷，而辛算法却有保持体系结构的优点，在 空间结构、对称性和守恒性方面优于传统算法，特别在稳定性和长期跟踪能力上具有独 特的优越性。 近年来，国内外已出现大量的有关h a m i l t o n 理论研究的文献。在我国，冯康院士【2 习 领导的研究小组，对h a m i l t o n 系统的辛几何算法进行了系统研究，提出了基于辛几何的 h a m i l t o n 算法及其完整的理论框架：唐立民教授【2 4 】提出的弹性力学的混合方程也是 h a m i l t o n 正则方程，并指出，即使是对弹性力学静力学问题。也应有它的h a m i l t o n 方程， 这使得h a m i l t o n 系统在弹性力学领域得到了迅速发展：而钟万勰院士【2 5 坍l 贝u 从结构力学 与最优控制理论相模拟入手，将h a m i l t o n 体系引入到弹性力学中，导出一套横向 h a m i l t o n 算子矩阵的本征函数向量展开解法，达到一个新的境界。 将结构力学与h a m i l t o n 体系相联系，是源于钟万勰教授近十多年的研究成果一结 构力学与最优控制相模拟理论。控制理论与力学在早期本来是密切相关的，但后来却依 照各自的理论体系而发展。结构力学沿有限元发展，而控制理论则沿状态空间法、动态 规则、最大值原理等而发展出一套以最优控制为代表的现代控制理论，双方的距离看上 2 第一章绪论 去似乎变远了。但是当我们从移动群之下不变的结构体系来进行探讨，从子结构链理论 开始着手，就可以导出在势能表示下的里卡提方程，正则变换阵以及s i m p l e c t i c ( 即 辛，由希腊字转化而来，意为相互关联) 体系，而l q ( 线性二次型) 控制中的里卡提 方程同样也可以用变分原理来迭代求解。这就引导我们去更深地探求，寻找两者之间的 模拟关系，进而建立能量原理的互通特性，研究结果表明，结构力学与最优控制都是奠 基于变分原理及偏微分方程的理论。在理论体系上，它们本来就是密切联系的。从代数 的角度看，混合能、势能、辛矩阵表示等，都是同一事物的不同反映，而最终都归属于 h a m i i r o n 力学体系之中。 弹性力学h a m i l t o n 体系已经建立，h a m i l t o n 体系给弹性力学这门古老的学科带来 了勃勃生枫，使弹性力学的理论与分析达到新的境界，为饵决工程实际问题又增添了薪 思路、新方法，从此开辟了弹性力学问题理性求解的新天地，显示出了强大的生命力， 取得了丰硕的研究成果。 h a m i l t o n 体系下弹性力学问题的本征向量之间存在共轭辛正交关系，现己从理论上 证明了辛正交系的完备性，从而突破了传统的分离变量法导致自共轭算子谱的限制和 e u c l i d e a n 空间的限制，为h a m i l t o n 体系下的分离变量法奠定了坚实的数学基础，拓展 了s t u r m l i o u v i l l e 问题【5 勰l 。找到了直角坐标下平面弹性问题( 包括平面各向异性问题 和多层层合板问题) 、弹性柱体( 包括各向异性柱体) 三维问题的全部圣维南问题的本 征解，也找到了圣维南原理所覆盖的解的本征值，并给圣维南解在整个解空间中定了位： s a i n t - v e n a n t 半逆法求得的解已是零本征值相应解的全部。 h a m i l t o n 体系引入到极坐标平面弹性问题，将径向及环向分别模拟为时间坐标，建 立了两种不同形式的h a m i l t o n 体系，给出了圆形及环扇形域平面弹性问题的一个解析求 解方法1 3 4 , 蚓，将其应用于弹性曲梁问题，可解决l a g r a n g e 体系半逆法无法求解的混合边 值问题p 6 】；应用于弹性楔问题，求得了弹性楔的佯谬解【5 5 】。在环向h a m i l t o n 体系下， 求得了极坐标弹性力学问题的一个新解i 耱】。将极坐标径向h a m i l t o n 体系应用于断裂力 学奇点解的计算，采用本征函数向量展开的方法再结合变分原理，研究了两种材料组成 的弹性体在交界面上含裂纹时的裂纹尖端奇异场。 h a m i l t o n 体系应用于轴对称问题，建立了本征方程( 变系数的线性常微分方程组) ， 求解了本征解，为展开法求解奠定了基础【3 3 j 。基于平面弹性与薄板弯曲的相似性原理， 将平面弹性问题的h a m i l t o n 体系及其辛几何理论直接引入到薄板弯曲问题，形成了薄板 弯曲的辛求解体系1 3 3 , 3 4 1 。 