（机械制造及其自动化专业论文）基于两重包络原理的圆柱凸轮加工刀位控制方法研究.pdf

摘要 凸轮机构具有结构紧凑和性能可靠等优点，在包装机械、灌装机械、纺织机械等自 动机械中应用十分普遍，在实现间歇运动t 分度运动及其它复杂运动要求方面具有很强 的适应性。凸轮机构优良的运动特性，需要有精密的凸轮机构来保证，凸轮是凸轮机构 中的关键构件，因此凸轮必须具有较高的加工制造精度。 本文以对心直动圆柱滚子从动件槽形圆柱凸轮为例，应用共轭曲面理论研究基于两 重包络原理加工圆柱凸轮廓面的刀位控制方法。推导了圆柱凸轮实际廓面方程及基于两 重包络原理的非等价加工圆柱凸轮廓面的刀具创成廓面方程，并对理论加工误差进行了 计算、分析。理论加工误差的计算利用数学计算软件m a t l a b 进行。针对具体实 例，对基于两重包络原理的凸轮刀具创成廓面和实际廓面之间的理论加工误差，分别计 算、分析了对应点误差、法线误差及最短距离误差。 针对本文提出的刀位控制方法，分析结果表明：对应点误差只是两个对应点之间的 距离，通常不是刀具创成廓面与实际廓面的最短距离，而且和h 无关；而利用法线求两 个空间曲面之间的距离得出的误差较大；最短距离误差最小，最能体现加工误差，是一 种有效的误差计算方法，具有重要的理论意义和实际应用价值。 关键词：圆柱凸轮非等价加工两重包络原理刀具创成廓面误差分析 a b s t r a c t c a mm e c h a n i s m sh a v ec o m p a c ts 仃u c t i l l ea n dr e l i a b l ep e r f o r m a n c ea n ds oo n , w h i c ha r e e x t e n s i v e l ya p p l i e di na u t o m a t i cm a c h i n e s ，s u c ha sp a c k i n gm a c h i n e r y , f i l l i n gm a c h i n e r y , t e x t i l em a c h i n e r ya n ds oo n , a n de n a b l es t r o n ga d a p t a b i l i t yi nr e a l i z i n gi n t e r m i s s i o n ，i n d e x i n g a n do t h e rc o m p l e xm o v e r n e n t s c a mm e c h a n i s m sh a v ep e r f e c tk i n e m a t i cc h a r a c t e r i s t i c s ， w h i c ha r cs u p p o r t e db ya c c u r a t ec a mc o m p o n e n t c a mi st h ec o r ep a r to fc a mm e c h a n i s m ， a n dc a r si t s e l fm u s th a v eh i g h e rm a n u f a c t u r i n ga c c u r a c y f o rt h ec y l i n d r i c a lg r o o v e - c a mw i t ht r a n s l a t i n gr o l l e rf o l l o w e r , t h ec u t t e rl o c a t i o nc o n t r o l m e t h o d so fc y l i n d r i c a lc a mb a s e do nd o u b l ee n v e l o p ep r i n c i p l ew e r es t u d i e dw i t ht h et h e o r y o fc o n j u g a t i n gs u r f a c e s t h ep r a c t i c a lp r o f i l ee q u a t i o na n dt h ee q u a t i o no f p r o f i l em a c h i n e d b yt o o lw e r eg i v e nb a s e do nd o u b l ee n v e l o p ep r i n c i p l e ，a n dt h e nt h et h e o r e t i c a lm a c h i n i n g e r r o r sw e r ea l s oa n a l y z e d c a l c u l a t i n gt h e o r e t i c a lm a c h i n i n ge r r o r si sp e r f o r m e dw i t ht h e m a t h e m a t i c a ls o f t w a r e m a t l a b o na c c o u n to fs p e c i f i ce x a m p l e ，t h et h e o r e t i c a lm a c h i n i n g e r r o r