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数学史与数学教育 第三章初等几何本章将以几何中 形 的发展过程作为脉络 出简单到复杂 由单维到多维 由直观到抽象 由直觉到论证 对初等几何进行全面的分析 初等几何 3 1几何的历史 3 2几何度量 3 3几何测量 3 1几何的历史 一 几何的起源 无意识几何阶段 跟人类历史一样古老的 形的意识 在远古时期就被清晰地表现出来了 形 的意识来自于 物 这里的 物 一是指自然界的物体 二是指人类的实践活动 几何中的 结构 意识 在人类活动的初期 其表现的特征是简单的模仿和比照 总之 形 的意识 度量 意识和 结构 意识来自于人们对自然界的感受和体验 来自于适应大自然 改造大自然的实践活动 这是人类在几何领域中最原始 最基本的抽象活动 是对几何的粗浅而简单 直接而形象的认识 我们把这一阶段的几何称作无意识几何 阶段 3 1几何的历史 儿童在形成几何概念 了解几何性质以及认识几何结构上 是否也要经历无意识几何阶段呢 从过程来看 每个儿童都必定要经历这种无意识几何阶段 从内容范围来看 与人类历史相比 现在的儿童在这一阶段 可以接触到前所未有的十富多彩的现实索材 3 1几何的历史 二 几何的发展 经验几何的产生 当人们经历了 无意识几何 的漫长酝酿之后 慢慢步入了经验几何阶段 所谓 经验几何 就是人们通过对大量的具体几何素材进行反复地感受和体验 归纳 概括出较为一般的几何关系 在实践中对之加以验证和检验 并从中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的历史阶段 对经验几何的特点加以分析后 可以发现其中包含 特例研究发现法 即对具体事例进行分析 研究和实验 采用归纳 类比 联想等思维方法 发现几何关系的本质特征 揭示事物的内在规律 寻找解决问题的办法 从而达到解决问题的目的 3 1几何的历史 在经验几何阶段 思维发展水平限制了对一些难度较大的问题的进一步探索 从而被迫转而采用实验的方法对问题进行粗略的 近似的处理 对于现今的中学几何教学而言 经验几何的思想方法提供了许多深层次的启示意义 经验几何 能够提供给学生广阔的数学活动空间 使数学教学成真正意义上的 数学活动的教学 以 经验几何 的活动方式对几何问题进行探索 能够提升学生学习的主动性 经验几何 中所含的主要思想方法便为 不完全归纳法 而这一方法在发展学生的 策略创造 思维方面具有独特的效能 所以 在几何学习过程中 我们主张先从 宏观 生动活泼的 策略创造 出发 再以 微观 一丝小苟的 逻辑演绎 予以补正 3 1几何的历史 三 论证几何1 论证几何产生的哲学基础 论证几何的基本要素有两个 一是几何的基本原理 公理是否可靠 二是逻辑推理的过程是否严密 而古希腊的哲学为其提供了坚实的理论基础和思想支柱 古希腊爱奥尼亚学派的创始人泰勒斯 thales 约公元前624 前647 被公认为是希腊的第一个几何学家 他不仅是希腊哲学的鼻祖 也是论证几何的先行者 而后柏拉图把自已的哲学与数学溶为一体 认为不知道数学的人 不可能接受哲学知识 柏拉图的学生亚里士多德 aristotle 希腊 约公元前384 前322 作为演绎逻辑的创造者 对论证几何的贡献是无与伦比的 被称作是第一个把这些规律典范化和系统化的人 3 1几何的历史 2 几何原本 欧几里德的 几何原本 elements 堪称论证几何的典范 在世界各地流传甚广 曾被译成多种文字 几何原本 共含十三篇 内容涉及初等几何 初等数论和几何代数 elements 其实纯粹是众多学者智慧的结晶 但欧几里德依然是个大数学家 他毕竟对前人的成果加以整理 归纳 完善和发展 欧几里德 