对平面直角坐标弹性问题，在h a m i l t o n 体系中基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理的 半解析法，得出了广义动量的守恒律【铜，并分析了半解析解所适用的区域。将半解析法 应用于实际，成功求解了复合材料层合板的计算等f 司j i t s n 。将h a m i l t o n 体系引入到圆 - 3 - 河海大学工学硕士论文 弹性力学混合边界问题的辛差分格式 柱坐标系后，给出了一个相应的变分原理，并基于该变分原理发展了圆柱坐标系中的半 解析法，成功求解了复合材料叠层圆柱曲板问题【5 s l 。 目前，基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理发展了有限元法，突破了解析法和半解析法 对区域形状要求较高的限制，在理论上证明了解的收敛性，对有限元法的误差估计进行 了讨论，为有限元法应用于工程实际奠定了基础。 1 3 本文的研究工作 文献【5 l 】将辛差分法引入到弹性力学h a m i l t o n 体系，取得了成功，本文在文献【5 l 】 研究的基础上，由弹性力学平面直角坐标h a m i l t o n 对偶方程，采用积分插值法，分别 建立了平面弹性问题位移边界和混合边界的辛差分格式，编程实现了该方法的算法，取 得了较好的预期效果，从而扩展了辛差分法的应用范围。 ( 1 ) 在平面直角坐标系下，建立了平面弹性问题具有位移边界的辛差分格式，主 要对位移边界进行研究，推导该类问题边界上结点的差分方程，与内网结点的差分方程 组装成整体差分格式； ( 2 ) 在上述基础上，建立了平面弹性问题具有混合边界的辛差分格式，推导该类 问题边界上结点的差分方程，并形成整体差分格式。 ( 3 ) 编写了位移边界和混合边界问题辛差分法相关算例的程序，验证了这两类问 题辛差分格式的正确性。 第二章弹性力学平面问题的基本理论 第二章弹性力学平面问题的基本理论 2 1平面问题的基本理论嘲 2 1 1 弹性力学基本方程 在弹性力学里分析问题，要从三个方面来考虑：静力学方面，几何学方面和物理学 方面，得出弹性力学基本方程。 平衡方程： 取出受力体上一个微小的单元体进行受力分析，根据平面力系平衡条件可碍出平面 问题的平衡方程： 誓+ a 。t _ m 芝+ c ：o 叙却 4 堕a+誓+e：oy 苏 ( 2 1 ) 平衡方程表明应力分量和俸力分量之间的关系式，这两个方程中包含着三个未知函 数吒、巳、勺= 。因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑应变和位移， 才能解决问题。 几何方程： 考虑平面问题几何学方面，很容易导出形变分量和位移分量之间的关系式，即几何 方程： 加 t = _ 饼 卵 o 2 万 却抛 岛。面+ 万 ( 2 2 ) 物理方程： 在完全弹性的各向同性体内，形交分量和应力分量之间的关系式( 即物理方程) 极 其简单，可以根据胡克定律建立如下： 河海大学工学硕士论文弹性力学混合边界问题的辛差分格式 铲拉一v ( o y + d r z ) 】 铲壶k y ( d r z 4 - o x ) 】 铲* 叫q ) 】 l 如2 石7 1 ，“2 石7 。 1 2 石 ( 2 3 ) 公式中e 是拉压弹性模量；g 是剪切弹性模量，又称刚度模量；p 是泊松比。 在平面应力问题中，盯：= 0 ，将其代入( 2 3 ) 得： t = 丢( 吒一) 巳= 丢( q 一峨) l b 2 石7 r y ( 2 4 ) 在平面应变问题中，因为物体的所有各点都不沿z 方向移动，即，w = 0 所以z 方向 的线段都没有伸缩，即t = o ，于是( 2 3 ) 可化为： 2 1 2 平面应力问题 铲警( 叽一专叫s ，2 1 r ( 叽一瓦盯，】 巳= 半( 旷南 r ，= 半 x y - - - - - 否1 g f 。| 砖 ( 2 5 ) 如图2 1 所示，设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度 变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。 第二章弹性力学平面问题的基本理论 图2 - i 平面应力问题示意圈 设薄板的厚度为t 。