sb a s e do nd o u b l ee n v e l o p ep r i n c i p l ew e r ee v a l u a t e db yt h r e em 妯o d s 一e n o ra n a l y s e o fc o r r e s p o n d i n gp o i n t s d i s t a n c e ，e r r o ra n a l y s eo fn o r m a ld i s t a n c ea n de r r o ra n a l y s eo ft h e s h o r t e s td i s t a n c e o na c c o u n to fc u r e ri o c a t i o nc o n t r o lm e t h o dr a i s e d ，t h ea n a l y s i sr e s u l t ss h o wt h a t ： d i s t a n c eo fc o r r e s p o n d i n gp o i n t si sn o tt h es h o r t e s td i s t a n c eb e t w e e nt h ep r o f i l em a c h i n e db y t o o la n dp r a c t i c a lp r o f i l ea n dh a v en o t h i n gt od ow i t hh ，t h ee r r o ro ft h ed i s t a n c eb e t w e e nt w o s p a c ec u r v e ds u r f a c e sb a s e do nt h ea n a l y s i so fn o r m a ld i s t a n c ei sc o m p a r a t i v e l yl a r g e ，t h e m e t h o do fe r r o ra n a l y s eo ft h es h o r t e s td i s t a n c ei st h eb e s to n et oe m b o d ym a c h i n i n ge r r o r , a n dt h a ti ti so fi m p o r t a n tt h e o r e t i c a lm e a n i n ga n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o nv a l u e k e y w o r d s ：c y l i n d r i c a lc a m ，u n e q u a ld i a m e t e rm a c h i n i n g ，d o u b l ee n v e l o p ep r i n c i p l e ，p r o f i l e m a c h i n e db yt o o l ，e r r o ra n a l y s i s d e c e mb e r2 0 0 8 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取 得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨盗堡兰盘至或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：考麟 签字日期：少呷年弓 月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 墨盗墨墨太堂有关保留、使用学位论文 的规定。特授权墨盗墨墨盘鲎 可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编， 以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复本和电子 文件。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：多长星癍导师签名：垮尝咩 签字日期：力呷年3 月2 日签字日期：力研年岁月二日 第一章绪论 1 1 课题来源及背景 1 1 1 课题来源 第一章绪论弟一早三百t 匕 机械制造业是一个传统产业，是社会和经济发展的支柱和基石。随着计算机科学与 信息科学的飞速发展，传统的机械行业焕发了新的活力，也出现了大量的新课题。在当 今国际竞争同益激烈的情况下，先进设计和先进制造技术的研究与应用已达到了刻不容 缓的地步。在这种大背景下，为促进现代企业的发展，提高企业的国际竞争力，天津市 高等学校科技发展基金计划项目基于两重包络原理加工圆柱凸轮的刀位控制方法 研究由此而生。从凸轮非等价加工的需求出发，迟荣兰硕士在其学位论文里提出了凸轮 非等价加工的一种刀位控制方法，并进行了误差计算。在此基础上，课题组认识到了进 一步深入研究空间凸轮非等价加工的必要性、可行性和重要性，为此申报了天津市高等 学校科技发展基金计划项目( 项目编号：2 0 0 7 1 1 0 4 ) 。本文在秉承前人研究成果的基础 上，主要研究了基于两重包络法加工圆柱凸轮的走刀方法和误差分析，力争实现理论与 实践的统一。 