（基础数学专业论文）多变量的对偶toeplitz算子及hankel算子乘积.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 函数空间上的算子理论因为与算子理论、算子代数、函数论、微分方程、复分析、微 分拓扑等数学分支的紧密联系和在控制理论与应用、量子力学、概率统计等学科中的广 泛应用而成为算子理论和分析领域的热门研究方向t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子是函数 空间上两类重要的算子，它们对算子理论、算子代数和复分析有极其深刻的影响，因而吸 引了众多学者的关注 上个世纪五十年代以来数学家对t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子的研究热情持续升 温，并取得了大量重要的成果【l 一7 】特别是单位圆盘h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上的 t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子已经被人们深刻理解，并在数学领域和工程技术领域中得 到了广泛的应用但对于多变量的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子还有很多基本问题没有 解决，对它们的研究也变得更加困难一个很重要的原因就是高维区域的拓扑边界变得 非常复杂以及多元复分析理论在其中的应用也更困难本文主要研究的是多变量的对偶 t o e p l i t z 算子的交换性和代数性质，以及h a n k e l 算子乘积的有界性和紧性本论文的结 构安排如下： 第一章回顾有关乘法算子、t o e p l i t z 算子、对偶t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子的背景 知识，给出了几种常见的算子乘积，包括t o e p l i t z 算子乘积、h a n k e l 算子乘积和h a p l i t z 算子乘积等 第二章研究了多圆盘b e r g m a n 空间的正交补空间( 鹾( d 严) ) 1 上对偶t o e p l i t z 算子 的交换性、本性交换性和本性半交换性等首先，利用正规化再生核的特殊性和解 析函数的平均值性质，建立了秩为一的算子固k 与t o e p l i t z 算子之间的联系，把算 子ok 。表示为有限个t o e p l i t z 算子乘积的有限和形式，同时定义了( 筋( d 严) ) 上上的 算子c 。其次，利用算子k 。o 的t o e p l i t z 算子乘积的有限和形式，给出了两个对偶 t o e p l i t z 算子可交换的充分必要条件在此基础上研究了对偶t o e p l i t z 算子的正规性，得 到了对偶t o e p l i t z 算予是正规算子的充分必要条件最后，给出了两个对偶w o e p l i t z 算 子本性可交换的充分必要条件和本性半交换的充分必要条件 第三章研究了多圆盘b e r g m a n 空间的正交补空间( 瑶( d 严) ) j 。上对偶t o e p l i t z 算子 的代数性质，比如：有界性、紧性和谱性质等b r o w n 和h a l m o s 【3 】证明了经典h a r d y 空 间上只有零算子才是紧的t o e p l i t z 算子，并且证明了t o e p l i t z 算子有界等价于它的符号 是有界的对b e r g n a n 空间上的t o e p l i t z 算子这显然是不正确的事实上b e r g m a n 空 间上存在大量的无界函数诱导的有界t o e p l i t z 算子首先，我们证明了只有零算子是紧 的对偶t o e p l i t z 算子，同时给出了以平方可积函数为符号稠定义的对偶t o e p l i t z 算子有 界当且仅当它的符号函数是本性有界的其次，在由所有有界对偶t o e p l i t z 算子构成的 对偶t o e p l i t z 代数上构造了一个符号映射，利用此符号映射给出了有限个对偶t o e p l i t z i 多变量的对偶t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子乘积 算子乘积为0 的必要条件最后，讨论了对偶t o e p l i t z 算子的谱性质，给出了谱嵌入定理， 并且给出例子证明了对偶t o e p l i t z 算子的谱和本性谱有可能是不连通的 第四章研究了多圆盘b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子乘积，给出了 各种算子乘积有界和紧的充分条件和必要条件首先，利用第二章给出的b e r g m a n 空间 髓( d 严) 上的算子o 的表达式，得到了以平方可积函数为符号稠定义的算子乘积 日，三g 有界的充分条件和必要条件，并且这个必要条件很接近充分条件其次，给出了算 子乘积乃日：和王毛巧有界的充分条件和必要条件，形式与算子乘积日，域的有界条件 是相似的最后，讨论了算子乘积日f 点，：的紧性，得到了它的充分必要条件，类似地给出 了算子乘积乃日：和峨乃是紧算子的充分必要条件 第五章研究了单位圆盘加权b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子的乘积 加权b e r g m a n 空间a ：是d 上关于测度d a 。( o ) = + 1 ) ( 1 一2 ) “d a ( z ) 平方可积的 解析函数空间，七拶) 是加权b e r g m a n 空间a ：的正规化再生核首先，在加权b e r g m a n 空间上将秩为一的算子蠡乎p 七# ) 表示成了t o e p l i t z 算子的级数和形式，从而把这个算 子和t o e p l i t z 算子又一次紧密联系了起来特别是，当权。