以薄板的中面为砂面，以垂直于中面的任意一直线为z 轴。因 为在板面上( z = 土f ，2 ) 不受力，所以有 ( 仃：) ；。二20 ，( r 。) ：。上20 ，( f ) ：三。：o ( 2 6 ) z t ：o i：。： 在整个薄板的所有各点都有： 盯：= 0 ，r 。= 0 ，f 。= 0 ( 2 7 ) 这样，只剩下平行于x y 面的三个应力分量，即吒，o y 、f 。= f ，这类问题称为 平面应力问题。 2 1 3 平面应变问题 与上不同，设有很长的柱体( 严格地来说应为无限长柱形体) ，它的支承情况不沿 长度变化，如下图2 - 2 所示，在柱面上受有平行于横截面而不沿长度变化的面力，同时， 体力也平行于横截面而且不沿长度变化。由于任何一个横截面均可以看作对称面，因此 所有各点的位移都平行于叫平面 ， 1r y 图2 2 平面应交问题示意图 河海大学工学硕士论文弹性力学混合边界问题的辛差分格式 即有： “= u ( x ，y ) ，v = v ( x ，y ) ，w = 0s ：= ，肛= ，坦= 0 ( 2 8 ) f 灯= r = 0 ，仃：= ( 盯，+ 盯，) ( 2 9 ) 这类问题称为平面应变问题。 2 1 4 平面问题的边界条件 在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移分量都是已知的，也就是：在边界上 有： “j5 “v j 。” ( 2 1 0 ) 其中“，和匕表示边界上的位移分量，订和可表示在边界是坐标的已知函数。 在应力边界问题中，弹性体在全部边界上的所受的面力都是已知的。把面力转换为 应力方面的条件可得： 7 ( o - 2 ，棚( ) ，2 苎( 2 1 1 ) 肌( q ) ，+ ，( ) ，= c ，j 其中，埘，为边界表面的外法线一的方向余弦。( 以) ，、( 仃，) ，、( f ，) ，、( r ，) ，表 示应力分量的边界值，冠、丘表示面力分量。 在混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件， 如公式( 2 1 0 ) 所示；另一部分边界则具有己知面力，因而具有应力边界条件，如公式( 2 1 1 ) 所示。 。 此外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即，两个边界条件中的一个是 位移边界条件，而另一个则是应力边界条件。例如，设垂直于善轴的某一个边界是连杆 支承边，如图2 3 ，则在y 轴方向有位移边界条件v l = 可= o ，而在x 轴方向有应力边界 条件( o ) j = 0 。 第二章弹性力学平面问题的基本理论 2 1 5 圣维南原理 y 一 、一、 j x i 图2 3 混合边界条件 在求解弹性力学物体时，使位移分量、应变分量、应力分量完全满足基本方程，并 不困难；但是，要使边界条件也得到完全满足，却往往发生很大的困难( 因此，弹性力 学问题在数学上被称为边值问题或边界问题) 。 另一方面，在很多的工程结构计算中，都会遇到这样的情况：在物体的- - 4 部分边 界上，仅仅知道物体所受的面力的合成，而这个面力的分布方式并不明确，因而无从考 虑这部分边界上的应力边界条件。 在这两种情况下，圣维南原理有时可以提供很大的帮助。 圣维南原理：如果把物体的- - + 部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的 面力( 主矢量相同，对于同一点的主矩也相同) ，那么近处的应力分布将有显著的改变， 但是远处所受的影响可以不计。 例如，有一个杆件在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力。如果把两端 的拉力变换为最为简单的均匀分布的拉力，这时边界条件简单，应力很容易求得而且解 答是很简单的。这种方法虽然不能完全满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆 端较远处的应力状态，而并没有显著的误差。 2 2 弹性力学平面问题的求解方法 2 2 1 解析法 在l a g r a n g e 体系中，解析法是在一类变量的范围之内进行求解的，或者是应力函数 法( 力法) ，或者是位移法( 只有扁壳理论用了混合法) ，其求解总是用各种方法对未知 函数予以消元，得到一个高阶偏微分方程再对一个未知函数进行求解。