高三数学一轮复习 8.5曲线与方程课件 .ppt

第五节曲线与方程 知识梳理 1 曲线与方程的定义一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立如下的对应关系 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 这个方程 曲线上 2 求动点的轨迹方程的基本步骤 任意 x y 所求方程 考点自测 1 思考 给出下列命题 f x0 y0 0是点p x0 y0 在曲线f x y 0上的充要条件 方程x2 xy x的曲线是一个点和一条直线 到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2 y2 方程y 与x y2表示同一曲线 其中错误的是 a b c d 解析 选b 正确 由f x0 y0 0可知点p x0 y0 在曲线f x y 0上 又p x0 y0 在曲线f x y 0上时 有f x0 y0 0 所以f x0 y0 0是p x0 y0 在曲线f x y 0上的充要条件 错误 方程变为x x y 1 0 所以x 0或x y 1 0 故方程表示直线x 0或直线x y 1 0 错误 当以两条互相垂直的直线为x轴 y轴时 是x2 y2 否则不正确 错误 因为方程y 表示的曲线只是方程x y2表示曲线的一部分 故其不正确 2 若动点p到定点f 1 1 的距离与到直线l x 1 0的距离相等 则动点p的轨迹是 a 椭圆b 双曲线c 抛物线d 直线 解析 选d 因为定点f 1 1 在直线l x 1 0上 所以轨迹为过f 1 1 与直线l垂直的一条直线 故选d 3 实数变量m n满足m2 n2 1 则坐标 m n mn 表示的点的轨迹是 a 抛物线b 椭圆c 双曲线的一支d 抛物线的一部分 解析 选d 设x m n y mn 则x2 m n 2 m2 n2 2mn 1 2y 且由于m n的取值都有限制 因此变量x的取值也有限制 所以点 m n mn 的轨迹为抛物线的一部分 故选d 4 方程x2 xy 0表示的曲线是 解析 因为x2 xy 0 所以x x y 0 所以x 0或x y 0 所以方程x2 xy 0表示两条直线 答案 两条直线 5 若方程ax2 by 4的曲线经过点a 0 2 和则a b 解析 因为曲线经过点a 0 2 和所以解得 a 16 8 b 2 答案 16 82 考点1定义法求点的轨迹方程 典例1 1 2014 北京模拟 abc的顶点a 5 0 b 5 0 abc的内切圆圆心在直线x 3上 则顶点c的轨迹方程是 2 已知圆c与两圆x2 y 4 2 1 x2 y 2 2 1外切 圆c的圆心轨迹方程为l 设l上的点与点m x y 的距离的最小值为m 点f 0 1 与点m x y 的距离为n 求圆c的圆心轨迹l的方程 求满足条件m n的点m的轨迹q的方程 解题视点 1 根据题设条件 寻找动点c与两定点a b距离的差满足的等量关系 ca cb 6 由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分 再求其方程 2 将圆c与另外两圆都相外切 转化为圆心距与两圆半径和之间的关系 m n说明到定点的距离与到定直线的距离相等 规范解答 1 如图 ad ae 8 bf be 2 cd cf 所以 ca cb 8 2 6 根据双曲线的定义 所求轨迹是以a b为焦点 实轴长为6的双曲线的右支 方程为答案 2 两圆半径都为1 两圆圆心分别为c1 0 4 c2 0 2 由题意得 cc1 cc2 可知圆心c的轨迹是线段c1c2的垂直平分线 c1c2的中点为 0 1 直线c1c2的斜率不存在 故圆心c的轨迹是线段c1c2的垂直平分线 其方程为y 1 即圆c的圆心轨迹l的方程为y 1 因为m n 所以m x y 到直线y 1的距离与到点f 0 1 的距离相等 故点m的轨迹q是以y 1为准线 点f 0 1 为焦点 顶点在原点的抛物线 而 1 即p 2 所以 轨迹q的方程是x2 4y 易错警示 准确把握双曲线的定义在本例 1 中易出现的错误结果 其原因是对双曲线的定义理解错误或没有注意到顶点c始终在x 3的右侧 规律方法 定义法求轨迹方程的适用条件及关键 1 适用条件 动点与定点 定直线之间的某些关系满足直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 2 关键 定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义 提醒 弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键 变式训练 2013 北京模拟 一圆形纸片的圆心为点o 点q是圆内异于点o的一定点 点a是圆周上一点 把纸片折叠 使点a与q重合 然后展平纸片 折痕与oa交于p点 当点a运动时点p的轨迹是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 解析 选b 由条件知 pa pq 则 po pq po pa r r oq 所以点p的轨迹是椭圆 加固训练 1 2013 榆林模拟 若点p到直线x 1的距离比它到点 