为非负整数时，这个表达式 是t o e p l i t z 算予有限乘积的存限和形式在此基础上得到了算子乘积日，日：有界的充分 条件和必要条件其次，给出了算子乘积乃日：和峨巧有界的充分条件和必要条件最 后讨论了，当权a 为非负整数时，算子乘积乃乃和日r 上g 的紧性，得到了它的充分必要 条件，同样也得到了算子乘积乃上g 和f 巧是紧算子的充分必要条件 关键词：t o e p l i t z 算子；h a n k e l 算子；对偶t o e p l i t z 算子；b e r g m a n 空间；多圆盘 i i 大连理工大学博士学位论文 d u a lt o e p l i t zo p e r a t o r sa n dp r o d u c t so fh a n k e lo p e r a t o r si n t h es e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s a b s t r a c t o p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o ns p a c e sh a sb e i n gt h eh o tp r o b l e mf o rd i s c u s s i o ni nt h e f i e l do fo p e r a t o rt h e o r ya n da n a l y s i s a n di ti sc l o s e l yr e l a t e dw i t ho p e r a t o rt h e o r y , o p e r a - t o ra l g e b r a ，f u n c t i o nt h e o r y , d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，c o m p l e xa n a l y s i s ，d i f f e r e n t i a lt o p o l o g y a n ds oo n o nt h eo t h e rh a n d ，i th a sm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nc o n t r o l ，q u a n t u m m e c h a n i c s ，p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s ，e t c t o e p l i t zo p e r a t o r sa n dh a n k e lo p e r a t o r s ，t h e m o s ti m p o r t a n to p e r a t o r so nt h ef u n c t i o ns p a c e s ，w h i c hh a v et h ee x t r e m e l yp r o f o u n da f - f e c tt ot h eo p e r a t o rt h e o r y , t h eo p e r a t o ra l g e b r aa n dt h ec o m p l e xa n a l y s i s ，h a v ea t t r a c t e d t h ea t t e n t i o n so fm a n ys c h o l a r s s i n c e1 9 5 0 s ，t h ee n t h u s i a s m so ft h em a t h e m a t i c i a n sf o rt h er e s e a r c ho ft o e p l i t zo p - e r a t o r sa n dh a n k e lo p e r a t o r sh a v eb e e ne e c a l a t e dc o n t i n u o u s l y , a n dm a n yi m p o r t a n t a c h i e v e m e n t sh a v eb e e no b t a i n e df 1 - 7 1 s i n c em o s to ft h es t u d i e sa r eb a s e do nt h eh a r d y s p a c ea n dt h eb e r g m a ns p a c eo ft h eu n i td i s k ，t h e r ei ss t i l lal a c ko ft h e i rp r o p e r t i e so n t h eh i g h e rd i m e n s i o n a lr e g i o nf o rt h er e a s o nt h a tt h et o p o l o g i c a lb o u n d a r yo ft h eh i g h e r d i m e n s i o n a lr e g i o ni sv e r yc o m p l i c a t e da n dt h em u l t i - d i m e n s i o n a lc o m p l e xa n a l y s i st h e o r y i sv e r yw h i m s i c a l w h i c hm a k ei td i f f i c u l tt ob ee x t e n d e d t h i st h e s i si sm a i n l ya b o u tt o d i s c u s st h ec o m m u t a t i v i t ya n dt h ea l g e b r ap r o p e r t i e so fd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r s ，a n dt o p r o v et h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fp r o d u c t so fh a n k e lo p e r a t o r si nt h es e v e r a l c o m p l e xv a r i a b l e s t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： s o m eb a c k g r o u n di n f o r m a t i o na b o u tt o e p l i t zo p e r a t o r s ，d u a lt o p l i t zo p e r a t o r sa n d h a n k e lo p e r a t o r si sr e v i e w e da n ds e v e r a lo p e r a t o r sp r o d u c t sa r ei n t r o d u c e di nc h a p t e r1 ， i n c l u d i n gt o e p h t zp r o d u c t s ，h a n k e lp r o d u c t s ，h a p h t zp r o d u c t sa n ds oo n t h es e c o n dc h a p t e rm a i n l yd e a l sw i t hc o m m u t a t i v i t yo fd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r so f t h ep