解析法求解是 相当麻烦的，因此，在具体的问题求解时，只能采用逆解法或者半逆解法。 河海大学工学硕士论文弹性力学混合边界问题的辛差分格式 所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数孑，用下面公式 吒= 雾一溉q = 警一矽一等 旺 求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量 对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。 所谓半逆解法，就是针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假 设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数妒，然后来考察这个应力 函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应 力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满 足，自然也就得出正确的答案；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。 2 2 2 有限差分法 所谓差分法，就是把弹性力学方程和边界条件( 一般为微分方程) 近似地改用差分 方程( 代数方程) 来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。其解 题步骤与古典差分法相似，首先将定解区域网格离散化，再将微分方程离散化，然后将 边界条件离散化，最后解差分方程，即将微分方程和初边值条件的离散化方程联立求解。 网格划分如图2 4 所示。 。l 。 1 1 2 8s 1 1 3 o19 7 2bi i o o 图2 4 有限差分格式网格结点图 设f = f ( x ，y ) 为弹性体内的某一个连续函数，它可以是应力函数或是温度，也可以 是某一个应力分量或者位移分量。则对结点0 在工方向上的泰勒( t a y l o r ) 展开式为 m + ( 訇。小刍( 等 。h n 刍( 觏h 卜一 旺， 分别对结点l 和结点3 在结点0 处泰勒展开，可得中点差分格式 第二章弹性力学平面向题的基本理论 c 为o x 。= 等z 厅 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 以结点0 为端点，分别对结点l 和结点9 在结点0 处泰勒展开，得端点差分格式 同理，在y 方向可以建立相应的基本差分方程。 ( 2 1 6 ) 有限差分法包括应力函数差分法和位移差分法。下面简单介绍一下应力函数差分法 和位移差分法的求解思想。 应力函数差分法的求解思想： 把上面对应的差分公式代入用应力函数表示的相容方程，建立每一结点的应力函数 差分方程，联立方程组求解出每一结点的应力函数，然后根据应力函数和应力分量之间 的关系式，求解出每一结点的应力分量。 位移差分法的求解思想： 利用物理方程和几何方程，将弹性力学平面问题的平衡方程中的应力分量表示成位 移分量的导数，然后把上面对应的差分公式代入，建立每一结点的位移差分方程，联立 方程组求解出每一结点的位移分量，然后利用位移分量和应力分量的关系，求解出每一 结点的应力分量。 对于只具有应力边界条件的单连体受有常体力时的平面问题，可以通过应力函数的 差分解比较简单地求锝应力的数值。但是，对于多连体，则求解是比较繁的，因为这时 要用到位移单值条件。当弹性体具有应力边界条件或混合边界条件时，特别是在体力并 非常量的情况下，则更难以利用应力函数的差分解。另一方面，即使已经通过应力函数 的差分解求得应力的数值，要进一步求出位移，也是很繁的。如果利用位移的差分解， 则不论弹性体是单连体还是多连体，也不论它具有何种边界，以及它所受的体力是否为 常量，总可以比较简单地求得位移的数值，从而求得应力的数值。 河海大学工学硕士论文弹性力学混合边界闷题的辛差分格式 2 2 3 有限元法 有限元法的基本思想是将求解区域离散化为有限个、且按一定规则相互连接的单 元，然后组合为系统方程组求解。有限元法的第一步是把结构离散化，就是把平面弹性 体划分成许多单元。常用的单元有三角形、四边形等。