数学解题能力展示历真题汇总 思行教育用专业和责任成就孩子的梦想41774.pdf

2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 1 模块一 计算 一 分数法混合运算 例 例 1 2009 数学解题能力展示数学解题能力展示 读者评选活动高年级组决赛读者评选活动高年级组决赛 1 题 题 计算 计算 216471370 2161 28625302829 解析 分析 对于这种分数计算题 应当先将其化成假分数再进行约分 原式 1253028291370 21 1 286253066472829 28725304199 21 286158272829 到了这一步 由于 15827 4199 2829 都较大 不容易直接进行判断 但是对于 287 2530 286 可以看出它们有因子 7 41 11 23 13 等 可以进行约分 再看看 15827 4199 2829 等较大 的数中是否有因子 7 41 23 13 如果有 相应地进行约分 最后可得结果为 5 具体的式子 如下 原式 74125 11 2313 323 215 2 11 137732323 341 其中 323 还可以分解成17 19 但是由 于分子 分母中的 323 可以直接约掉 所以计算过程中不需要对它进行分解 例 例 2 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 1 题 题 7 20102 62614 5 解解析析 7 20102 62614 5 20102 6261 4 14 22 1 20102614 10 1 201026142614 20104 12 2058 10 二 裂项 例 例 3 2008 年数学解题能力展示高年级复年数学解题能力展示高年级复 5 题 计算 题 计算 11111 1 200722006 2008 200622007 1 ll nn 20071111 2008 1 200622005 2007 2006 1 ll nn 解析 11111 1 200722006 2008 200622007 1 ll nn 20071111 2008 1 200622005 2007 2006 1 ll nn 11111 1 200722006 2008 200622007 1 20071111 20082008 2008 1 200622005 2007 2006 1 ll ll nn nn 20082008200820082008 1 200722006 2008 200622007 1 2007200720072007 2008 1 200622005 2007 2006 1 ll ll nn nn 11111111 11 2007220062008200622007 11111111 11 2008 2006220052007200522006 ll ll nn nn 2014 年数学解题能力展示复赛年数学解题能力展示复赛 高年级组高年级组 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 2 11 2008 20072007 1 2015028 三 定义新运算 例 例 4 2007 年数学解题能力展示高年级组初试年数学解题能力展示高年级组初试 1 题 定义题 定义 ab表示表示 ab的整数部分 例如 的整数部分 例如 3 51 55 计算 计算 199 1994 解解析析 这 是 一 道 涉 及 取 整 的 计 算 题 解 决 这 类 题 一 般 不 进 行 精 算 估 算 即 可 注 意 到 199 1994 1994796 而所求的结果比796要小 小的部分就是199 的小数部分 与 1994 的小数部分之和 显然它们的小数部分大于 0 小于 1 所以和大于 0 小于 2 又因 为所求结果是个整数 那么小数部分的和只能是 1 因此所求结果为7961795 四 不定方程 例 例 5 2009 数学解题能力展示数学解题能力展示 读者评选活动高年级组决赛读者评选活动高年级组决赛 4 题 在新年联欢会上 某班组织了一题 在新年联欢会上 某班组织了一 场飞镖比赛 如右图 飞镖的靶子分为三块区域 分别对应场飞镖比赛 如右图 飞镖的靶子分为三块区域 分别对应 17 分 分 11 分和分和 4 分 每人可以扔分 每人可以扔 若干次飞镖 脱靶不得分 投中靶子就可以得到相应的分数 若恰好投在两块若干次飞镖 脱靶不得分 投中靶子就可以得到相应的分数 若恰好投在两块 或三块或三块 区域的区域的 交界线上 则得两块交界线上 则得两块 或三块或三块 区域中分数最高区域的分数 如区域中分数最高区域的分数 如果果比赛比赛规规定恰好投中定恰好投中 120 分分才才能能 获奖获奖 要想获奖至少需要要想获奖至少需要投中投中 次飞镖 次飞镖 解析 假设投中 17 分 11 分 4 分的次数分别为x次 y次和z次 那么投中飞镖的总次数为 xyz 次 而总得分为17114xyz 分 要想获奖 必须17114120 xyz 由于17120 x 得到6x 当x的值一定后 要使 xyz 最小 必须使y尽可能大 若6x 得到11418yz 此时无整数解 若5x 得到11435yz 此时1y 6z 51612xyz 