o l y d i s k ，s u c ha st h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fc o m m u t i n gd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r s ，e s s e n - t i a n yc o m m u t i n gd u a lt o e p h t zo p e r a t o r sa n de s s e n t i a l l ys e m i - c o m m u t i n gd u a lt o e p l i t z o p e r a t o r s t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r ep r e s e n t e d ：b yt h ep r o p e r t yo fm e a nv a l u eo ft h e h o l o m o r p h i ef u n c t i o n sa n dt h ep r o p e r t yo ft h er e p r o d u c i n gk e r n e lk ，w eg e tt h er a n k o n eo p e r a t o r 圆b yaf i n i t es u mo ff i n i t ep r o d u c t so ft o e p l i t zo p e r a t o r so n 瑶( d “) ， a n dd e f i n et h eo p e r a t o rc 伽u n d e rt h i sc o n d i t i o n ，w ed e s c r i b ew h e nt w od u a lt o e p l i t z i i i 多变量的对偶t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子乘积 o p e r a t o r sw i t hb o u n d e dm e a s u r a b l ef u n c t i o n ss y m b o lc o m m u t e a sac o n s e q u e n c e ，w e m a k eac o n c l u s i o nt h a tt h ed u a lt o e p l i t zo p e r a t o ri sn o r m a li fa n do n l yi ft h er a n g eo ft h e s y m b o ll i e so n al i n e m o r e o v e r ，w ed i s c u s st h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fe s s e n t i a l l yc o m m u t i n g d u a lt o e p l i t zo p e r a t o r sa n de s s e n t i a l l ys e m i c o m m u t i n gd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r s c h a p t e r3d i s c u s s e st h ea l g e b r a i ca n ds p e c t r a lp r o p e r t i e so fd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r s o nt h eo r t h o g o n a lc o m p l e m e n to ft h eb e r g m a ns p a c e ，s u c ha sb o u n d e d n e s s ，c o m p a c t n e s s ， s p e c t r a lp r o p e r t i e sa n ds oo n b r o w na n dh a l m o s 3 】s h o w e dt h a tt h eo n l yc o m p a c t t o e p l i t zo p e r a t o ro nt h eh a r d ys p a c ei st h ez e r oo p e r a t o ra n dat o e p l i t zo p e r a t o ri s b o u n d e do nt h eh a r d ys p a c ei fa n do n l yi fi t ss y m b o li sb o u n d e d t h i si se a s i l ys e e n t ob ef a l s ef o rt h et o e p l i t zo p e r a t o ro nt h eb e r g m a ns p a c e a sam a t t e ro ff a c t t h e r e a r es om a n yu n b o u n d e ds y m b o l st h a ti n d u c eb o u n d e dt o e p l i t zo p e r a t o r s w ew i l lp r o v e t h a tt h eo n l yc o m p a c td u a lt o e p l i t zo p e r a t o ri st h ez e r oo p e r a t o r a n dt h a tad e n s e l y d e f i n e dd u a lt o e p l i t zo p e r a t o rw i t hs q u a r ei n t e g r a b l es y m b o li sb o u n d e di fa n do n l yi fi t s s y m b o li se s s e n t i a l l yb o u n d e d w ec o n s t r u c tas y m b o lm a po nt h ed u a lt o e p l i t za l g e b r a g e n e r a t e db ya l lb o u n d e dd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r s a sa na p p l i c a t i o no fo u rs y m b o lm a p w eo b t a i nan e c e s s a r yc o n d i t i o no ns y m b o l so faf