离散后的单元和单元之间只通过 结点相联系，所有的应力和位移都通过结点进行计算。然后根据所有单元间的集合关系 去建立求解结点基本未知量的基本方程。最后由求出的结点基本未知量去求得任一单元 任一点的各种未知量。 。 2 2 4 有限条法 有限条法是一种半离散半解析的方法。其解题的特点是，令求解区域的一个方向不 变( 仍为连续体) ，而将其它方向离散。因此，其位移函数将取连续函数与插值函数乘 积的形式。为了使连续函数能适应各种变形曲线，有限条法采用了振动梁函数展开的形 式( 犹如富氏级数展开一样) 。这样做的优点是，经过积分运算，可以将三维问题变成 二维问题，将二维问题变成一维问题，从而大大地减少了内存和机时，因而该方法已被 广泛应用。 2 2 5 边界元法 边界元法是求解边界积分方程的一种数值方法，在经典积分方程的基础上，吸收了 有限元法的离散技术。该方法的基本思想是通过微分方程的基本解将微分方程化为边界 积分方程，用有限元离散化思想把区域的边界离散化，再用配置法或者迦辽金法求出积 分方程的近似解。 2 3 小结 本章从弹性力学问题的基本方程出发，总结论述了传统的弹性力学问题的求解方 法：有限差分法、有限元法、解析法、有限条法和边界元法。本章中重点阐述了有限差 分法，这是一个应用历史悠久、发展极其丰富的同时又是极其简单有效方法。在l a g r a n g e 体系下，传统的有限差分法受到步长的限制，而且在长时间的、大数量的计算量时这种 有限差分法就会产生较大的积累误差。这己表明了传统的在l a g r a n g e 体系下的有限差分 法已经很难适应现代科学技术发展的需求了同时，其他的四种方法也各有优点，但是 却都是局限在一个特定的范围内使用。因而，在弹性力学问题数值计算方法的研究中探 索一种新的有效、适用的数值计算方法就是一个十分有价值的任务了。 第三章平面弹性问题的辛体系 第三章平面弹性问题的h a m ii t o n 体系 3 1h a m i l t o n 体系的数学基础辛几何渺3 2 一切守恒的真实物理过程都能表示成适当的h a m i l t o n 体系，它们的共同的数学基础 是辛几何和辛空间。辛空问与研究长度等度量性质的欧几里德空间不同，它是研究面积 的，或者说是研究做功的。分析力学的发展为辛结构提供了基本概念。自十九世纪w i 乙 h a m i l t o n 将n e w t o n 力学描述成辛几何的形式以后，n e w t o n 力学就成为相空间的几何学， 随后，j a e o b i ，d a r b o u x ，p o i n c a r e ，c a r t a n ，w e y l 等从不同角度( 代数与几何的) 对辛 几何进行了研究。现代辛几何的兴起，从2 0 世纪五十年代中到六十年代初k a m ( k o l m o g o r o v - a r n o l d m o s e r ) 定理的建立而开始的。在七十年代，由于研究几何量子化，李 代数对偶空间上的h a m i l t o n 系统的需要，a r n o l d ，d u i s t e r m a t t ，w e i r , s t e i n 等人对辛几何 作了大量的研究工作，从此推动了这些研究领域的发展。进入八十年代后，整体辛几何 的研究相继出现。当代苏联著名数学家v i a r n o l d 在评论辛几何时说，“它是力学、变 分法等长期发展的结果。在上个世纪，几何学的这一分支被称为分析动力学”。 定义1 设是定义在实数域r 上的一个2 疗维相空间，对形中的任意两个向量d 。 1 3 依一定的法则对应着一个实数，这个数称为辛内积， 则辛内积 运算满足下列4 个条件： ( 1 ) 缸， ；一， ( 2 ) o a ，p = 10 ， k 为任意实数 ( 3 ) 和+ ， = ( g ，) + ( y ，) ( 4 ) v 夕w ， = 0j 口= o 其中， ，为中的任意向量。 ( 3 1 a ) ( 3 1 b ) ( 3 1 c ) ( 3 1 d ) 定理1 若w 是一个辛空间，则任何一组辛基所对应的度量矩阵具有形式： 吒= ! 。： 2 ， 河海大学工学硕士论文弹性力学混合边界问题的辛差分格式 其中，j 为n 阶单位方阵。显然，矗是反对称矩阵，称为辛度量矩阵或单位辛矩阵。 不难验证，辛度量矩阵，由下列性质 ( 1 ) j t = 一，= ，1 ( 2 )j 2 = 一j ( 3 ) 出口三l 定义2 若2 n x 2 n 矩阵s 满足： 则称s 为辛矩阵。 