高中数学 1.6.1 垂直关系的判定课件 北师大版必修2.pptVIP

立体几何初步 第一章 6垂直关系6 1垂直关系的判定 第一章 英国发明家瓦特获得了蒸汽机专利后 从一个大学实验员一跃成为波士顿 瓦特公司的老板 还成为英国皇家学会的会员 因此引起了许多旧贵族的嫉妒和不满 据说 在一次皇家音乐会上 有个贵族嘲讽地对瓦特说 乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已 瓦特回答道 是的 那的确是根棒子 但是我可以用这样的3根棒子摆出12个直角 而你却不能做到 那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去 可始终无法摆出12个直角 你能用3根棒子摆出12个直角吗 1 直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的 一条直线都垂直 那么称这条直线和这个平面 2 直线与平面垂直的判定定理 1 定理内容 如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直 那么该直线与此平面垂直 2 符号表示为 若 则l 任何 垂直 相交 3 图形表示 4 简记为 线线垂直 线面垂直 3 二面角及其平面角 1 半平面的定义 一个平面内的 把这个平面分成两部分 其中的每一部分都叫作半平面 2 二面角的定义 从一条直线出发的 图形 叫作二面角 这条直线叫作 这两个半平面叫作 3 二面角的记法 以直线ab为棱 半平面 为面的二面角 记作二面角 也可记作 一条直线 两个半平面所组成的 二面角的棱 二面角的面 ab 2 ab 4 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别 的两条射线 这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 5 直二面角 平面角是 的二面角叫作直二面角 作垂直于棱 直角 4 两个平面互相垂直 1 两个平面互相垂直的定义 两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 两个平面互相垂直的判定定理 定理内容 如果一个平面 另一个平面的一条 那么这两个平面互相垂直 直二面角 经过 垂线 图形表示 简记为 线面垂直 面面垂直 特别提示 应用判定定理证明平面与平面垂直的关键是 在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面 1 如果直线l与平面 不垂直 那么在平面 内 a 不存在与l垂直的直线b 存在一条与l垂直的直线c 存在无数条与l垂直的直线d 任意一条都与l垂直 答案 c 解析 设l 是与l垂直的直线 在平面 内的所有与l 平行的直线与l都垂直 2 下列结论正确的是 a 若直线a与平面m内两条直线垂直 则a mb 若直线a与平面m内的无数条直线垂直 则a mc 若直线a与平面m内的一个三角形两边垂直 则a md 若直线a与平面m内的一平行四边形两边垂直 则a m 答案 c 解析 a中漏掉相交两字 b中无数条不等价于任何一条 d中同样不能保证两边是相交 3 2014 浙江文 6 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 a 若m n n 则m b 若m 则m c 若m n n 则m d 若m n n 则m 答案 c 4 在正方体a1b1c1d1 abcd中 e f分别是棱ab bc的中点 o是ac bd的交点 如图所示 则ef与平面bb1o的关系是 答案 垂直 解析 ef与平面bb1o的关系 即ef与平面bb1d1d的关系 由已知可得ef bd ef bb1 即可得ef 平面bb1d1d 5 ab是圆o的直径 c是异于a b的圆周上的任意一点 pa垂直于圆o所在的平面 则 pab pac abc pbc中共有 个直角三角形 答案 4 解析 由pa垂直于 o所在平面 知pa ac pa ab 又ab为 o的直径 ac bc 由pa bc ac bc bc 平面pac bc pc 三棱锥p abc的四个面均为直角三角形 直线与平面垂直的概念的理解 思路分析 利用直线与平面垂直的概念和判定定理解决 答案 c 规范解答 前面的四个命题是直接利用线面垂直的定义与判定定理 显然 正确 错误 命题 说明 如果一个平面与两条平行线中的一条垂直必与另一条直线也垂直 命题 中直线m n确定平面 时 直线m n有相交与平行两种情况 当相交时得l 当平行时不一定得到l 若直线l与平面 内的两条直线都垂直 则l与 的位置关系是 a 平行b 垂直c 相交d 无法确定 答案 d 解析 只知道l垂直于 内的两条直线 而没有指出两条直线的关系 l与 的位置关系无法确定 线面垂直的判定 思路分析 证线面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直 而证线线垂直时 可根据线面垂直的定义 规律总结 1 利用直线和平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤 1 在这个平面内找两条直线 证明它和这两条直线垂直 2 说明这个平面内的两直线是相交的直线 3 根据判定定理得出结论 2 证明线面垂直时 需要先证线线垂直 而线线垂直关系的获得往往是先证得线面垂直 从而根据线面垂直的定义得出线线垂直 因此证明过程通常是反复利用线面垂直的定义及线面垂直判定定理的过程 已知四棱锥p abcd的底面是菱形 且 abc 60 pa pc 2 pb pd 若o是ac与bd的交点 求证 po 平面abcd 解析 pa pc pd pb 且o是ac和bd的中点 po ac po bd 又ac bd o po 平面abcd 面面垂直的判定 规律总结 本题考查线面平行及面面垂直的证明 证明线面平行只需证明线与平面内的一条直线平行 证明面面垂直只需证明一个平面经过了另一个平面的垂线 同时要注意写明条件 如图所示 四边形abcd是边长为a的菱形 a 60 pc 平面abcd e是pa的中点 求证 平面bde 平面abcd 证明 连接ac 设ac bd o 连接oe 因为o为ac的中点 e为pa的中点 所以eo是 pac的中位线 eo pc 因为pc 平面abcd 所以eo 平面abcd 又因为eo 平面bde 所以平面bde 平面abcd 简单的二面角问题 思路分析 根据二面角平面角的定义作出 规范解答 1 取bd的中点o 连接co c1o 则 c1oc即为二面角c1 bd c的平面角 因为bd是二面角c1 bd c的棱 abcd a1b1c1d1为正方体 o是底面正方形abcd对角线bd的中点 所以co bd 又c1d c1b 所以c1o bd 因此 c1oc即为二面角c1 bd c的平面角 2 取bd的中点o 连接ao co 则 aoc为二面角a bd c的平面角 因为bd是二面角a bd c的棱 又ab ad 所以ao bd bc cd 所以co bd 因此 aoc为二面角a bd c的平面角 规律总结 指出或作出二面角的平面角的关键是先找出两个半平面和二面角的棱 一般先观察所给图中是否有二面角的平面角 如果没有再作出来 1 正方体ac1中 二面角b1 ad b的平面角是 a b1bab badc b1dbd b1ab 2 三棱锥p abc中 pa 平面abc ab ac 则二面角p ab c的平面角是 a pacb pcac apcd pab 答案 1 d 2 a 错解 如图所示 连接ao bo co o为 abc的外心 所以oa ob oc 又pa pb pc po为公共边 所以 aop bop cop 所以 aop bop cop 90 于是由po oa po ob推知po 平面abc 辨析 错解的原因是仅从三个三角形全等 就认为必有 aop bop cop 90 这是没有根据的 三个三角形全等只能保证 aop bop cop 没有根据说这些角都是直角 因此 上述证明是错误的 正解 如图所示 取ab bc的中点d e 连接pd pe od o