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习 题 411求解下列微分方程1） 解 利用微分法得 当 时，得从而可得原方程的以P为参数的参数形式通解或消参数P，得通解 当 时，则消去P，得特解 2）； 解 利用微分法得 当时，得 从而可得原方程以p为参数的参数形式通解： 或消p得通解 当时，消去p得特解 3） 解 利用微分法，得 两边积分得由此得原方程以P为参数形式的通解： ，或消去P得通解1 用参数法求解下列微分方程1）解 将方程化为 令 由此可推出 从而得因此方程的通解为 ，消去参数t，得通解对于方程除了上述通解，还有，显然和是方程的两个解。2）解：令，又令 则积分得，由此得微分方程的通解为，3）解：令 则解得 又由此得微分方程的通解为， 。习题421得用P判别式求下列方程的奇解：2）解：方程的P判别式为消去p，得经验证可知是方程的解。令则有，和因此，由定理4.2可知， 是方程的奇解。2）解：方程的P判别式为，消去P，得 ，而不是方程的解，故不是方程的奇解。3）解：方程的P判别式为 ，消去P，得，显然是方程的解，令则有 和因此，由定理4.2知，是方程的奇解。2举例说明，在定理4.2的条件中的两个不等式是缺一不可的，解：考虑方程方程（1）的P判别式为 消去P，得 令，于是有 因此虽然有 和但是又虽然是方程的解，且容易求出方程（1）的通解为因此容易验证却不是奇解。因此由此例可看出。定理4.2中的条件是不可缺少的。又考虑方程 方程（2）的P判别式为 消去P，得。令于是有， 因此，虽然有和但，而经检验知是方程（2）的解，但不是奇解。因此由此例可看出定理4.2中的条件是不可缺少的。3研究下面的例子，说明定理4.2的条件是不可缺少的解：方程的P判别式为 消去P，得 检验知 不是解，故不是奇解，而虽然是解，但不是奇解。令， ， 所以虽有但是因此此例说明定理4.2的条件是不可缺少的。习题431试求克莱罗方程的通解及其包络解：克莱罗方程 （1）其中。对方程（1）求导值由 即时 代入（1）得（1）的通解 （2）它的C判别式为 由此得 ， 令 故 所以 又 （由于）因此满足定理4.5相应的非蜕化性条件。故是积分曲线族（2）的一支包络。课外补充1求下列给定曲线族的包络。1）解：由相应的C判别式消去C得C判别曲线 它的两支曲线的参数表示式为： ，： ，对，我们有因此满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故，是曲线族的两支包络线。2解：由相应的C判别式消去C得C判别曲线 它的两支曲线的参数表示式为 ， ，对，我们有 因此满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故，是曲线族的两支包络线。3. 证：就克莱罗方程来说，P判别曲线和方程通解的C判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解。证：已知克莱罗方程的形式为 （1）（1）的通解为 （2）（2）的包络由 确定，即为 （3）又知方程（1）还有解 由
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