1 1 2 课题背景 随着科学技术的飞速发展，自动机械在新产品- 的设计、开发和应用中，占有及其重 要的位置和相当的比例，而且随着企业对劳动生产率及产品质量要求的不断提高，各行 业对自动机械的需求也将日益增长，以空间凸轮机构为核心部件的自动机械，已发展成 千力种高效、小型、简易、价廉的自动机械，遍布各行各业，如自动包装机、自动成型 机、自动加工机、纺织机、农业机械、印刷机械、自动办公设备、自动售货机、电子元 件加工机械等。 空间凸轮机构在自动机械中之所以有如此广泛的应用，是应为它兼有传动、导向及 控制机构的多种功能。当作为传动机构时，它可以产生复杂的运动规律，以满足各种机 械对运动规律的要求；当作为控制机构时，它可以控制执行机构的自动工作循坏。凸轮 机构作为信息的传递及信息存储元件具有构件数量少、体积小等优点。 空间凸轮机构的优良特性在世界各国都得到了越来越多地重视和应用。美国、日本、 英国、德国、俄罗斯、瑞士、台湾等国家和地区相继进行了研制，并取得了标准化、系 列化的产品。在几何学、运动学、动力学、啮合原理、结构设计、廓面加工等方向进行 了比较深入地研究和探讨，取得了一定的成果。我国在空间凸轮机构的设计和加工水平 上，与美国、日本、德国和台湾等国家和地区相比还有一定的差距，尤其在加工方面， 国外也只是集中在少数的几家公司和科研机构中，而且由于技术保密等凶素，具有一定 价值的相关资料很少公开发表，这就无形中制约着我国凸轮机构设计和加工水平的提 高，造成高速、高精度凸轮机构必须依赖进口的被动局面。 在凸轮机构中，凸轮是最为关键和重要的零件，整个机构的设计和制造也是以其为 第一章绪论 核心来进行的，尤其是空间凸轮。由于空间凸轮廓面结构比较复杂，在设计和加工过程 中需要借助计算机来完成。根据有关文献的报道，现在国内凸轮机构在实际应用中主要 存在以下三大问题：一是承载能力较差，振动和噪声较大，主要是由于加工精度低造成 的；二是在高速情况下容易出现误动作和控制失灵，可靠性差；三是使用寿命短，没有 达到设计使用寿命，在使用初期阶段就出现不同程度的胶合和塑变等现象，材料选择的 不合适是其中原因之一，更深层次的原囚是加工精度低和表面质量差引起的。 现阶段各行业为适应提高劳动生产率的要求，告诉自动化机械的发展正成为一种主 流，比如包装机械、冲压机械和印刷机械等，凸轮机构的工作转速可达2 0 0 0 r p m ，在这 样高速情况下进行动、停转换，如果机构设计不合理或加工误差过大，就会引起系统惯 性力的急剧变化，给整个机构的运动性能和动力性能带来严重后果。实验研究结论表明： 凸轮体廓面在0 5 m m 范围内有0 o l m m 的径向加工误差，就将造成严重的加速度变动； 如果有0 0 5 m m 的误差，则有明显的冲击现象，完全破坏了原来的无冲击的运动规律i l 。j 。 因此人们把大部分精力致力于从动件运动规律的研究上，以期解决其承载能力和运动的 可靠性，以及整个机构优良的动态性能，是不全面的。所以，提高凸轮的加工精度和表 面质量，改进现有的加工方法，提出即经济又能满足加工精度要求的加工机理，是解决 问题的另一个重要途径。 1 2 凸轮机构的发展和分类 1 2 1 凸轮机构的发展概况 凸轮机构的发展历史比较久远，但对凸轮机构的系统研究，却是近代的事。凸轮机 构的应用，可以追溯到我国东汉时期杰出的科学家张衡，在他发明的水力天文仪中，已 经采用凸轮作为机构元件之一。但直到1 9 世纪术，对凸轮机构还没有过系统的研究。 随着工业化的发展，要求设计出高效自动机械，以改善飞机和汽车用内燃机配气机构的 工作性能，至本世纪初凸轮机构的研究才开始受到重视。 在4 0 年代以后，由于内燃机转速增加，引起故障增多，才开始对配气凸轮机构的 振动进行深入研究，并从经验设计过渡到有理论根据的运动学与动力学分析。 1 9 5 0 年，m i t c h e l l 最先提出对凸轮机构进行试验研究，从而引起了凸轮实验研究 的小高潮。不少学者采用多种仪表，包括高速摄影机和动态应变仪等，对告诉凸轮机构 的动力学影响进行测量，获得了许多重要的成果。 计算机的发展，使凸轮的c a d c a m 获得了巨大成功。因此，凸轮机构的研究经历了 从实验到优化设计，从单纯运动学分析到动力学研究，从手工加工到计算机辅助制造等 发展阶段6 驯。 凸轮的运动学分析首先是研究它的运动规律。几乎所有的专著，都对运动规律进行 了系统的介绍。早期的著作只是介绍了一些适合低速结构的等速、简谐、摆线等基本运 动规律。6 0 年代以后，由于科学技术的发展，各种适合中速和高速的优良运动规律相继 提出，基本上满足了中、高速凸轮机构的要求。 总之，凸轮机构的研究与开发涉及到众多学科，例如系统工程与设计学、机构学、 机械加工学。正是这些相关学科的发展，才使得凸轮机构在现代机械中获得日益广泛的 应用。 2 第一章绪沦 1 2 2 凸轮机构的分类 凸轮机构的发展历史比较久远，凸轮机构的形式也是各式各样的。按凸轮形状来分， 凸轮可简单划分为平面凸轮和空间凸轮【l o 】。平面凸轮的廓面是可展直纹面，可以简单地 用二维平面内的廓线来表示。空问凸轮是相对于平面凸轮而言的，它的廓面是复杂的空 间不可展曲面。这是平面凸轮和空间凸轮的本质区别_ 4 。 