若4x 得到11452yz 此时y最大为 4 当4y 时2z 这种情况下10 xyz 若3x 得到11469yz 此时3y 9z 33915xyz 若2x 得到11486yz 此时y最大为 6 当6y 时5z 这种情况下13xyz 若1x 得到114103yz 此时y最大为 9 当9y 时1z 这种情况下11xyz 若0 x 得到114120yz 此时y最大为 8 当8y 时8z 这种情况下16xyz 经过比较可知 xyz 的值最小为 10 所以至少需要投中 10 次飞镖才能获奖 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 3 模块二 数论 一 数字谜 例 例 6 2007 年数学解题能力展示高年级组初试年数学解题能力展示高年级组初试 3 试题 将数字试题 将数字 1 9 填入下面方框 每个数字恰用一 次 使得下列等式成立 填入下面方框 每个数字恰用一 次 使得下列等式成立 200724 现在现在 2 4 已经填入 当把其它 数字都填入后 算式中唯一的减数 处 是 已经填入 当把其它 数字都填入后 算式中唯一的减数 处 是 解解析析 首先可以估算四位数的取值范围 四位数不大于 2007913428010 不小于 2007198427638 显然四位数的百位数字只能是7 再由四位数与 2 的和能被 4 整除 可以确定四位数的个位数字一定是偶数 只能是 6 或 8 若为 6 由个位是 8 而能被 4 整除的数 其十位数字是偶数 可知四位数只能为7986 而 7986241997 故只需利用剩下的数凑出 10 即可 剩下的数字是 1 3 5 不能凑出 10 所以四位数的个位数字不是 6 四位数的个位数 字是 8 时 由个位是 0 而能被 4 整除的数其十位数字是偶数 故四位数的十位数字是 1 3 7 或 9 当四位数的十位数字是 1 时 四位数只可能是7918 而 7918241980 故只需利用剩 下的数凑出 27 即可 剩下的数字是 3 5 6 不能凑出 27 当四位数的十位数字是 3 时 四位 数只可能是7938 而 7938241985 故只需利用用剩下的数凑出 22 即可 剩下的数字是 1 5 6 不能凑出 22 当四位数的十位数字是 5 时 四位数只可能是 7658 或 7958 若为 7958 则由 7958241990 需利用剩下的数凑出 17 即可 剩下的数字是 1 3 6 不能凑出 17 若为 7658 有 76582493 12007 当四位数的十位数字是 9 时 四位数只可能是 7698 而 7968241925 故只需利用剩下的数凑出 82 即可 剩下的数字是 3 5 6 不能凑出 82 故此题只有惟一答案 76582493 12007 算式中唯一的减数是 1 例 例 7 2009 数学解题能力展示数学解题能力展示 读者评选活动高年级组决赛读者评选活动高年级组决赛 3 题 用数字题 用数字 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 组成五个四位数 要求这组成五个四位数 要求这 5 个数的和的各位数字都是奇 数 那么这个和数最大是 个数的和的各位数字都是奇 数 那么这个和数最大是 解析 由于一个数除以 9 的余数等于这个数的各位数字之和除以 9 的余数 那么这五个四位数的和除以 9 的余数 就等于这五个四位数的各位数字之和除以 9 的余数 而这五个四位数的各位数字之和 为 0129290 l 除以 9 的余数为 0 所以这五个四位数的和除以 9 的余数也是 0 也就 是说这五个四位数的和是 9 的倍数 由于每个四位数都小于 10000 所以这五个四位数的和小于 50000 那么这个和的首位不超过 4 由于各位数字都是奇数 所以首位最大为 3 千位和百位最大为 9 当前三位分别为 3 9 9 时 要使这个和是 9 的倍数 后两位数字的和除以 9 应余 6 可能为 6 和 15 然而这两个数都是奇数 它们的和为偶数 所以只能是 6 那么这两个数应分别为 5 和 1 才能使和最大 此时最大和为 39951 而当这五个四位数分别为 9348 9247 8236 7115 6005 时 它们的和恰好为 39951 因此所求 的最大值为 39951 例 例 8 2008 年数学解题能力展示高年级复年数学解题能力展示高年级复 1 题 将数字题 将数字 1 至至 9 分别填入右边竖式的方格内使算式成 立 分别填入右边竖式的方格内使算式成 立 每个数字恰好使用一次每个数字恰好使用一次 那么加数中的四位数最小是 那么加数中的四位数最小是 1 2008 解析 三个加数的个位数字之和可能是 8 18 十位数字之和可能是 9 19 20 百位数字之和可能是 8 9 10 其中只有 18 19 8 45 要使加数中的四位数最小 尝试百位填 1 十位填 2 此时另两 个加数的百位只能填 3 4 四位数的加数个位可填 5 另两个加数的十位可填 8 9 个位可填 6 7 符合条件 所以加数中的四位数最小是 1125 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 4 例 例 9 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 