i n i t en u m b e ro fd u a lt o e p l i t zo p e r a t o r s w h o s ep r o d u c ti st h ez e r oo p e r a t o r f i n a l l y , w ed i s c u s ss p e c t r a lp r o p e r t i e so fd u a lt o e p l i t z o p e r a t o r s w ep r o v eas p e c t r a li n c l u s i o na n dg i v ee x a m p l e st os h o wt h a ti ng e n e r a t h e s p e c t r m na n de s s e n t i a ls p e c t r u mo fad u a lt o e p l l t zo p e r a t o rc a nb ed i s c o n n e c t e d p r o d u c t so ft o e p l i t zo p e r a t o r sa n dh a n k e lo p e r a t o r so nt h eb e r g m a ns p a c eo ft h e p o l y d i s ka r ei n v e s t i g a t e di nc h a p t e r4 u t i l i z i n gt h ee x p r e s s i o no f 8 ，w ec o n s i d e r t h eq u e s t i o nf o rw h i c hs q u a r ei n t e g r a b l ef u n c t i o n a n dgo nt h ep o l y d i s kt h ed e n s e l y d e f i n e dp r o d u c t sh f h ；a r eb o u n d e do nt h eb e r g m a ns p a c e ，a n dan e c e s s a r yc o n d i t i o n a n das u f f i c i e n tc o n d i t i o na r eo b t a i n e d w ep r o v et h a tac o n d i t i o ns l i g h t l ys t r o n g e rt h a n t h en e c e s s a r yc o n d i t i o nw eg e ti ss u f f i c i e n tf o rt h eb o u n d e d n e s so fh a n e k lo p e r a t o r s f u r - t h e r m o r e ，w eo b t a i ns i m i l a rr e s u l t sf o rm i x e dh a p l i t zp r o d u c t st j h ：a n dh 9 t i f i n a l l y , t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rc o m p a c t n e s so fh a n k e lp r o d u c t sa r ed i s c u s s e d p r o d u c t so ft o e p l i t zo p e r a t o r sa n dh a n k e lo p e r a t o r so i lt h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c e o ft h eu n i t d i s kf o r mt h et o p i co fc h a p t e r5 t h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c e 镌i st h e s p a c eo fa n a l y t i cf u n c t i o n so ndw h i c ha r es q u a r ei n t e g r a b l ew i t hr e s p e c tt ot h em e a s u r e d a nz ) = ( o t + 1 ) ( 1 一1 2 1 2 ) 8 d a ( z ) t h ef u n c t i o n s 七# ) a r et h en o r m a l i z e dr e p r o d u c i n g k e r n e l sf o ra ：w ea l s of o u n dae x p r e s s i o no fr a n ko n eo p e r a t o r 豇乎8 七# ) o nt h ew e i g h t e d b e r g m a ns p a c e e s p e c i a l l y , w h e n8i san o n n e g a t i v ei n t e g e r ，i ti sj u s taf i n i t es u mo ff i n i t e p r o d u c t so ft o e p l i t zo p e r a t o r s u s i n gt h i se x p r e s s i o n ，w eg e tt h ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h e b o u n d e d n e s so fo p e r a t o r sp r o d u c t s ，s i m i l a rt ot h ec a s eo ft h eu n w e i g h t e d f i n a l l y , w e 大连理工大学博士学位论文 d i s c u s st h ec o m p a c t n e s so fo p e r a t o r sp r o d u c t sw h e no ti san o n n e g a t i v ei n t e g e r ，w h i c hi s a l s os i m i l a rt ot h ec a s eo ft h eu n w e i g h t e d k e yw o r d s ：t o e p l i t zo p e r a t o r ；h a n k e lo p e r a t o r ；d u a lt o e p l i t zo p e r a t o r ； b e r g m a ns p a c e ；p o l y d i s k v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或 者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：必日期：銎监! 