空间凸轮按凸轮形状又可分：圆柱凸轮( 图卜a 、1 f ) 、圆锥凸轮( 图卜b ) 、端面 凸轮( 图1 - c ) 、球形凸轮( 图1 - d ) 、弧面凸轮( 图卜e ) 等。从动件的运动形式有直动 ( 图1 - a 、卜b ) 和摆动的( 图l - d ) ；从动件的结构形式有圆柱型、圆锥型、鼓型等。 空间凸轮机构的从动件有圆柱滚子从动件、圆锥滚子从动件、一般回转体从动件等，其 中圆柱滚子从动件应用最普遍。 目前，平面凸轮的研究已经取得了较大成果，但是空间凸轮机构的研究还不能尽如 人意。本文将以空问凸轮为研究对象，深入研究凸轮加工问题。 璺守 每爨意毒 绀 图1 - 1 空间凸轮的分类 1 3 凸轮廓面工方法及存在的问题 凸轮机构优良的运动特性与动力特性，需要有精确的凸轮构件来保证。因此，凸轮 机构各构件必须具有较高的加工制造精度。这些构件包括凸轮本体、从动系统各构件、 机架等，其中尤以凸轮本体的制造精度最难保证，但所起的作用却是最关键的。凸轮廓 面制造涉及到材料、热处理、加工方法等多方面内容，本文仅就有关加工方法进行论述。 传统的凸轮廓面的加工方法有多种，如仿形法、划线法( 平板凸轮) 等，但其制造 精度受到很大的限制，影响了它在精密机械中的应用。由于电子、自动化、计算机及精 第一章绪论 密机械与测量等技术的迅速发展，数控机床较好的解决了复杂、精密的凸轮加工问题。 目前，空间凸轮的制造设备主要是数控机床或专用机床。国外的一些公司，如英国l a n d i s 公司，德国k o p p 、f o r t u n a 、s c h a l l d t 公司，r 本n t c 公司，丰田工机等都开发出了专 门的凸轮数控铣床、磨床。德国k o p p 公司还生产了能五轴联动的空间凸轮磨床，可以 磨削各种空间凸轮【i6 。 由于历史发展的种种原因，我国还不能制造高性能的数控凸轮加工机床，国内凸轮 的数控加工多数采用的是国外的进口设备，这些设备价格都很高。一些中小企业因无力 购买国外设备，仍用仿形法加工。也有一些企业虽然购买了国外设备，但凸轮生产批量 小，设备利用率很低。因此，针对国内企业的现状，研究既能满足加工精度要求，同时 又很经济的加工机理和刀位控制方法，是十分必要和紧迫的。 目前，空间凸轮的加工方法分为等价加工法和非等价加工法。用等价刀具加工称为 等价加工，刀具的几何特征参数与从动件的几何特征参数相一致的刀具称为等价刀具： 用非等价刀具进行加工称为非等价加工，非等价刀具是指几何特征参数与从动件几何特 征参数不一致的刀具。虽然等价加工不存在原理误差，但等价方法在实际应用中存在下 列问题： 1 、刀具直径有一定的标准系列，有时选不到标准直径刀具； 2 、加工时不可避免的刀具磨损造成刀具几何形状及直径发生变化； 3 、对于滚子直径较大的大型圆柱凸轮机构，等价刀具成本高。 非等价加工的目的是在误差允许的范围内用非等价刀具加工出满足精度要求的凸 轮产品。但是，由于空间凸轮廓面是不可展曲面，非等价加工法不可避免地存在理论加 工误差，如何控制刀位是一道技术难题。 目前非等价加工有三种方法，一种方法是将凸轮廓面当自由曲面来处理，采用端而 铣刀或球头铣刀加工，称为仿自由曲面加工方法；另一种方法是在误差允许的范围内通 过刀位补偿的方法进行加工，称为刀位补偿加工方法；第三种方法是两重包络加工方 法。 对于空间凸轮廓面的非等径加工，许多学者进行了研究和探索，取得了一定成绩。 文献 1 0 介绍了空间凸轮廓面的三种非等价加工方式的基本原理及其优缺点。 仿自由曲面加工方式采用端面铣刀或球头刀将空间凸轮廓面当作自由曲面来进行 廓面加工，理论上可以实现空间凸轮廓面非等价加工，但由于廓面失去了凸轮与滚子 间的共轭关系，且刀具与凸轮廓面是点接触，因此加工误差大、效率低，加工表面质量 差。 两重包络加工方式可重构凸轮廓面，可选刀具范围广，但刀具与凸轮廓面也是点接 触，加工效率低，因此只能作为空间凸轮加工的一种有益补充，实际应用不多。 刀位补偿加工方式，是在误差许可的范围内通过有刀位补偿的展成法来实现凸轮廓 面的加工，已有文献【9 】表明，刀位补偿加工中必然存在理论加工误差，采用刀位补偿加 工方式，刀具与凸轮轮廓曲面是线接触，其特点是切削点处切削速度较高，因而具有较 高的加工效率，但目前其加工理论还不成熟。 对于圆柱凸轮的非等径侧铣加工问题，目前大多数处理方法是将其按某一直径的圆 柱面展开，转化为2 维平面问题【1 7 垅】。但是按某一直径展开的展开平面上的实际廓线与 刀具轨迹曲线( 理论廓线) 并不是等距的关系，这种转化为平面的研究方法是一种近似 4 第一章绪论 的处理方法，按此方法非等价加工圆柱凸轮槽时会出现凸轮槽的“喇叭口”现象1 2 m 5 i 。 因为其没有反映出非等价侧铣加工圆柱凸轮槽轮廓曲面的本质，此种方法不适合做圆柱 凸轮非等价侧铣加工的分析。非等价侧铣加工圆柱凸轮槽轮廓曲面时，存在刀具圆柱曲 面与凸轮槽轮廓曲面之间的共轭关系。圆柱凸轮非等径侧铣加工的正确分析、研究方法 是以共轭曲面理论为基础，对刀具轨迹曲面( 理论廓面) 与实际廓面之间的关系进行分 析、研究。文献 2 6 ，4 2 ，4 3 】以曲面理论为基础，给出了建立刀具轨迹曲面方程的方法，并 依此计算出了实际廓面的方程，得出了非等价加工存在原理误差的结论，但是并没有对 非等价加工的误差进行分析，也没有对非等价加工方法的刀具轨迹生成算法作进一步的 分析。 