5 题 在每个方框中填入一个数字 使得乘法竖式成立 已 知乘积有两种不同的得数 那么这两个得数的差是 题 在每个方框中填入一个数字 使得乘法竖式成立 已 知乘积有两种不同的得数 那么这两个得数的差是 解解析析 a与乘数的乘积比2与乘数的乘积小 所以1 a 1 c 又b与2的乘积个位是0 所以0 5或 b 6 c不进位 那么6 d个位是 0 得5 d 两个乘法式子分别为515216 和 510216 乘积的差为 515510 2161080 例 例 10 2009 数学解题能力展示数学解题能力展示 读者评选活动高年级组决赛读者评选活动高年级组决赛 2 题 在方框中填入适当的数字 使得 除法竖式成立 已知商为奇数 那么除数为 题 在方框中填入适当的数字 使得 除法竖式成立 已知商为奇数 那么除数为 0 9 0 0 2 ef 22 d2 2d e d cba 9 9 01 0 9 0 0 2 解析 首先看除式的第二 三行 一个三位数减去一个两位数 得到一个一位数 可得这个三位数的前 两位为 1 0 这个两位数的十位数字为 9 个位不能为 0 除数是一个三位数 它与商的百位和个位相乘 所得的两个三位数的百位都是 9 那么可得商的 百位和个位相同 先将已得出的信息填入方框中 并用字母来表示一些方框中的数 如右图所示 由于商为奇数 所以e是奇数 可能为 1 3 7 9 不可能为 5 若为 1 则9 2abcd 而9 2abcfdf 为三位数 于是1f 又这个乘积的十位数字为 0 而d不能为 0 矛盾 所以e不为 1 若为 3 则9 23abcd d可能为 1 4 7 abc相应的为 304 314 324 当abc为 314 和 324 时abcf 所的结果的十位数字不可能为 0 不合题意 若abc为 304 则f可能为 1 或 2 经检 验f为 1 和 2 时都与竖式不符 所以e也不能为 3 若为 7 则9 27abcd 只有5d 时满足 此时136abc 那么3f 经检验满足题意 若为 9 则9 29abcd d只能为 7 此时108abc f则只能为 1 经检验也不合题意 所以只有除数为 136 时竖式成立 所以所求的除数即为 136 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 5 二 数独 例 例 11 2008 年数学解题能力展示高年级复年数学解题能力展示高年级复 7 题 在图的题 在图的 5 5 的方格表中填入的方格表中填入 abcd四个字母 要求 每行每列中四个字母都恰出现一次 如果菜行的左边标有字母 则它表示这行中第一个 出现的字母 如果某行的右边标有字母 则它表示这行中最后一个出现的字母 类似地 如果 某列的上边 四个字母 要求 每行每列中四个字母都恰出现一次 如果菜行的左边标有字母 则它表示这行中第一个 出现的字母 如果某行的右边标有字母 则它表示这行中最后一个出现的字母 类似地 如果 某列的上边 或者下边或者下边 标有字母 则它表示该列的第一个标有字母 则它表示该列的第一个 或者最后一个或者最后一个 出现的字母 那么出现的字母 那么 a b c d在第二行从左到右出现的次序是在第二行从左到右出现的次序是 da a a d c b a 解析 a b c d在第二行从左到右出现的次序是 b c d a 例 例 12 2009 数学解题能力展示数学解题能力展示 读者评选活动高年级组决赛读者评选活动高年级组决赛 10 题 题 请将请将 1 2 3 10 这这 10 个个 自然自然数数填入填入图中的图中的 10 个小圆圈内个小圆圈内 使使得图中的得图中的 10 条直条直线上线上圆圈内圆圈内数数字之字之和和都都相相等等 那么乘积那么乘积 abc c ba 解析 对于本题 可以通过 10 条直线上圆圈内数字之和都相等 实际上是 11 条 这一等量关系 将 每一个小圆圈中的数表示出来 由于每一条直线上的数之和都为abc 可得图中每一个小圆圈中的数如下图 2c a c 3c a 2c b 2c b c a c abc 可以得到 332abcbcac 可得2abc 代入得2333bcbc 即6bc 只能是1c 6b 28abc 则86 148abc 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 6 三 整除的性质 例 例 13 2008年数学解题能力展示高年级复年数学解题能力展示高年级复6题 有四个非零自然数题 有四个非零自然数 a b c d 其中 其中 cab dbc 如果如果a能被能被 2 整除 整除 b能被能被 3 整除 整除 c能被能被 5 整除 整除 d能被能被 7 整除 那么整除 那么d最小是最小是 解析 令2 3 ak bl 则62 dlk 因为d能被 7 整除 最小 14 此时 l k取不到整数 若28 d 则4 2 lk 所以d最小是 28 例 例 14 2006 年数学解题能力展示高年级复试年数学解题能力展示高年级复试 2 题 题 a b c d e 这五个数各不相同 他们两两相 乘后的积从小到大排列依次为 这五个数各不相同 他们两两相 乘后的积从小到大排列依次为 0 3 0 6 1 5 1 8 2 5 6 10 12 30 将这五个数从小 到大排成一行 那么 左起第 