第十四章整式的乘法与因式分解能力培优.doc

第十四章 整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法专题一幂的性质1【2012湛江】下列运算中，正确的是（）A3a2a22 B(a2)3a9 Ca3a6a9 D(2a2)22a42【2012泰州】下列计算正确的是（）ABC D3【2012衢州】下列计算正确的是（）A2a2a23a4Ba6a2a3Ca6a2a12D(a6)2a12专题二幂的性质的逆用4若2a=3，2b=4，则23a+2b等于（）A7B12C432D1085若2=5，2=3，求23+2的值6计算：(1)(0.125)2014(2)2014(4)2015；(2)()2015811007专题三整式的乘法7下列运算中正确的是（）A BC D8若（3x22x+1）（x+b）中不含x2项，求b的值，并求（3x22x+1）（x+b）的值9先阅读，再填空解题：（x+5）（x+6）=x2+11x+30；（x5）（x6）=x211x+30；（x5）（x+6）=x2+x30；（x+5）（x6）=x2x30（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：_（2）根据以上的规律，用公式表示出来：_（3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a+99）（a100）=_；（y80）（y81）=_专题四整式的除法10计算：（3x3y18x2y2+x2y）（6x2y）=_11计算：12计算：（ab）3（ba）2+（ab）5（a+b）4状元笔记【知识要点】1幂的性质 (1)同底数幂的乘法：(m，n都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加 (2)幂的乘方：(m，n都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘 (3)积的乘方：(n都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘2整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 (2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加 (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加3整式的除法 (1)同底数幂相除：(m，n都是正整数，并且mn)，即同底数幂相除，底数不变，指数相减 (2)(a0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1 (3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 (4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加【温馨提示】1同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”2同底数幂相乘与幂的乘方相混淆同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”3运用同底数幂的乘法(除法)法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算4在单项式(多项式)除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算【方法技巧】1在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式2单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误3单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项参考答案:1C 解析：A中，3a2与a2是同类项，可以合并，3a2a22a2，故A错误；B中，(a2)3a23=a6，故B错误；C中，a3a6a3+6a9，故C正确；D中，(2a2)222（a2）24a4，故D错误故选C 2C 解析：，选项A错误；，选项B错误；，选项C正确；，选项D错误. 故选C3D 解析：A中，故A错误；B中，故B错误；C中，故C错误. 故选D4C 解析：23a+2b=23a22b=（2a）3（2b）2=3342=432故选C5解：23+2=2322=（2）3（2）2 =5332=1125.6解：(1)原式=(0.12524)2014(4)=12014(4)=4 (2)原式=()201592014=(9)2014()=7B 解析：A中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a，故A错误；B中，由多项式与多项式相乘的法则可得=，故B正确；C中，由单项式与单项式相乘的法则可得=，故C错误；D中，由多项式与多项式相乘的法则可得，故D错误. 综上所述，选B8解：原式=3x3+（3b2）x2+（2b+1）x+b，不含x2项，3b2=0，得b=（3x22x+1）（x+）=3x32x2+x+2x2x+=3x3x+9解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是：一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；（2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b）（a+c）=a2+（b+c）a+bc；（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a100）=a2a9900；（y80）（y81）=y2161y+648010x+3y 解析：（3x3y18x2y2+x2y）（6x2y）=（3x3y）（6x2y）18x2y2（6x2y）+x2y（6x2y）=x+3y11解：原式12解：（ab）3（ba）2+（ab）5（a+b）4，=（ab）3（ab）2（a+b）5（a+b）4，=（ab）（a+b），=abab，=2b14.2乘法公式专题一乘法公式1下列各式中运算错误的是（ ）Aa2+b2=(a+b)22abB(ab)2=(a+b)24abC(a+b)(a+b)=a2+b2D(a+b)(ab)=a2b22代数式(x+1)(x1)(x2+1)的计算结果正确的是（ ）Ax41Bx4+1C(x1)4D(x+1)43计算：(2x+y)(2xy)+(x+y)22(2x2xy)（其中x=2，y=3）专题二乘法公式的几何背景4请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）A（a+b）（ab）=a2b2B（a+b）2=a2+2ab+b2C（ab）2=a22ab+b2D（a+b）2=a2+ab+b25如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）Aa2b2=（a+b）（ab）B（a+b）2=a2+2ab+b2C（ab）2=a22ab+b2Da（a+b）=a2+ab6我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？状元笔记【知识要点】1平方差公式 (a+b)(ab)=a2b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差2完全平方公式 (ab)2=a22ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍【温馨提示】1不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同2完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点【方法技巧】1公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式只要符合公式的结构特征，就可以利用公式2有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等参考答案:1D 解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)22ab=a2+2ab+b22ab=a2+b2，故A正确；B中，由完全平方公式可得(ab)2=a22ab+b2，(a+b)24ab=a2+2ab+b24ab=a22ab+b2，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(a+b)=(a+b)(ba)=b2a2=a2+b2，故C正确；D中，(a+b)(ab)=(a+b)2=a22abb2，故D错误2A 解析：原式=(x21)(x2+1)=(x2)21=x413解：原式=4x2y2+x2+2xy+y24x2+2xy=x2+4xy，当x=2，y=3时，原式=22+423=4+24=284B 解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各部分的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2故选B5C 解析：从图中可知：阴影部分的面积是（ab）2和b2，剩余的矩形面积是（ab）b和（ab）b，即大阴影部分的面积是（ab）2，（ab）2=a22ab+b2，故选C6解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc14.3因式分解专题一因式分解1【2012西宁】下列分解因式正确的是（）A3x2 6x =x(x6)Ba2+b2=(b+a)(ba)C4x2 y2=(4xy)(4x+y)D4x22xy+y2=(2xy)22【2012广元】分解因式：3m318m2n+27mn2=_3分解因式：(2a+b)28ab=_专题二在实数范围内分解因式4在实数范围内因式分解x44=_5把下列各式因式分解（在实数范围内）（1）3x216；（2）x410x2+256在实数范围内分解因式：（1）x32x；（2）x46x2+9专题三因式分解的应用7如果mn=5，mn=6，则m2nmn2的值是（）A30B30C11D118利用因式分解计算3220.13+5.4201.3+0.142013=_9在下列三个不为零的式子：x24x，x2+2x，x24x+4中，（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集状元笔记【知识要点】1因式分解 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式2因式分解的方法 (1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法 (2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法 (3)平方差公式：a2b2=(a+b)(ab)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 (4)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方【温馨提示】1分解因式的对象必须是多项式，如把分解成就不是分解因式，因为不是多项式2分解因式的结果必须是积的形式，如就不是分解因式，因为结果不是积的形式【方法技巧】1若首项系数为负时，一般要提出“”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如2有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点参考答案:1B 解析：A中，3x2 6x=3x(x2)，故A错误；B中，a2+b2=(ab)(a+b)=(b+a)(ba)，故B正确；C中，4x2 y2=(2x)2(2y)2=(2xy)(2x+y)，故C错误；D中，4x22xy+y2的中间项不是22xy，故不能因式分解，故D错误综上所述，选B23m(m3n)2 解析：3m318m2n+27mn2=3m(m26mn+9n2)=3m(m3n)23(2ab)2 解析：(2a+b)28ab=4a2+4ab+b28ab=4a24ab+b2=(2ab)24(x2+2)(x+)(x) 解析：x44=(x2+2)(x22)=(x2+2)(x+)(x)5解：(1)3x216=(x+4)(x4)；(2)x410x2+25=(x25)2=(x+)2(x)26解：(1)x32x=x(