1 4 主要研究内容 基于以上对圆柱凸轮国内外研究现状的回顾与分析，本文以对心直动圆柱滚子从动 件圆柱凸轮为研究对象，从结构特点、啮合特性入手，以共轭曲面理论和变换矩阵为工 具，应用微分几何知识，求解基于两重包络原理加工圆柱凸轮时圆柱凸轮的实际廓面方 程和刀具创成廓面方程。在此基础上，对两重包络加工圆柱凸轮的加工误差进行理论分 析，并针对具体实例，分析凸轮转角和滚子轴向位置这两个因素对理论误差的影响。本 文的主要研究内容有： ( 1 ) 应用共轭曲面理论、变换矩阵和微分几何知识，以对心直动从动件槽形圆柱凸轮 机构为研究对象，建立圆柱凸轮的实际廓面方程。在机构设计参数已知的情况下，凸轮 廓面由凸轮转角和滚子轴向位置两个参数决定。 ( 2 ) 根据当前两重包络加工的现状，针对两重包络加工圆柱凸轮的刀具位置控制方法， 利用共轭曲面理论求解其刀具创成廓面方程。 ( 3 ) 对圆柱凸轮的实际廓面和刀具创成廓面进行误差分析。针对具体实例，利用数学 计算软件m a t l a b ，对由凸轮转角和滚子轴向位置这两个因素所引起的凸轮廓面误 差进行分析，为圆柱凸轮廓面加工方法的改进和加工精度的提高奠定基础。 第二章基丁两重包络原理加i ：恻柱凸轮的刀具创成廓面及误差 第二章基于两重包络原理加工圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 本章将以对心直动圆柱滚子从动件槽形圆柱凸轮为例，应用共轭曲面理论研究基于 两重包络原理的加工圆柱凸轮廓面的刀位控制方法，推导出圆柱凸轮实际廓面方程及基 于两重包络原理加工圆柱凸轮廓面的刀具创成廓面方程，并对理论加工误差进行初步分 析。 2 1 共轭曲面理论 共轭曲面理论是微分几何的一个重要分支，是为研究两个具有相对运动且保持相切 接触的曲面由我国研究人员首先提出并发展起来的【43 。，与生产实践有着密切的联系。共 轭曲面理论是一个严密的数学体系，是几何学、微积分学、矢量代数、运动学的完美结 合。共轭曲面理论的核心是共轭条件的建立和求解。 共轭曲面理论是研究形与运动及其相互作用的理论。共轭曲面综合是指给定一个曲 面及共轭关系，求解与其共轭的另一曲面。共轭曲面的综合在微分几何里反映为曲面包 络。从这一点上讲，共轭曲面理论与包络理论的本质是相同的。共轭曲面理论所具有的 几何学与运动学相结合的特征，反映了现实世界中许多现象的本质，并被许多文献称为 “啮合理论”，“包络理论”。 凸轮机构借助凸轮廓面与从动件之间的接触传动来实现目标运动规律，其廓而设计 的本质就是研究凸轮廓面与从动件曲面间的接触运动问题，这正是共轭曲面理论的完美 体现。因此，人们在研究复杂的平面、空间凸轮时，一致选择了共轭曲面理论作为廓面 设计的工具。由于共轭曲面理论有多种表现形式和不同的理解方式，应用的方法和形式 是千差万别的。 共轭曲面理论的核心是共轭条件的建立和求解。共轭条件一般表达为：, 7 v 2 1 = 0 ， 其中刀为两共轭曲面在接触点处的公法线单位矢量；：。为相对速度。 在工程上，人们还习惯于称呼上式为“啮合条件 或“接触条件。在微分几何中， 共轭条件可以转化为如下“包络条件 【4 0 】：( 一r u ，一v ，无) = 0 ，下标材、1 ，、喜表示对该参 数的偏导数。 如图2 1 建立坐标系，( o - x y z ) 为固定坐标系，仃l ( d l - x l y l z l ) 、仃2 ( d 2 - - x 2 y 2 2 2 ) 分 别为与共轭曲面。、从动曲面：固连的动坐标系，。、：互为共轭曲面。r o 为自o 。 至o ：的矢量。 在仃：( d ：一x 2 y 2 z ：) 坐标系中，从动曲面：矢量方程为：舶= ：2 ( “，) ，式中u ，v 为曲面：的曲面参数。上标( 2 ) 表示所属坐标系为d ：( d ：一x 2 y 2 2 2 ) ，以下同。 6 第二章基于两正包络原理加1 ：圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 在仃。( d i x t y l z 。) 坐标系中，从动曲面：矢量方程为：r n = 1 ( “，1 ，考) 1 4 4 1 ，考为从动 曲面与共轭曲面坐标系之间的运动参数。 z l z 匕 o o 图2 1 共轭曲面坐标系 2 2 直动圆柱滚子从动件圆柱凸轮廓面方程 图2 2 所示的对心直动圆柱滚子从动件圆柱凸轮机构中，机构的输入运动参数为凸 轮转角p ，输出运动参数为滚子从动件的直线位移s ，s = s ( p ) 。r o 为圆柱滚子半径，名 为刀具半径，半径差值a r = r o 一只。r 表示凸轮实际廓面s 的矢量方程。在滚子的锄+ 厅 截面上，滚子圆柱曲面与凸轮实际廓面s 的接触点为k ，为滚子底面距凸轮回转轴线 的距离，h 为接触点k 到滚子底面的距离，6 为接触点k 的方向角。 采用两重包络加工时，刀具中心轨迹为沿滚子中心曲线的x 方向移动缸得到的，参 见图2 4 ；，表示基于两重包络原理加工时刀具创成廓面s 的矢量方程，m 为刀具圆柱 曲面与刀具创成廓面s 的接触点，卢为接触点m 的方向角，参见图2 4 。 图2 2 中，( d x y z ) 为固定坐标系，x 轴与凸轮回转轴重合，z 轴平行于圆柱滚子 从动件的轴线，原点为d ；凸轮坐标系吼( d 。- x t y 。z 。) 