将这五个数从小 到大排成一行 那么 左起第 2 个数是个数是 a 0 3 b 0 5 c 1 d 1 5 解解析析 c 设abcde 由题意知 ab 0 3 ac 0 6 推知cb 2 由ce 12 de 30 推知 dccb 305 5 122 bcbbb 2 22 bdbbb 2 55 cdbbb 2 2510 在 1 5 1 8 2 5 6 10中 满足 2 5 10的三个数是 2 5 10 所以b 2 1010 b 2 1 b 1 四 完全平方数 例 例 15 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 11 题 题 用用 1 9 这这 9 个个数数字各字各一次 组一次 组成成一一个个两两位位完全平完全平方方 数 一数 一个个三三位位完全平完全平方方数 一数 一个四位个四位完全平完全平方方数 数 那么那么 其其中的中的四位四位完全平完全平方方数最数最小小 是是 解解析析 四位完全平方数 1234 352 1225 所以至少是 362 1296 当四位完全平方数是 1296 时 另两 个平方数的个位只能分别为 4 5 个位为 5 的平方数的十位只能是 2 但数字 2 在 1296 中已经使 用 当四位完全平方数是 372 1369 时 另两个平方数的个位只能分别为 4 5 个位为 5 的平方数 的十位一样只能是 2 还剩下 7 8 而 784 恰好为 282 所以 其中的四位完全平方数最小是 1369 五 奇偶分析法 例 例 16 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 7 题 题 黑板黑板上一上一共写共写了了 10040 个个数数字字 包括包括 2006 个个 1 2007 个个 2 2008 个个 3 2009 个个 4 2010 个个 5 每次 每次操作操作都都擦去擦去其其中中 4 个个不不同同的数的数字字并写并写上一上一个第个第 5 种种数数字字 例如 例如擦去擦去 1 2 3 4 各各 1 个个 写写上上 1 个个 5 或者或者擦去擦去 2 3 4 5 各各一一个个 写写上一上一个个 1 如如果经果经过过有有限限次次操作操作后后 黑板黑板上恰好上恰好剩剩下下了两了两个个数数字字 那么这那么这两两个个数数字字的的乘积是乘积是 解解析析 每次操作 每个数字个数的奇偶性都会变化 1 3 5 原来都是偶数个 它们的个数奇偶性永远 保持一致 2 4 原来都是奇数个 它们的个数奇偶性也永远保持一致 而且和 1 3 5 的个数奇 偶性不同 最后剩下 2 个数字 只能是 2 和 4 六 质数与合数 例 例 17 2008 年数学解题能力展示高年级复年数学解题能力展示高年级复 4 题 如题 如果果一一些些不不同同质质数的数的平均平均数为数为 21 那么它们那么它们中最中最大大 的一的一个个数的最数的最大大可能可能值值为为 解析 对于任意一组数 其中大于平均数的超出部分之和一定等于小于平均数的不足部分之和 所以为 了使这些质数中最大的数更大 应该尽可能多地取小于 21 的质数 由于大于 21 的所有质数都是 奇数 所以大于平均数 21 的超出部分之和一定是偶数 相应的所取的小于 21 的质数与 21 的差 之和也应该是偶数 所以唯一的偶质数 2 是不能取的 因为它与 21 的差为奇数 剩下 7 个数的 和是 75 21 8 75 93 小于 93 的最大的质数是 89 当这些质数取 3 5 7 11 13 19 89 时 符合条件 七 位值原理 例 例 18 2008 年数学解题能力展示高年级复年数学解题能力展示高年级复 8 题 题 记记四位四位数数abcd为为x 由由它它的的四个四个数数字字 a b c d组组成成 的最的最小小的的四位四位数数记记为为 x 如 如果果 999 xx 那么这那么这样样的的四位四位数数x共共有有 个个 解析 999 xx得到99910001 xxx 所以如果a b c d组成的四位数 x末位数 字不是 0 那么x等于将 x的千位数字加 1 个位数字减 1 反过来 x等于x的千位数字减 1 个位数字加 1 所以 x为 11 abc d 与x比较 b和c位置没有换 交换的是a和d x 表示为dbca 可以得到等式1 ad 1 ad 所以a和d的取值组合 只有 2 和 1 3 和 2 9 和 8 这 8 种 对于其中任意一种组合 以4 a 3 d为例 dbca只有取值3334 3344 3444 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 7 3004 3034 3044这 6 个数时 dbca是由四个数字 abcd组成的最小的四位数 根据乘 法原理满足条件的四位数一共有8648 种 如果 abcd组成的四位数 x末位数字是 0 显然得 x的百位 十位都是 0 此时 abcd无法组成其它的四位数 例 例 19 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 14 题 题 9000 名名同同学学参参加加一次数学一次数学竞竞赛 赛 他们他们的的考号考号分别分别是是 1000 1001 1002 9999 小小明发明发现他现他的的考号考号是是 8210 