euclid 希腊 约公元前330 前275 曾经在柏拉图的学园中学习过一段时间 深受柏拉图 亚里士多德等人的影响 后主持过亚历山大数学学派 成为这一学派的奠基人 可以说 欧几里德的几何就是论证几何 论证几何阶段的代表人物当属欧几里德本人 而 几何原本 则是论证几何的最重要的思想体现 3 1几何的历史 3 论证几何在中国 在中国古代几何领域中也曾存有论证几何的影子 就在与希腊欧几里德相同的年代 中国式的论证几何著作 墨经 诞生了 它是我国战国时期的墨家思想的代表作 其中论及数学 逻辑学等方面的内容 特别在 墨经 的 经上 经上说 等篇章中 给出了许多几何定义和命题 3 1几何的历史 4 对论证几何的思考 论证几何在一千多年的时间里始终占据了几何领域内的主导地位 直至19世纪非欧几何的诞生 而欧几里德也一直是几何的代名词 其深刻的历史原因有 3 1几何的历史 崇尚理性是当时 古希腊时期 人们的普遍愿望 追求 形而上 的 经院式 哲学理念 在古希腊上流社会中表现得尤为突出 由于经验几何使用方法的不确定性和随意性 所得结论与实际情况出入较大 以及对无理量的疑惑 人们开始意识到 直观是不可靠的 在许多人看来 几何原本 是最好的思想材料 论证几何中演绎推理的思想方法可以训练人的思维 使其既理性又严密 既和谐完整又无懈可击 论证几何的创导者和支持者们认为论证几何是数学与逻辑的完美结合 他们把似乎走到尽头的经验几何重新引向了光明的大道上 同时也为逻辑思辩找到了新的用武之地 从而使数学变成了最具 智慧 的科学 3 1几何的历史 问题3 1 1 几何发展一般经历有哪几个阶段 各具有什么特点 2 试分析 论证几何 在古希腊产生的历史原因 3 试分析 无意识几何 对培养儿童 形 的意识的重要作用 4 古希腊 论证几何 对数学发展具有怎样历史意义 5 为什么说 经验几何 是几何发展进程中不可或缺的历史阶段 3 2几何度量 一 长度的度量 人们在实践中形成 直线 的概念后 进一步就要考虑 如何确定这些线段的 大小 呢 毕达哥拉斯学派是通过两个线段中所含 数目 的比来确定线段的 大小 但由于不可公度量的存在 使得这一工作难以继续 而后 天才的欧道克斯引入了 变量 简称量 而 巧妙地 饶开了无理数 使得 量 只有几何上的意义 而与 数 无关 这样由两个 量 的比来确定线段的 大小 导致作为基准的 固定的量的产生 即 单位长 的出现 中国古代对 单位长 的使用显得非常得心应手 孙子算经 公元400年 中曾对长度的度量作出了形象的描述 度之所起 起子忽 欲知其忽 蚕吐丝为忽 3 2几何度量 二 面积的度量由于东 西方数学家对几何认识角度不同 几何的理论基础存在较大差异 因此对面积的处理方式 采用的方法也各有特色 1 多边形面积 在 形 的意识不断完整化过程中 处理 形 的 大小 问题日显重要 正方形 矩形的面积度量难度并不大 人们甚至是直接拿这些 完整 的几何图形作为面积度量的 基准 相当于长度中的 单位 毕达哥拉斯就直接用因数的积给出正方形和矩形的面积定义 我国 九章算术 第一章 方田 正方形和矩形的田的统称 中第一题 今有田广 即 宽 十五步 从 同 纵 十六步 问为田几何 答曰 一亩 方田术曰 广从步数相乘得积步 乘积的平方步数 可见对于正方形和矩形的面积问题 古人早有研究 3 2几何度量 由此 直角三角形 的面积也就不难解决了 但困难的是如何求 斜三角形 的面积 以及不规则的多边形面积 1 欧几里德的 转化 思想在面积理论中的应用 两个三角形的面积转换 等底等高的两个三角形面积相等 几何原本 卷一35题 同底并界于两平行线之间的平行四边形 面积 彼此相等 由命题35之结果 易得上述结论 复杂的多边形向简单的三角形 转化 