为与凸轮固结的动坐标系，x i 轴与 x 轴重合，原点0 1 与原点0 重合；滚子坐标系仃：( d ：一儿z ：) 为与滚子固结的动坐标系， 而轴与x 轴平行，乙轴为滚子轴线与z 轴平行，坐标原点0 ，位于圆柱滚子底平面中心。 7 第二章基于两哐包络原理加1 ：圆 ： = 凸轮的刀具创成廓面及误筹 j、z ! 【z2 ) z ， 姿他旦勺、一 一 】砌) ，l r 2 图2 2 对心直动圆柱滚子从动什槽形圆柱凸轮机构 由图2 2 可知，在滚子的h o + 办截面上，接触点k 在固定坐标系( d x y z ) 中的矢量 方程为： = 露6 ( 2 - 1 ) 式中，；。的上标( 0 ) 表示坐标系仃。( d x y z ) ，以下同。由固定坐标系仃。( d 一班) 到凸 轮坐标系仃，( d l - x t y t z 。) 的变换矩阵m 。为： 妊吕 则在凸轮坐标系仃。( d 。- - x t y l z l ) 中，接触点k 的矢量方程为： f j + r o c o s 6 1 ：m 。；：i _ ( h o + h ) s i n0 + r oc o s 心n 6i l ( + h ) c o s o + s i n os i n 5 将1 分别对6 、h 、0 求偏导， 一( 1 ) ，6 = 8 ( 2 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 、，j 9 ，坩9 o m 宝 一 c 吣 吣急 s o 比 “仪一 第二章基丁两哐包络原理加i ：圆杞凸轮的刀具创成廓面及误差 力n 任 像5 ， 甜= 几i ( h o + h ) c o s 0 - r o s i n o s i n 6 6 ， 乃1 j q 6 ) 习n 疵1 = l r o cos6roc o s 0 sin6sinos i n 6 7 ， ：ii ( 2 - 7 ) l ( 6 1 ，； 1 ，。1 ) ：= 0 ( 2 8 ) 将( 2 - 6 ) 、( 2 7 ) 代入( 2 - 8 ) 整理得：s c o s - ( h o + h ) s i n 6 = 0 ，从而求出接触点k 6 ：a r c t a j l ( 2 9 ) ，z + h 式中，j = d s d o ，以下同。方向角有6 和6 + 7 r 两个值，分别对应凸轮的左、右两个廓 面，以下同。 方程( 2 3 ) 、( 2 9 ) 联立，即可得出对心直动圆柱滚子从动件槽形圆柱凸轮的实际 廓面方程： ；。)=三妻(h兰o+c。hs)6sin0+ro c o s 0 s i n t 5 h ) c o s or os i n os i n 8 。2 1 0 ) ；o = i _l i ( + + ( 2 。 6 ：a r c t a n 2 3 基于两重包络原理加工圆柱凸轮的刀具创成廓面方程 2 3 1 两重包络原理 针对已有非等径加工方法的不足之处，邹慧君、何有钧、郭为忠等【2 6 。3 3 1 首次提出 了两重包络加工的设想并进行了简要的分析。两重包络法继承了凸轮廓面的包络曲面性 质，可以对等径刀具进行无误差重构，无原理误差。 两重包络加工方式的优点是计算简单，可选刀具尺寸范围广，柔性很强，可作为等 9 第二章基_ 丁两照包络原理加l ：圆柱凸轮的刀具创成廓面及误差 径加工和刀位补偿加工方式的有益补充。 两重包络加工适应范围广，柔性强，特别适应于单件小批量生产，为快速响应市场 需求提供了强有力的支持，可作为等价加工和刀位补偿加工的有益补充，满足实际生产 的需要。 图2 - 3 曲堕包络原理 如图2 - 3 所示，空间曲面& 以参数a i 运动，形成单参数曲面族 s ，假设 瓯) 的 包络墨存在，则称s 为单参数曲面族 氐 的一重包络，并称s o 为母面；再使一重包络s 以参数运动，又形成了以s 为母面的单参数曲面族 s ) ，又假定它的包络是存在， 则称岛为单参数曲面族 氐) 的两重包络。 两重包络原理为非等价加工圆柱凸轮廓面问题提供了一种新的刀位控制思路：用半 径为r ( r r ) 的非等价刀具偏置等价刀具轴心一段距离( 尺一r ) ，并绕等价刀具轴线回转， 其包络面就是半径等于尺的等价刀具表面s ，再使s 按从动件运动规律运动，其包络面 墨就是待加工的凸轮廓面。我们称这种非等价力n - v _ 方法为两重包络法，参见图2 - 4 图2 4 两重包络加一= 方法 l o x i ) 第二章基丁两重包络原理加i ：恻柱凸轮的刀具创成廓面及误差 2 3 2 两重包络加工的特点 两重包络加工方法的特点主要体现在以下方面： ( 1 ) 无理论加工误差：两重包络可以无误差重构复杂的凸轮廓面，因此建立在两重包 络基础上的两重包络加工方法不存在理论上的加工误差。 ( 2 ) 可选刀具范围广：根据两重包络原理可知，任何比滚子半径小的刀具都可以用于 两重包络加工中。 ( 3 ) 适用于带圆柱滚子、圆锥滚子或一般回转体滚子从动件的凸轮廓面加工。 ( 4 ) 加工质量较好：两重包络加工方法分别加工凸轮的上下廓面，因此可全部采用逆 铣加工，提高廓面加工质量，可用于凸轮廓面的精加工。 ( 5 ) 快速响应市场需要，提高企业的市场竞争力。 2 3 4 基于两重包络原理的刀位控制方法 从两重包络加工原理可知：按两重包络加工方法，任意半径r ( r r ) 的非等价刀具都 可以加工出理想的空间凸轮廓面。