2 0 的距离小1 则点p的轨迹为 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线 解析 选d 依题意 点p到直线x 2的距离等于它到点 2 0 的距离 故点p的轨迹是抛物线 2 已知定点f1 2 0 f2 2 0 n是圆o x2 y2 1上任意一点 点f1关于点n的对称点为m 线段f1m的中垂线与直线f2m相交于点p 则点p的轨迹是 a 椭圆b 双曲线c 抛物线d 圆 解析 选b 设n a b m x y 则代入圆o的方程得点m的轨迹方程是 x 2 2 y2 22 此时 pf1 pf2 pm pf2 mf2 2 2 f1f2 故所求的轨迹是双曲线 3 动点p x y 满足 3x 4y 11 则点p的轨迹是 a 椭圆b 双曲线c 抛物线d 直线 解析 选d 设定点f 1 2 定直线l 3x 4y 11 0 则 pf 点p到直线l的距离由已知得但注意到点f 1 2 恰在直线l上 所以点p的轨迹是过点f 1 2 且与直线l垂直的直线 其方程为y 2 x 1 即4x 3y 2 0 4 2013 九江模拟 在 abc中 a为动点 b c为定点 a 0 且满足条件sinc sinb sina 则动点a的轨迹方程是 解析 由正弦定理 得 r为外接圆半径 所以 ab ac bc 且为双曲线右支 答案 x 0且y 0 5 点p是圆c x 2 2 y2 4上的动点 定点f 2 0 线段pf的垂直平分线与直线cp的交点为q 则点q的轨迹方程是 解析 依题意有 qp qf 则 qf qc cp 2 又 cf 4 2 故点q的轨迹是以c f为焦点的双曲线的一支 a 1 c 2 得b2 3 故所求轨迹方程为x2 1 x 0 答案 x2 1 x 0 考点2直接法求点的轨迹方程 考情 直接法求轨迹方程是求轨迹方程的一个重要方法 也是高考命题的一个热点内容 该部分大多数是以解答题的形式出现 考查求轨迹方程的方法 曲线与方程的定义 基本运算能力等 高频考点通关 典例2 1 2014 杭州模拟 已知m 2 0 n 2 0 则以mn为斜边的直角三角形的直角顶点p的轨迹方程为 a x2 y2 2b x2 y2 4c x2 y2 2 x 2 d x2 y2 4 x 2 2 2013 四川高考 已知椭圆c a b 0 的两个焦点分别为f1 1 0 f2 1 0 且椭圆c经过点 求椭圆c的离心率 设过点a 0 2 的直线l与椭圆c交于m n两点 点q是线段mn上的点 且求点q的轨迹方程 解题视点 1 利用勾股定理得等量关系 坐标化得方程 根据三角形限定条件 2 依据焦点坐标 可求出c的值 由椭圆的定义可求出2a的值 可设点q的坐标为 x y 依据题设中的等式求解 规范解答 1 选d 设p x y 则 pm 2 pn 2 mn 2 所以x2 y2 4 x 2 2 由椭圆定义知 2a pf1 pf2 所以又由已知 c 1 所以椭圆c的离心率 由 知 椭圆c的方程为设点q的坐标为 x y i 当直线l与x轴垂直时 直线l与椭圆c交于 0 1 0 1 两点 此时点q的坐标为 ii 当直线l与x轴不垂直时 设直线l的方程为y kx 2 因为m n在直线l上 可设点m n的坐标分别为 x1 kx1 2 x2 kx2 2 则 am 2 1 k2 x12 an 2 1 k2 x22 又 aq 2 x2 y 2 2 1 k2 x2 由 8k 2 4 2k2 1 6 0 得k2 由 可知 代入 中并化简 得因为点q在直线y kx 2上 所以代入 中并化简 得10 y 2 2 3x2 18 由 及k2 可知0 x2 故由题意 q x y 在椭圆c内 所以 1 y 1 又由10 y 2 2 18 3x2有 y 2 2 且 1 y 1 则y 所以 点q的轨迹方程为10 y 2 2 3x2 18 通关锦囊 特别提醒 在解决直线与圆锥曲线有关的问题时 要注意变量的取值范围 否则易出现增根 关注题型 通关题组 1 2014 绍兴模拟 y轴上两定点b1 0 b b2 0 b x轴上两动点m n p为b1m与b2n的交点 点m n的横坐标分别为xm xn 且始终满足xmxn a2 a b 0且为常数 试求动点p的轨迹方程 解析 设p x y m xm 0 n xn 0 2 2013 陕西高考 已知动点m x y 到直线l x 4的距离是它到点n 1 0 的距离的2倍 1 求动点m的轨迹c的方程 2 过点p 0 3 的直线m与轨迹c交于a b两点 若a是pb的中点 求直线m的斜率 解析 1 点m x y 到直线x 4的距离是它到点n 1 0 的距离的2倍 则所以 动点m的轨迹为椭圆 方程为 2 p 0 3 设a x1 y1 b x2 y2 由题意知 2x1 0 x2 2y1 3 y2 椭圆的上下顶点坐标分别是 0 和 0 经检验直线m不经过这两点 即直线m斜率k存在 设直线m的方程为 y kx 3 联立椭圆和直线方程 整理得 3 4k2 x2 24kx 24 0 所以直线m的斜率k 加固训练 1 2014 武威模拟 有一动圆p恒过定点f a 0 a 0 且与y轴相交于点a b 若 abp为正三角形 则点p的轨迹为 a 椭圆b 双曲线c 抛物线d 圆 解析 选b 设p x y 动圆p的半径为r 由于 abp为正三角形 