而而他他的的朋友朋友小小强强的的考号考号是是 2180 他们他们两人两人 的的考号由考号由相相同同的数的数字字组组成成 顺顺序序不一不一样样 差差为为 2010 的的倍倍数 数 那么那么 这这样样的的考号考号 由由相相同同的数的数 字字组组成成并且并且差差为为 2010 的的倍倍数 数 共共有有 对 对 解解析析 设abcd与efgh由相同的数字组成 顺序不一样 并且2010 abcdefgh 由于abcd与efgh的数 字和相同 它们除以 9 的余数相同 即 9 abcdefgh 从而 6030 abcdefgh 考虑到 09000 abcdefgh 于是6030 abcdefgh 6030 abcdefgh 从末位数字可知 dh 603 abcefg 若3 c 603 6 3 abcab c 但 6 3 9 abcabcabc 6 3 ab cefg 603 6 3 abcab c不成立 若2 c 0 b 6030603 7 9 7 abca cac 同上知这种情况也不成立 因此 2 c 1 b 603 6 1 7 abcabc 7 c在这里可能等于a或者b 如果7 ac 则1 bc 此时 a b c可以等于 7 1 0 8 2 1 以及 9 3 2 如果7 bc 则6 ac 此时 a b c可以等于 7 8 1 和 8 9 2 a b c确定之后 再考虑d d可以等于 0 1 2 9 中的任何一个数字 这样 可以得到 50 个不同的abcd 继而可得到相应的efgh 于是 一共有 50 对这样的考号 由相同 的数字组成 并且差为 2010 的倍数 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 8 模块三 行程 比例解行程题 例 例 20 2009 数学解题能力展示数学解题能力展示 读者评选活动高年级组决赛读者评选活动高年级组决赛 13 题 一条路上有东 西两镇 一天 甲 乙 丙三人同时出发 甲 乙从东镇向西而行 丙从西镇向东而行 当甲与丙相遇时 乙 距他们 题 一条路上有东 西两镇 一天 甲 乙 丙三人同时出发 甲 乙从东镇向西而行 丙从西镇向东而行 当甲与丙相遇时 乙 距他们 20 千米 当乙与丙相遇时 甲距他们千米 当乙与丙相遇时 甲距他们 30 千米 当甲到达西镇时 丙距东镇还有千米 当甲到达西镇时 丙距东镇还有 20 千米 那么当丙到达东镇时 乙距西镇 千米 那么当丙到达东镇时 乙距西镇 千米 千米 丙 乙 甲 fedcba 解析 如图 甲 乙两人从b地出发 丙从a地出发 甲 丙相遇在c处 此时乙到达d处 c d相 聚 20 千米 三人继续前进 当丙和乙在e处相遇时 甲到达f处 e f相聚 30 千米 当甲 丙相遇时 甲 丙两人合走了一个全程 且此时甲比乙多走了 20 千米 当丙和乙分别从c d出发走到e处相遇时 丙和乙合走了 20 千米 丙和甲合走了 30 千米 甲 比乙多走了 10 千米 由于10 201 2 可见丙和甲合走的 30 千米就是全程的一半 那么全程为 60 千米 当甲到达西镇时 丙距东镇还有 20 千米 所以甲 丙的速度之比为 60 60203 2 那么两 人相遇时丙走了 2 6024 23 千米 甲走了 3 6036 23 千米 乙走了362016 千米 丙和 乙的速度比为24 163 2 那么当丙到达东镇时 乙距西镇 2 60120 3 千米 变速问题 例 例 21 2008 年数学解题能力展示高年级复 12 题 如图 如图 小小明家明家和和小小强家强家相相距距 10 千米千米 小小强家与公强家与公 园园相相距距 25 千米千米 小小明明 9 20 从从家骑车家骑车出出发去公园发去公园 l0 40 小小强强从从家家出出发发 步步行行去公园去公园 当小当小明明 到到达达学学校时校时 他立他立即弃车步即弃车步行 行 又过又过了一会了一会儿儿 当小当小强强到到达达学学校时校时 他立他立即开始骑车即开始骑车 两人 两人同同 时于时于下下午午 2 00 到到达公园达公园 如 如果果两人两人步步行行速度速度相相同同 骑车速度也骑车速度也相相同同 那么那么学学校与公园校与公园相相距多距多 少少千米千米 公园公园学校学校小强家小强家小明家小明家 解析 相距 x 千米 骑车速度和步行速度为a和b 那么 1114 35 3 1110 25 3 xx ab xx ab 三个未知数有两个方程 显然要么无解 要么有无数组解 事实上只要注意到 35 25 7 5 14 3 10 3 方程满足 a b 7 5 x 取任意值 都成立 当然步行速度和骑车速度是不可能相等的 两方程 相加得到 11 35258 ab 187 255 ba 代入第一条方程 18714 35 2553 xx aa 12 121750 15 x a 因为 a 7 5 所以 175 12 x千米 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 9 例 例 22 2007 年数学解题能力展示高年级组初试年数学解题能力展示高年级组初试 8 题 甲 乙两人分别从题 甲 乙两人分别从a b两地出发 相向而行 不一定同时出发 甲骑自行车 乙步行 两人在距 两地出发 相向而行 不一定同时出发 甲骑自行车 乙步行 两人在距a地地 500 米处第一次相遇 