欧几里德曾给出这样的结论 一个 凸 多边形总可以 转化 为与其面积相等的三角形 3 2几何度量 2 中国古代 出入相补原理 在面积理论中的应用 出入相补 以盈补虚 原理 也称 拼补原理 或 割补原理 对给定的几何图形进行 分割 拼凑 补缺 和 搭配 等 使之转化为简单的或已知的几何图形 从而达到计算不规则直线形面积的目的 九章算术 方田 章给出了具体的方法 3 2几何度量 3 早期三角形面积公式 海伦公式 海伦 heron 约100年 在他的著作 测量学 给出了三角形面积公式 并在其他著作 如 经纬仪 度量 中给予了证明 对这一公式的证明 海伦是采用论证几何的 纯演绎 的手段来完成的 印度数学家婆什迦罗 1114 1185 在 丽罗瓦提 lilavati嬉有章 中作出三角形曲积的求法 他的作法是 纯代数 的 3 2几何度量 1247年南宋秦九韶在 数书九章 中讨论了 已知三角形三边求它的面积 这一问题 并给出了一个数学公式 但这一公式来历不明 其证明方法早已失传 后人的猜测趋同于 出入相补原理 其中用到刘徽公式 以上三种方法分别从几何演绎 几何代数与几何变换等不同的角度对三角形面积进行了研究 显示出各自的特色 反映了三个国度的数学文化特征 3 2几何度量 2 曲边形面积 1 欧几里德对圆的面积的研究 几何原本 第十二篇命题2 圆与圆 的面积 之比等于以其直径为边的正方形 面积 之比 那么这一事实在当时是如何被确认的呢 首先需要一个我们称之为 欧道克斯原理 的引理 其次采用 穷竭法 欧道克斯最先使用这一原理 对圆进行 穷竭 最后以 穷举法 间接证法的一种 对之加以证明 3 2几何度量 2 阿基米德对曲边形面积的研究 阿基米德生平简介 意大利西南岛屿西西里岛的一个沿海城镇 叙拉古 当时受希腊控制 是天文学家 力学家和数学家阿基米德 archimedes 公元前287 前212 的故乡 杠杆和重心理论的建立是阿基米德在力学上的第一次贡献 他在这方面的著作共有四篇 杠杆论 支柱论 已失传 板的平衡 两篇 他的流体力学定律和杠杆原理为大家所熟知 许多关于他的故事至今被传诵 3 2几何度量 圆的度量 阿基米德在其著作 圆的度量 中对圆进行研究时 首先提出圆周长的度量问题 阿基米德分别作圆的内接正多边形和外切正多边形 求得圆的周长与直径之比的近似值22 7 3 1428 这一结果被后人称作 阿基米德数 是公元前圆周率 的最好结果 抛物弓形的面积 阿基米德在 论抛物线求积法 就如何求抛物弓形的面积作了专门的研究 3 2几何度量 3 刘徽的 割圆术 刘徽在 九章算术 注 中指出 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 这就是刘徽 弧矢割圆术 简称 割圆术 的思想方法 那么 他的具体作法是怎样的呢 首先通过圆内接正六边形来推算圆内接正十二边形的面积 一般地得到刘徽不等式s2n s s2n s2n sn 圆周率的计算 3 2几何度量 刘徽利用公式 计算到圆内接正192边形 得到如下结果 3 141024 3 142704 后祖冲之 南北朝 公元429 500 得圆周率的结果为 3 1415926 3 1415927 有人推测很可能也是采用刘徽的 割圆术 并且使用了刘徽公式 同时 祖冲之给出了约率22 7 即阿基米德数 以及著名圆周率分数355 113 3 1415929203 称之为密率 这一结果曾在世界上保持了一千多年的领先地位 3 2几何度量 三 体积的度量1 多面体体积的计算 1 刘徽的三个基本几何体概念 刘徽说道 邪 斜 解立方得两堑堵 又说 邪 斜 解堑堵 其一为阳马 一为鳖月需 n o 在对立方 长方体 进行 分解 后 刘徽又给出了 合成 的过程 合两鳖月需成一阳马 