所以p到y轴的距离而r pf 所以化简得即点p的轨迹为双曲线 2 2013 柳州模拟 如果三个数 a 0且a 1 成等差数列 那么点p x y 在平面直角坐标系内的轨迹是 a 一段圆弧b 椭圆的一部分c 双曲线的一部分d 抛物线的一部分 解析 选c 由题意可得两边平方后整理可得又y x 0 2 2x 0 2x 0 可知选c 考点3相关点 代入 法 参数法求轨迹方程 典例3 1 2014 廊坊模拟 已知点a 2 0 b 3 0 动点p x y 满足 x2 6 则动点p的轨迹是 高频考点通关 2 2013 福建高考 如图 在正方形oabc中 o为坐标原点 点a的坐标为 10 0 点c的坐标为 0 10 分别将线段oa和ab十等分 分点分别记为a1 a2 a9和b1 b2 b9 连接obi 过ai作x轴的垂线与obi交于点pi i n 1 i 9 求证 点pi i n 1 i 9 都在同一条抛物线上 并求抛物线e的方程 过点c作直线l与抛物线e交于不同的两点m n 若 ocm与 ocn的面积之比为4 1 求直线l的方程 解题视点 1 可由 x2 6及p a b三点的坐标直接写出方程 进而得出轨迹 2 注意pi是直线obi与过ai i n 1 i 9 且与x轴垂直的直线的交点 适当选择一个参数即可 将面积相等转化为点的坐标之间的关系即可求解 规范解答 1 因为动点p x y 满足 x2 6 所以 2 x y 3 x y x2 6 化简 得y2 x 所以轨迹为抛物线 答案 抛物线 2 方法一 依题意 过ai i n 1 i 9 且与x轴垂直的直线方程为x i bi的坐标为 10 i 所以直线obi的方程为y x 设pi的坐标为 x y 由得y x2 即x2 10y 所以点pi i n 1 i 9 都在同一条抛物线上 且抛物线e的方程为x2 10y 方法二 点pi i n 1 i 9 都在抛物线e x2 10y上 证明如下 过ai i n 1 i 9 且与x轴垂直的直线方程为x i bi的坐标为 10 i 所以直线obi的方程为y x 由解得pi的坐标为因为点pi的坐标都满足方程x2 10y 所以点pi i n 1 i 9 都在同一条抛物线上 且抛物线e的方程为x2 10y 依题意 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y kx 10 由得x2 10kx 100 0 此时 100k2 400 0 直线l与抛物线e恒有两个不同的交点m n 设m x1 y1 n x2 y2 则因为s ocm 4s ocn 所以 x1 4 x2 又因为x1 x2 0 所以x1 4x2 分别代入 和 得解得k 所以直线l的方程为y x 10 即3x 2y 20 0或3x 2y 20 0 易错警示 本例 1 易出现y2 x的结论 其原因是没有注意点的轨迹与轨迹方程是不同的 规律方法 1 相关点 代入 法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式 但形成轨迹的动点与另外一动点有联系 而这一动点在某一已知曲线上 2 参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式 也没有明显的相关点 但却较易发现 或经过分析可发现 这个动点的运动与某一个量或某两个变量 角 斜率 比值 截距等 有关 变式训练 2014 烟台模拟 已知点p是直线2x y 3 0上的一个动点 定点m 1 2 q是线段pm延长线上的一点 且 pm mq 则点q的轨迹方程是 a 2x y 1 0b 2x y 5 0c 2x y 1 0d 2x y 5 0 解析 选d 由题意知 m为pq的中点 设q x y 则p为 2 x 4 y 代入2x y 3 0 得2x y 5 0 加固训练 1 与x y轴交点的连线的中点的轨迹方程是 解析 设直线与x y轴交点为a a 0 b 0 2 a ab中点为m x y 则消去a 得x y 1 因为a 0 a 2 所以x 0 x 1 答案 x y 1 x 0 x 1 2 2013 湛江模拟 设m n为抛物线c y x2上的两个动点 过m n分别作抛物线c的切线l1 l2 与x轴分别交于a b两点 且l1与l2相交于点p 若 ab 1 1 求点p的轨迹方程 2 求证 mnp的面积为一个定值 并求出这个定值 解析 1 设m m m2 n n n2 则依题意知 切线l1 l2的方程分别为y 2mx m2 y 2nx n2 则设p x y 因为 ab 1 所以 n m 2 即 m n 2 4mn 4 将 代入上式 得y x2 1 所以点p的轨迹方程为y x2 1 2 设直线mn的方程为y kx b 联立方程消去y 得x2 kx b 0 因为m m m2 n n n2 所以m n k mn b 点p到直线mn的距离 mn m n 所以s mnp mn m n m n 2 m n 2 即 mnp的面积为定值2 规范解答12 与圆有关的轨迹问题 典例 14分 2013 新课标全国卷 已知圆m x 1 2 y2 1 圆n x 1 2 y2 9 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 圆心p的轨迹为曲