甲继续走到米处第一次相遇 甲继续走到c 地后发现忘带东西 于是将速度提高一倍 立即返回地后发现忘带东西 于是将速度提高一倍 立即返回a地 并在距地 并在距a地地 400 米处追上乙 到达米处追上乙 到达a 地后不作停留立即前往地后不作停留立即前往b地 在距地 在距a地地 300 米处与乙第二次相遇 最后两人同时到达目的地 那 么 米处与乙第二次相遇 最后两人同时到达目的地 那 么bc两地相距两地相距 米 米 解解析析 这是一道行程问题 可以从同时间内所行的路程比等于速度比入手解决 在两人第二 第三次相 遇之间 甲走了400300700 米 乙走了400300100 米 所以甲提速后与乙的速度之比为 7 1 在两人第三次相遇与到达目的地之间 乙走了300米 所以这期间甲走了30072100 米 因 此ab两地相距21003002400 米 在两人第一次相遇和第二次相遇之间 乙走500400100 米 这 期 间 甲 提 速 比 未 提 速 多 走 了 100 米 因 此 第 一 次 相 遇 地 点 到c的 距 离 是 10071003200 米 因此ac之间的距离是500200700 米 那么bc之间的距离是 24007001700 米 例 例 23 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 13 题 小李开车从甲地去乙地 出发后题 小李开车从甲地去乙地 出发后 2 小时 车在丙地 出了故障 修车用了 小时 车在丙地 出了故障 修车用了 40 分钟 修好后 速度只为正常速度的分钟 修好后 速度只为正常速度的 75 结果比计划时间晚 结果比计划时间晚 2 小时 到乙地 若车在行过丙地 小时 到乙地 若车在行过丙地 72 千米的丁地才出故障 修车时间与修车后的速度分别还是千米的丁地才出故障 修车时间与修车后的速度分别还是 40 分钟 与正常速度的 分钟 与正常速度的 75 则比计划时间只晚 则比计划时间只晚 1 5 小时 那么 甲乙两地全程小时 那么 甲乙两地全程 千米 千米 解解析析 从丙到乙正常与故障后的速度比为 1 1 75 4 3 则时间比为 3 4 那么丙到乙计划用 2 40 60 4 3 3 4 时 所以原计划小李从甲地到乙地要走 2 4 6 时 从丁到乙正常与故障后的 速度比为 1 1 75 4 3 则时间比为 3 4 那么丁到乙计划用 1 5 40 60 4 3 3 2 5 时 所以甲 乙全程为 72 1 2 6 2 5 6 288 千米 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 10 模块四 几何 图形分割 例 例 24 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 12 题 现有一块题 现有一块 l 形的蛋糕如图所示 现在要求一刀把它 切成 形的蛋糕如图所示 现在要求一刀把它 切成 3 部分 因此只能按照如图的方式切 要使得到的最小的那块面积尽可能大 那么最小的 面积为 部分 因此只能按照如图的方式切 要使得到的最小的那块面积尽可能大 那么最小的 面积为 平方厘米 平方厘米 解解析析 如下图 显然不论怎么切 b 是最大的那块 为使 a 和 c 尽量大一些 切割线就要经过 l 形的拐 点 大致有如下 3 种切法 对于前两种 c 比 a 要小 所以要使 c 尽量大的话 就要使切线作顺时 针方向调整 第三种情况更优一些 当 a 与 c 面积相等时 就是最优的情况 此时 220210 10102 xx 所以4 x c 的面积是 80 立方厘米 图形剪拼 例 例 25 2008 年数学解题能力展示高年级复年数学解题能力展示高年级复 10 题 如图 已知题 如图 已知4abaecm bcdc 90baebcd 10accm 则 则s abcacecde ss 2 cm c d e b a 解析 将三角形abc绕a点和c点分别顺时针和逆时针旋转90o 构成三角形 aec和 a de 再连接 a c 显然的 acac aca c aca cac 所以 aca c是正方形 三角形 aec 和三角形 a dc关于正方形的中心o中心对称 在中心对称图形 aca c中有如下等量关系 aeca dc ss aeca dc ss cedc de ss 所以s abcacecde ss s aecacecde ss 1 2 aca c s 1 10 1050 2 2 cm 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 11 o c a c d e b a 等积变换 例 例 26 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 6 题 题 直直角角边边长长分别为分别为 18 厘厘米米 10 厘厘米米的的直直角 角 abc 和和直直角角 边边长长分别为分别为 14 厘厘米米 4 厘厘米米的的直直角 角 ade 如图如图摆放摆放 m 为为 ae 的中的中点点 则 则 acm 的的面积面积为为 平平方方厘厘米米 解解析析 s ace s abc s abe s cbe 18 10 2 18 4 2 10 4 2 106 平方厘米 所以 s acm s ace 