易知辛矩阵有如下性质： s j s = j ( 1 ) 辛矩阵的逆矩阵还是辛矩阵； ( 2 ) 辛矩阵的转置矩阵还是辛矩阵； ( 3 ) 辛矩阵的行列式值等于l 或一l ； ( 4 ) 辛矩阵的乘积还是辛矩阵。 定义3 设矿是2 n 维辛空间，如果线性算子膏对任意向量l i t ，p 满足 劫) = 饵觑) 则称线性变换詹为辛空间矿的哈密顿算子。 定义4 如果2 n x 2 n 矩阵日对任意2 珂维向量墨j 满足 ( x ，h y ) = ( j ，h x ) 则称矩阵日为哈密顿矩阵。 3 2 勒让德变换m 1 勒让德变换是实现从拉格朗日体系向h a m i l t o n 体系转变的关键。 先考虑两个变量的勒让德变换，设f = f ( x ，y ) ，则 - ( 3 3 a ) ( 3 3 b ) ( 3 3 c ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 第三章平面弹性衄匿的辛体系 公式中： d f = u d x + v d y “：篓 取 v = 雾 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 这里是用j ，j ，作为独立变量的。实际上，根据问题的需要，x , y , u ，v 中任何两个都可 作为独立变量看待。如果我们把y ，“当作独立变量，则由公式( 3 8 ) ，可以解出： x = x ( 力，= ( 甜，力 ( 3 9 ) i i i i 函数亦可该用弘“表出，即： 7 ( “，力= ，卜( 圳) ，y 于是： 望：笪鱼+ 笪：。鱼+ ， 咖苏砂砂砂 望o u = 望c g x 鱼o u = “鱼, g u = 旦c ? u 似) 一x 、， 公式( 3 1 1 ) 可以改写成： 一昙( 埘一7 ) 一考 工= 丢( 埘一7 ) = 瓦o g ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 公式( 3 1 2 ) 中g = 职一7 = 罢工一f 。由此可以看出，当独立变量由五) ，变成“，y 时， 如果仍然用函数7 ，则五v 不能像公式( 3 8 ) 那样直接用7 对甜及) ，的偏微商表出，而 应换成函数g ，新的函数g 等于不要的变量x 乘以原来的函数对该变量的偏微商2 詈 再减去原来的函数。这时x ，v 才可以用g 对“及y 的偏微商表出，这就是勒让德变换 的基本法则。 上面的讨论仅是对自变量工实施了勒让德变换。当然，我们也可以对两个自变量x , y 河海大学工学硕士论文弹性力学混合边界问题的辛差分格式 同时实施勒让德变换，即选择“，v 作为独立变量。类似地，可以导出如下的关系： 重：了+ 。鱼+ ，堂一笪鱼一翌翌：工 劫抛却缸锄却加 重：y + 。鱼+ ，垒一笪鱼一笪鱼：， a i ，。 加加舐a ，却加7 ( 3 1 3 ) 即：工，j ，可以用季对u 及v 的偏微商表出。上面以两个变量为例介绍了勒让德变换， 它完全可以从两个变量直接推广到多个变量。 3 3h a m i l t o n 原理和h a m i l t o n 正则方程 3 3 - 3 4 】 力学的辛形式体系也被称为“h a m i l t o n 形式体系”或“h a m i l t o n 力学”。辛几何是 相空间的几何学，另一方面说明辛几何就是h a m i l t o n 体系的数学框架，它从实质上改进 了h a m i l t o n 力学的研究。 3 3 1h a m i c o n 原理 十九世纪的英国天文学家w i l l i a mr o w l a nh a m i l t o n 为了研究牛顿力学，引进了广义 坐标和广义动量来表示系统的能量，现在通称为h a m i l t o n 函数。对于自由度为n 的系 统，n 个广义坐标和n 个广义动量，张成2 n 维的相空间。于是，牛顿力学就成为相空间 中的几何学。用现在的观点看，这就是一种辛几何( s y m p l e c t i cg e o m e t r y ) 。随后被推 广到力学中去，成为在数学上与牛顿( n e w t o n ) 力学和拉格朗日力学等价的又一种力学 的描述形式h a m i l t o n 力学。 