但直接应用两霞包络原理加工圆柱凸轮廓面时，与等 价加工的一个刀位对应的是一段非等价加工的圆弧轨迹，这显然会大幅度增加轨迹的行 程，造成生产率很低，无法直接应用。本文将在两重包络加工原理基础上，从重构等价 刀具的圆弧轨迹中取出一个刀位，具体方法是取圆弧轨迹与x 轴的交点作为补偿后的控 制刀位，研究其创成廓面方程和理论加工误差。 2 3 5 基于两重包络原理的刀具创成廓面方程 元表示图2 - 4 中两重包络加工时刀具创成廓面s 的矢量方程，m 为刀具圆柱曲面与 刀具创成廓面s 的接触点，口为接触点m 的方向角，参见图2 4 。非等价刀具在x 轴方 向偏置一个距离a r ( a r 为滚子和刀具的半径差) ，在其它两个方向位置不变，如图2 4 ， 非等价刀具曲面和圆柱凸轮的创成廓面始终保持相切，是一对共轭曲面。刀具创成廓面 与圆柱凸轮实际廓面的形成原理一样，因此可以应用共轭曲面原理推导非等价加工的刀 具创成廓面方程。图2 - 4 中，仃，( 啡一砖”之) 为刀具坐标系。 参照式( 2 1 ) 一( 2 1 0 ) ，可得出刀具创成廓面方程： f ，+ c o s 卢 、 r l - ( i ) = l - r 玉( h o + h ) s i n o + r c c o s o s i n r f ll ( 2 11 )+h)col ( s o + r 。s i n o s i n 卢j “吖 p = 一蒜 第二章基于两照包络原理加：l ：圆柱i 九1 轮的刀具创成廓面及谈差 式中，表示足= & ( 晚) 对见求导，由图2 - 4 可知： s c = s 七& 。 1 2 ( 2 1 2 ) 第三章基丁两重包络原理加：i ：圆柱凸轮廓面的误筹汁算与分析 第三章基于两重包络原理加工圆柱凸轮廓面的误差计算与分析 根据前几章的研究，本章先介绍了利用法线距离求误差的方法，最后得出利用此法 应用在此出现的错误结果的结论，然后介绍了基于两重包络原理加工圆柱凸轮的误差分 析的一种简洁易懂的方法对应点距离误差分析法，得出在8 相同的情况下，误差与 h 无关的结论，最后利用数学计算工具m a t l a b 编程绘图4 6 踟l ，清晰的反映出凸轮 转角对刀具创成廓面的影响。 3 1m a t l a b 数学计算软件简介 3 1 1m a t l a b 概述 m a t l a b 的含义是矩阵实验室( m a t r i xl a b o r a t o r y ) ，主要用于方便矩阵 的存取，其基本元素是无须定义维数的矩阵。m a t l a b 自问世以来，就是以数值计算称 雄。m a t l a b 进行数值计算的基本单位是复数数组( 或称阵列) ，这使得m a t l a b 高 度“向量化”。经过十几年的完善和扩充，现已发展成为线性代数课程的标准工具。由于 它不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信 号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便， 这是其它高级语言所不能比拟的。美国许多大学的实验室都安装有m a t l a b 供学习和 研究之用。在那旱，m a t l a b 是攻读学位的大学生硕士生、博士生必须掌握的基本工具。 m a t l a b 中包括了被称作工具箱( t o o l b o x ) 的各类应用问题的求解工具。工具箱实 际上是对m a t l a b 进行扩展应用的一系列m a t l a b 函数( 称为m 文件) ，它可用来 求解各类学科的问题，包括信号处理、图象处理、控制系统辨识、神经网络等。随着 m a t l a b 版本的不断升级，其所含的工具箱的功能也越来越丰富，因此，应用范围也 越来越广泛，成为涉及数值分析的各类工程师不可不用的工具。m a t l a b 5 3 中包括了 图形界面编辑g u i ，改变了以前单一的“在指令窗通过文本形的指令进行各种操作”的状 况。这可让使用者也可以象v b 、v c 、v j 、d e l p h i 等那样进行一般的可视化的程序编 辑。在命令窗口( m a t l a bc o m m a n dw i n d o w ) 键入s i m u l i n k ，就出现( s i m u l i n k ) 窗口。 以往十分困难的系统仿真问题，用s i m u l i n k 只需拖动鼠标即可轻而易举地解决问题， 这也是近来受到重视的原因所在。 3 1 2m a t l a b 的语言特点 被称作为第四代计算机语言的m a t l a b ，利用其丰富的函数资源，使编程人员从 繁琐的程序代码中解放出来。m a t l a b 最突出的特点就是简洁，m a t l a b 用更直观的， 第三章基丁两重包络原理加t 圆柱凸轮廓面的误差计算与分析 符合人们思维习惯的代码，代替了c 和f o r t r a n 语言的冗长代码。m a t l a b 给用户 带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。m a t l a b 的主要特点有： ( 1 ) 功能强大的数值运算功能。 ( 2 ) 强大的图形处理能力。 ( 3 ) 高级但简单的程序环境。 ( 4 ) 丰富的工具箱。 ( 5 ) 程序的可移植性很好。 ( 6 ) 源程序的开放性。 ( 7 ) m a t l a b 的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。 3 2 法线距离误差分析 法线距离误差分析法是指，先求出过凸轮实际廓面上一点k ( 假设此点已确定) 的 法线方程，再求此法线方程与刀具创成廓面的交点丁，此时可以直接求k 、丁之间的距 离，此即为非等径加工圆柱滚子从动件圆柱凸轮的法向误差。步骤为：先求出法线，再 求交点，最后求距离。 1 方向数 方向角的余弦c o s a ，c o s 卢，c o s 称为有向线段曰b 或相应的有向线段的方向余弦。 方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果只需要确定一条空问直线的方 位( 一条直线的两个方向均确定着同一方位) ，那术就不一定需要知道方向余弦，而只要 知道与方向余弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦成比例且不全为零的数 a ，b ，c 称为空间直线的方向数，记作： a ，b ，c ) 。即： abc 一= ：一= 一 c o s t z c o s 卢c o s y 据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式： c 0 霉口- 一= = = = = = = = = 篁= = 2 + 8 2 + c 2 c c 。5 ，。+ _ 4 4 2 + b 2 + c 攀2 其中，根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两个相反的方向。 2 方向数与直线方程 空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。 任一给定的直线都有着确定的方位但是，具有某一确定方位的直线可以有无穷多 条，它们相互平行如果要求直线再通过某一定点，则直线便被唯一确定，因而此直线的 方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。 设已知直线三的方向数为 ，m ，刀) ，又知l 上一点p o ( x o ，y o ，z o ) ，则直线三的方程 可表示为： x - x o ：z 二! q ：塑 ，m刀 上式就是直线l 的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。 1 4 第三章基丁两重包络原理加i ：恻柱凸轮廓面的误著计算与分析 3 2 1 实际廓面的法线方程 凸轮实际廓面在固定坐标系仃。( d x y z ) ( 参见图2 - 2 ) 中的矢量方程为： 芦= 瞄r o s i n t 5 6 t ， ；0 ：ll ( 3 - 1 ) l + 办 式中，6 = a r c t a n 赤。 凸轮实际廓面上任一点k ( q ，啊) 的法线，在固定坐标系仃。( o - x y z ) 中的方向数 一 r 、i m 2 2 ( 3 - 2 ) f x = s + c o s 6 其中， y = r o s i n d ； r ，c o s 6 、 则有：赢= is i n si ( 3 3 ) l 、oj 法线，在盯。( o l 一葺y 。z ，) 坐标系中的方向数为： 砒叫料融 4 ， 兰二血：兰二丝：三二圣 ( 3 5 ) 式中，( x k ，儿，z k ) 为凸轮实际廓面与法线，的交点k 的坐标，两个参变量分别为q 、 啊，因此交点k - i h 3 y g ：k ( 1 9 1 ，啊) ，其解析表达式如下： 式中， s = j ( b ) = 5 ( 1 8 母q - 5 + s i n ( 1 8 0 l 5 ) ) 7 r ， 肚酮一t a n 器， 尼瑟一锄瑟一笳、砂一锄砂一笳，缸一锄舐一笳 第三章基于两重包络原理加i ：圆柱凸轮廓面的误差计算与分析 三二积1 三：坼2 。 ( 3 - 7 ) 法线与刀具创成廓面交点丁的两个参变量( 0 ，h ) ，随法线与凸轮实际廓面交点k 的参变量( 1 9 1 ，扛) 变化而变化。 刀具创成廓面方程由式( 2 1 4 ) 表示为： r ”- - 融i + h ) s 卢i n o c 篡+ 。s o c s i n flh)coso。sino。sin3 一，1 一( 乞c o si l ( + j 3 = a r c t a n 蒜 式中，s ，= s + a r a 3 = a r c t a n = = 。 一 + h h 、0 为变量，j = 5 ( 18 0 - 5 s i n ( 18 0 5 ) ) x ，表示= ( 见) 对见求导， & = ( 9 0 - 9 0 c o s ( 1 8 0 5 ) ) 刀。 仨撼二0 瑟搿 此刀具创成廓面的代数方程和法线方程的转化形式 将式( 3 - 7 ) 进一步表示为： i 歌1 h ( 3 8 ) ( 3 7 ) 联立，可以求解出交点。 ( 3 9 ) 将式( 3 9 ) 代入式( 3 8 ) 中，可得到一个关于y 、0 、h 的方程组： r1 i 忑责面( y 一儿) + x k 一& 一c o s 3 = 0 y +