2 106 2 53 平方厘米 曲线形面积 例 例 27 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 10 题 如图题 如图所所示 示 直直线上线上并排并排放置着放置着两两个个紧挨着紧挨着的的圆圆 它它 们们的的面积都等面积都等于于 1680 平平方方厘厘米米 阴影阴影部分部分是是夹夹在两在两圆圆及及直直线线之之间间的部分 如的部分 如果要果要在在阴影阴影部分部分内内 部部放放入入一一个个尽尽可能可能大大的的圆圆 则 则这个圆这个圆的的面积等面积等于于 平平方方厘厘米米 解解析析 如图所示 在阴影部分作出一个最大的圆 连接左侧大圆与小圆的圆心 然后如图所示构造一个 直角三角形 在图中用粗线表示 该 直 角 三 角 形 的 斜 边 长 为 rr 两 直 角 边 分 别 为r与 rr 由 勾 股 定 理 可 得 22 2 rrrrr 上式移项可得 22 2 rrrrr 利用平方差公式化简可得4 rr 这说明大圆半径是小圆半径的 4 倍 所以大圆面积就是小圆面积的 16 倍 由此可得小圆面积为 168016105 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 12 立体几何 例 例 28 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 3 题 如图所示 有大小不同的两个正方体 大正方体的棱 长是小正方体棱长的 题 如图所示 有大小不同的两个正方体 大正方体的棱 长是小正方体棱长的 6 倍 将大正方体的倍 将大正方体的 6 个面都染上红色 将小正方体的个面都染上红色 将小正方体的 6 个面都染上黄色 再将两个正方体粘合在一起 那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的 个面都染上黄色 再将两个正方体粘合在一起 那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的 倍 倍 解解析析 假设小正方体棱长是 1 大正方体棱长就是 6 大正方体露在外面的表面积是6661215 小正方体露在外面的表面积是 5 所以有215543 倍 模块五 计数 一 加乘原理 例 例 29 2008 年数学解题能力展示高年级复年数学解题能力展示高年级复 2 题 如果三位数题 如果三位数m同时满足如下条件 同时满足如下条件 m的各位数字 之和是 的各位数字 之和是 7 2m还是三位数 且各位数字之和为还是三位数 且各位数字之和为 5 那么这样的三位数 那么这样的三位数m共有共有 个 个 解析 三位数2m可以是 500 410 320 230 140 302 212 122 104 得到 m可以是 250 205 160 115 70 157 106 61 52 两位数的均舍去 所以符合条件的共有 6 个 例 例 30 2007 年数学解题能力展示高年级组初试年数学解题能力展示高年级组初试 4 题 将题 将 1 999 这这 999 个自然数排成一行 不一定按 从大到小或从小到大的顺序排列 得到一个 个自然数排成一行 不一定按 从大到小或从小到大的顺序排列 得到一个 2889 位数 那么数字串位数 那么数字串 123 最多能出现最多能出现 次 次 解解析析 构成数字串 123 的方式有很多 它可能是由一个数单独构成 也可能是由两个数或三个数构 成 统计数字串 123 出现的次数 最好的办法就是对其进行分类统计 我们将出现的 123 分为 如下几类 就是 123 三位数本身 一个 1 和 23 分别属于两个不同的多位数 那么后面这个数可 能是 23 或以 23 开头的三位数 23 或以 23 开头的三位数有 23 230 231 232 238 239 共 11 个 而以 1 结尾的数远远多于 11 个 所以这类最多有 11 个 12 和 3 分别属于两个不同的 多位数 那么前面这个数可能是 12 或以 12 结尾的三位数 12 或以 12 结尾的三位数有 12 112 212 312 812 912 共 10 个 而以 3 结尾的数远远多于 10 个 最多有 10 个 1 2 和 3 分 别属于三个不同的多位数 那么中间这个数只能是 2 最多出现 1 次 综上 最多出现 1 11 10123 次 而且易看出可以达到 例 例 31 2009 数学解题能力展示数学解题能力展示 读者评选活动高年级组决赛读者评选活动高年级组决赛9题 从题 从1 999中选出连续中选出连续6个自然数 使得它们的乘积的末尾恰有 个自然数 使得它们的乘积的末尾恰有 4 个个 0 一共有 一共有 种选法 种选法 解析 连续的 6 个自然数中 必有 3 个偶数 这 3 个偶数是 3 个连续偶数 其中至少有 1 个是 4 的倍数 那么这 3 个偶数的积肯定是 4 2的倍数 所以任意的连续 6 个自然数的积都是 4 2的倍数 另外 连续的 6 个自然数中 至少有一个 5 的倍数 至多有两个 5 的倍数 如果其中只有 1 个 5 的倍数 由于末尾要有 4 个 0 那么这个 5 的倍数应是 4 5的倍数 即是 625 的倍数 又小于 1000 只能是 625 那么这 6 个数可以是 621 626 622 