牛顿力学方程的标准形式为： d q 0 u m 百2 一i 一 ( 3 1 4 ) 西2a 口 其中，位移向量g = ( g ，q 2 ，劬) 1 ，“( q ) 为势能函数。 根据经典力学的变分原理，用有限自由度n 维的广义位移q ，( 卢l ，2 ，n ) 或表 达为向量口，用；。表示对时间的微商，取作用量三( 1 9 世纪l a g r a n g ej l 所引用) ，即动 力系统的拉格朗日函数上为： l ( q l ，q 2 ，q n ；q ，q 2 ，q 。；f ) 或 坫 第三章平面弹性问题的辛体系 = l ( q ，g ，) = 动能一势能= t u( 3 1 5 ) 则系统的运动轨迹g ( d 等价地满足如下的欧拉一拉格朗日方程： 等一暑c 旁钏 这就是被称为经典力学的变分形式，即拉格朗日力学方程。 而力学中的所谓h a m i l t o n 原理，系谓一力学系统在外力q k 的作用下，其自然运动 所必需符合的条件，乃是使下列积分等于零，即 c ( 肌莓q k s q k 肛。( 3 1 7 ) 此处变分6 ，系指从自然运动路径，至与其具有相同的始、终点位形及相同过渡时 间的相邻路径问的变化。实际上，h a m i l t o n 原理可从达朗伯原理导出；同样地，从 h a m i l t o n 原理出发，也可以导出达朗伯原理或l a g r a n g e 方程式。当外力么由势能y 求 得： 则式( 3 1 7 ) 写成： q 。：一婴 d g t ( 3 1 8 ) 万e ( r y ) d r = 万i 。d r = d ( 3 1 9 ) 其中l 为拉格朗日函数。积分h a m i l t o n 原理描述了( 除约束力外的) 所有力都是 由某个广义标势推得得那些力学系统得运动，这种势可以是坐标、速度和时间的函数。 通常用有限自由度n 维的广义位移毋或表达为向量窖来描述h a m i l t o n 原理。再取 最小作用量s ，令 s = f ：l ( q ，；，f ) d r ( 3 2 0 ) 由西= 0 即可得到式( 3 1 9 ) 。 这样，h a m i l t o n 原理又可表述为：一个保守系统自初始点( 和，t o ) 运动到终结点 河海大学工学硕士论文弹性力学混合边界问题的辛差分格式 ( g ，) ，其真实的运动轨道应使作用量s 成为驻值最小值。 在系统的约束是完全约束时，h a m i l t o n 原理式( 3 1 9 ) 就是拉格朗同方程式( 3 1 6 ) 的必要而又充分条件。 事实上，展开变分式( 3 1 9 ) ，并作分部积分有 叫： 生d t 7 。 z t ， 由于国可以任意变分，因此就导出了拉格朗日方程： 生d t 剖= 等ia ；j a g ( 3 2 2 ) 可见，h a m i l t o n 原理式( 3 1 9 ) 对应于拉格朗日方程式( 3 2 2 ) ，它是二阶常微分方 程组，且以上的表述只有位移这一类变量，所以它是单类变量的变分原理。故式( 3 1 4 ) 、 ( 3 1 6 ) 、( 3 1 9 ) 是等价的。 3 3 2h a mii t o n 正则方程 在经典分析力学中早已发展了h a m i l t o n 正则方程体系。从拉格朗日方程式( 3 2 2 ) 出发，先将拉格朗日函数l ( q l ，9 2 ，铀；gj ，9 2 ，g 。；f ) 中的变量q l ，9 2 ，飘；g ， q j ，g 。；t 用变换式 其中，- 1 , 2 ，n 。 ：旦 (323)p，2 j ag ， 变换成g i ，9 2 ，瓠；p ，p 2 ，西；，且以下式定义一函数日( 口i ，啦，釉； p ，p 2 ，西；，) ，得 h ( q ，吼，吼，岛，办，见，f ) + 国j ，劬，q 。，g ，9 2 ，q 。，f ) = 髟g ， ( 3 2 4 ) 第三章平面弹性问题的辛体系 根据勒让德变换式，可知 8h8 l8 h 乳2 而瓦一瓦 另一方面，由式( 3 2 3 ) 知 箸q = 生d t 箐) - a 【a 二j 便由拉格朗日方程式( 3 2 2 ) 得到h a m i l t o n 正则方程 其中采用了二类变量：广义位移叮与广义动量，。 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 由上可见，l a g r a n g e 力学用位形空间描述力学系统的运动，力学系统的位形空间具 有微分流形结构，其同胚群作用在此结构上