合阳马而成一立方 故三而一 2 刘徽原理 在此基础上 刘徽给出了我们称之为 刘徽原理 的结论 斜解一长方体 所得阳马和鳖月需的体积的比恒是二比一 这样 多面体的体积问题最终归结为求鳖月需的体积 因为一个多面体可以分解为若干个四面体 而一个四面体可分解为六个鳖月需 3 2几何度量 2 球体体积 1 刘徽的 牟合方盖 首先 刘徽深知 圆与其外切正方形面积之比为 比4 其次 刘徽使用了祖日恒原理 既然在祖日恒之前刘徽已经使用 故应称刘祖原理 更重要的是 刘徽创造性地给出了他的 牟合方盖 取一正方体 边长为d 用直径为d的圆柱面对正方体从正面和侧面进行两次截割 则其型有似牟合方盖矣 结合上述结果 可得 牟合方盖 与正方体的内切球的体积之比为4 这样 只要求出 牟合方盖 的体积 就可知球体的体积了 那么 牟合方盖 的体积为多少呢 刘徽说 敢不阙 同 缺 疑 以待能言者 果然 两百多年后出来一位 能言者 此人便是祖冲之的儿子祖日恒 3 2几何度量 2 祖日恒与球之体积 祖日恒对 牟合方盖 的八分之一加以研究 经过计算 并运用 刘祖原理 祖日恒证得 截割后剩余三块立体的体积之和恰为一个 阳马 按刘徽所得到的结果 v牟 v球 4 得v球的结果 3 中国体积理论的特点 中国体积理论早在 九章算术 中就有论述 刘徽注释 九章算术 时则独创一套简洁有效 直观形象的多面体面积理论 把复杂的体积问题转化成几个简单的 几何模型 既有严密的理论依据 又具有方法的一般性 这在数学历史上是绝无仅有的 数学家祖日恒则采着前人的脚印 沿用刘徽的 牟合方盖 彻底解决了刘徽提出的 难题 球体体积的计算问题 充分显示出中国古代数学家的聪明才智 3 2几何度量 问题3 2 1 试分析欧几里德几何中关于多边形面积理论的特点 2 试分析中国古代几何中关于处理多边形面积时所表现出的特征 3 刘徽在多面体体积理论中所使用基本几何体概念主要有哪些 在同一个立方 长方体 中 它们的体积之比各是多少 4 祖冲之与阿基米德一样是历史上把数学知识应用于社会实际的典范人物 他的做法对现今数学教育有何启示意义 5 刘徽说指的 能言者 是如何解决球体的体积问题的 6 从刘徽的 牟合方盖 谈数学教育中想象力的培养 7 已知三边求三角形面积 在历史上曾经有哪几种典型的方法 它们各具有什么特色 3 3几何测量 一 几何作图1 中国的 规 和 矩 我国古代较早使用自己独特的作图工具进行实际问题的几何测量 其中最为古老而又被频繁使用的作图工具是 规 矩 准和绳 荀子 中的 圆者中规 方者中矩 则明确指出了 规 是用来画圆的 只是古代 规 的两只 脚 是固定的 即不能张合 矩 字在甲骨文中作 是指两端带有直角的尺子 后来人们在 矩 上加了刻度 也演变成 的形状 3 3几何测量 2 欧几里德的尺规作图 古希腊的数学思想所反映的是一种由最简单的原理出发演绎最广泛的内容的理念 与之相同 在几何作图上也秉承了同样的风格 因而对作图工具作了种种的规定 限制 即要求作图工具尽量简单 首先 直尺上不得有任何刻度 我们称之为 无刻度直尺 其次 所使用的圆规的两个 脚 的顶端不能固定 更不用说张合了 被称之为 易散圆规 3 3几何测量 3 三大作图难题 古希腊数学家希波克拉第 hippocrates 公元前五世纪 著有 elements 一书 但已失传 最先研究几何三大作图问题 即 三等分角问题 将任意给定的角三等分 倍立方问题 作一正方体使其体积等于已知正方体体积的二倍 化圆为方问题 作一正方形使其面积等于已知圆的面积 三大作图难题的根本起因在于 数 有理数 与 形 线形和圆形 的局限 对这一问题的研究 促使人们探索更深层次的数 无理数 以及比圆复杂得多的超越曲线 割圆曲线 这就大大地推动了数学理论的发展 