627 623 628 624 629 共 4 种 如果其中有 2 个 5 的倍数 那么只能是这连续 6 个自然数中的最大数和最小数都是 5 的倍数 由 于这两个 5 的倍数不可能同时是 25 的倍数 所以其中必有一个是 3 5125 的倍数 可能为 125 250 375 500 625 750 900 对于其中除 625 外的 6 个数 每个数都可以是这连续 6 个自然 数中的最大数和最小数 所以对这 6 个数 每个数都有 2 种取法 共有2612 种取法 而对于 625 来说 与另一个 5 的倍数相乘 将会是 5 5的倍数 要想使末尾恰有 4 个 0 则这连续 6 个自 然数的乘积要是 4 2的倍数但又不是 5 2的倍数 检验 620 625 和 625 630 这两组的连续 6 个自然 数 后者满足题意 前者则不合题意 所以有 2 个 5 的倍数的情况下共有12113 种选法 根据加法原理 共有41317 种选法 小结 本题容易出错的地方在于容易忽略掉 625 630 这一组数 因为在平常做题中面对此类问 题基本上都是 2 比 5 多的情况 所以学生可能对于 2 比 5 少的可能性根本不予考虑 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 13 例 例 32 2010 年数学解题能力高年级复赛年数学解题能力高年级复赛 8 题 蜜蜂王国为了迎接题 蜜蜂王国为了迎接 2010 年春节的到来 特地筑了一 个蜂巢如下 每个正六边形蜂窝中 有由蜂蜜凝结而成的数字 年春节的到来 特地筑了一 个蜂巢如下 每个正六边形蜂窝中 有由蜂蜜凝结而成的数字 0 1 或或 2 春节到来之时 群蜂 将在巢上跳起舞步 舞步的每个节拍恰好走过的四个数字 春节到来之时 群蜂 将在巢上跳起舞步 舞步的每个节拍恰好走过的四个数字 2010 从某个 从某个 2 出发最后走完四步 后又回到 出发最后走完四步 后又回到 2 如图中箭头所示为一个舞步 且蜜蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有 公共边的正六边形上 蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为 如图中箭头所示为一个舞步 且蜜蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有 公共边的正六边形上 蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为 2010 共有 共有 种方法 种方法 解解析析 图中标 2 的六边形分两类 第一类如上左图所示 第二类如上右图所示 从第一类六边形出发 每个六边形都只有 1 种走法 因此共有 6 种走法 从第二类六边形出发 每个六边 形有 4 种不同的走法 其中两种是环形回路 细线表示 两种是原路返回 粗线表示 因此共有4624 种走法 综上所述 共有24630 种不同的走法 二 排列组合 例 例 33 2007 年数学解题能力展示高年级组初试年数学解题能力展示高年级组初试 6 题 由数字题 由数字 1 2 3 组成五位数 要求这五位数中组成五位数 要求这五位数中 1 2 3 至少各出现一次 那么这样的五位数共有至少各出现一次 那么这样的五位数共有 个 个 解解析析 这是一道组合计数问题 由于题目中仅要求 1 2 3 至少各出现一次 没有确定 1 2 3 出现的 具体次数 所以可以采取分类枚举的方法进行统计 也可以从反面想 从由 1 2 3 组成的五位 数中 去掉仅有 1 个或 2 个数字组成的五位数即可 方法一 分两类 1 2 3 中恰有一个数字出现 3 次 这样的数有 1 3 c5460 个 1 2 3 中有两个数字各出现 2 次 这样的数有 22 34 c5c90 个 综上所述符合题意的五位数共有6090150 个 方法二 从反面想 由1 2 3组成的五位数共有 5 3个 由1 2 3中的某2个数字组成的五位数共有 5 321 个 由 1 2 3 中的某 1 个数字组成的五位数共有 3 个 所以符合题意的五位数共有 55 33213150 个 模块六 应用题 经济问题 2014 年数学解题能力展示历年真题汇总 思行教育 用专业和责任成就孩子的梦想 思行教育 竞赛教研组 高年级专题 2 月 6 日 周四 正月初七 五 六年级 8 00 09 30 14 例 例 34 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 2 题 下表是人民币存款基准利率表题 下表是人民币存款基准利率表 小明现在有 小明现在有 10000 元 人民币 如果他按照三年期整存整取的方式存款 三年后他连本带利一共能从银行拿到 元 人民币 如果他按照三年期整存整取的方式存款 三年后他连本带利一共能从银行拿到 元人民币 元人民币 解解析析 一年利息是100003 33 333 元 三年利息一共是333 3999 元 一共能拿到的钱数是 1000099910999 元 分数应用题 例 例 35 2010 年数学解题能力高年级复试年数学解题能力高年级复试 4 题 有一块用于实验新品种水稻的试验田形状如图 面积 共 题 有一块用于实验新品种水