其历史意义是不容低估的 另外 进行几何尺规作图本身的训练活动 既能锻炼学习者的逻辑思维 也能加深学习者对几何结构和几何关系的认识 因而它在教学上的作用也是明显的 3 3几何测量 4 黄金分割 黄金率的产生源于毕达哥拉斯学派似乎是没有什么疑问的 因为这一学派较早就对一种叫做 完全比例 的比例关系颇有研究 这种比例就是 几何中项 用式子表示为 若是把这一比例关系应用到对某一线段的分割上 则就形成一个 黄金分割 把长度为l的线段分成两部分 使其中一部分对于全部之比 等于另一部分对于该部分之比 另外在作正五边形时也遇到这样的比例问题 古希腊人认为这种比例在造型艺术中具有美学价值 因此称它为 黄金分割 或 黄金律 根据斐波那契 l fibonacci 意大利1175 1250 数列可以给出一简单的计算方法 2 3 5 8 13 21 中的前一项与后一项之比近似值 可以越来越接近 黄金分割率 3 3几何测量 二 几何测量方法1 勾股定理的历史和名称 商高最早对勾股定理给予了解释 同时用来解决实际问题 所以勾股定理也称 商高定理 另外 周髀算经 记载了陈子 在周公之后 用勾股定理推算地球与太阳的距离以及太阳的直径 因而勾股定理又叫 陈子定理 而后 人们对之俗称为 勾股弦定理 后来则慢慢地简化成 勾股定理 在第一章中我们曾对毕达哥拉斯学派有关勾股定理的研究作了分析 西方至今仍称勾股定理为 毕达哥拉斯定理 可是 毕达哥拉斯学派发现勾股定理显然比商高要晚得多 3 3几何测量 2 勾股定理的证明与应用 关于勾股定理的证明 据统计有多达几十种 商高的 弦图 就是一种证法 刘徽注释 九章算术 第九章 勾股 章时 采用中国特有的 出入相补原理 给出证明 但 可惜现在只存文字说明 其插图早已亡失 清嘉庆年间李潢著 九章算术细草图说 补以插图 欧几里德 几何原本 卷一命题47给出了一个 论证几何 式的证明方法 至于勾股定理的应用 在中国古代数学中则是随处可见 例如 九章算术 勾股章第一十三题即是 3 3几何测量 3 几何测量理论 按照现代数学的观点 几何测量理论的建立 需要以下三方面要素的支持 一为角的度量 二是平行原理 三为相似理论 但是中国古代数学在这三方面几乎是一片空白 首先 中国古代数学虽然存有 角 的概念 但是 角 的理论既不成熟 也不完整 缺乏角的度量 仅在天文学上使用 度 的概念 而且也没有统一的分度法 相比之下 古希腊对三角学早有研究 其成就远远超过中国 3 3几何测量 早在公元前两百年 希帕恰斯 hipparchus 希腊 前125年 就把圆周分为360 并在一本论述圆之弦的书中给出弦的长度数 而给定度数的弦所对应的弦之长度数目 相当于现在的正弦函数 另外 他还给出了球面三角形的图解法 随后 希腊另一位数学家梅涅劳斯 menelaus 约公元98年 著 球面学 sphaerica 而把三角术提高到一个全新的高度 梅涅劳斯在此书中对球面三角理论作了全面的论述 第一次正式给出了球面三角的定义 其中就列有著名的 六种数量的法则 希腊的另一位天文学家 数学家 埃及人 生活在亚里山大里亚 托勒密 claudiusptolemy 168年 著成 数学汇编 阿拉伯人称之为 大汇编 而把古希腊的三角术推向顶峰 此书也被认为是当时最具系统的三角术论著 3 3几何测量 托勒密把天文与三角融为一体 他的三角就是球面三角 这样就为平面三角的研究奠定了理论基础 因此在历史上 先有球面三角后有平面三角 其次 平行原理和相似理论在欧几里德 几何原本 中得到了充分的演绎 反观中国古代数学 完全没有欧氏几何的平行 相似理论 然而 尽管如此 中国古代数学的几何测量却取得了辉煌的成就 这在表面上看来这似乎是不可思议的 其中的奥妙就在于 中算家 们引用了一套