羔 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规 定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名：衄鱼 导师签名 j 丑年上月日 大连理工大学博士学位论文 1绪论 算子理论是数学领域的一个重要分支十九世纪末和二十世纪初，由于对无穷维线性 空间、积分方程等问题的研究，算子理论得到了蓬勃发展由于算子理论在数学的其它分 支以及物理学、机械学、控制理论等方面的应用，特别是，它对于量子力学研究的划时代 的影响，奠定了它在数学领域的基础地位，并成为数学领域研究的主流方向之一算子理 论经过八十余年的发展，不仅丰富了算子理论本身，对数学发展的影响更是不可估量的 最直接的，算子代数、驴代数、复分析等数学分支的发展都受到算子理论的强大推动数 学领域本身以及其它学科不仅要求回答算子的一般问题，更要求研究特殊算子类，如：平 移算子、t o e p l i t z 算子、h a n k e l 算子等等对这些特殊算子类的研究以及对算子理论中 一些基本问题f 8 1 的回答促使了算子理论的深入发展与完善 自上世纪五十年代以来，函数空间上的算子理论一直是算子理论的中心方向之一，其 中乘法算子、t o e p l i t z 算子、h a n k e l 算子、复合算子是人们最为关注的这是由于这些算 子具有极其重要的理论及应用价值，例如，一些微分算子与积分算子经过f o u r i e r 变换后 将会变成函数空间上的乘法算子：再比如，h a r d y 空间上的h a n k e l 算子实际上是一类线 性系统的实现矩阵 本章主要给出t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子乘积的历史背景和发展过程 1 1 t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子概述 t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子的研究已有近百年的历史t o e p l i t z 算子的起源可以追 溯到上世纪初( 1 9 1 1 年) 德国数学家t o e p l i t z 对t o e p l i t z 矩阵性质的研究 9 t o e p l i t z 矩阵是一种特殊的无穷维矩阵，特征是对角线及次对角线上的诸元素都是常值，也就是 对矩阵【。玎b ，总是存在某个数列 o 。) 。z 使得。嵇= a i j t o e p l i t z 主要是对z 2 ( z ) 和z 2 ( z + ) 上由t o e p l i t z 矩阵定义的算子的研究，但t o e p l i t z 所关心的是至多有限个a n 不为零的情形利用f o u r i e r 变换，这些算子可以呈现更简单的形式t o e p l i t z 证明了 由数列 8 。) 。z 定义的t o e p l i t z 矩阵可以定义1 2 ( z ) 或1 2 ( z + ) 上一个有界算子当且仅 当 n 。) 。z 是l o o ( ”f ) 中某个有界可测函数妒的f o u r i e r 系数，此处t 表示单位圆周 b r o w n 和h a l m o s 3 证明了若 口。h z 是妒的f o u r i e r 系数，则在日2 口) 的标准正交基 扩) 。e z + 下，t o e p l i t z 算子。的矩阵表示 o q j i ，j 满足q 玎= a i j h a n k e l 矩阵也是种特殊的无穷维矩阵 a ，b ，对于表值q 巧总存在数列 h 。z 使得。巧= a i 廿h a n k e l 矩阵第一次出现在法国数学家h a n k e l 的文章【10 中，他的目 的是研究有限维h a u k e l 矩阵的行列式，这个行列式在矩问题和正交多项式的研究中有着 非常重要的作用1 1 h a n k e l 算子的研究起源于n e h a r i 的开创性文章 1 2 】，在该文章中 1 多变量的对偶t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子乘积 n e h a r i 证明了由数列 ) 。z 定义的h a n k e l 矩阵可以定义1 2 ( z ) 或1 2 ( z + ) 上一个有界 算予当且仅当 ) 。z 是l ”( t ) 中某个有界可测函数妒的f o u r i e r 系数，并且在日2 ( t ) 的标准正交基 扩 。z + 下，h a n k e l 算子上0 的矩阵表示陋巧k 满足n 巧= 。卅 设p 是l 2 口) 到h a r d y 空间h 2 ( t ) 的正交投影，妒l 。( t ) ，则经典的h a r d y 空 间h 2 ( t ) 上的t o e p l i t z 算子耳和h a n k e l 算子冠p 是如下定义的： 孔：日2 ( t ) ，月2 ( 霄) ，耳f = p ( 妒，) ，f h 2 ( t ) ，( 1 1 ) 月；：日2 ( t ) ，( h 2 ( t ) ) 上，月j ，= ( i p ) ( q o f ) ，h 2 ( t ) ( 1 2 ) h a t d y 空间上的乘法算子定义为虬f = 妒，它的性质是比较容易解释的特别地， 映射妒一 砧是一个非常好的等距代数同态由于等式( 1 1 ) 和( 1 2 ) 中定义的算子都 是乘法算予和投影算子的复合算子，从而使得t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子的研究变得 非常复杂，也因而引起更多数学家的关注 从上世纪五十年代开始，h a r t m a n 和w i n t e r 研究了t o e p l i t z 矩阵和t o e p l i t z 算子 的谱【1 ，2 1 ；从六十年代开始，b r o w n 和h a l m o s 通过对映射妒一咒很好的刻画，系统地 研究了t o e p l i t z 算子的代数性质 3 ；p o w e rf 1 3 - 1 5 1 等人系统地研究了h a n k e l 算子的代 数性质由此，t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论成为算子理论中一个非常活跃的方向，历 时半个多世纪，经久不衰此后，d o u g l a s 又开创了用代数的方法去研究这些问题，使得对 t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子的研究，无论是从方法上，还是在理论上，都有了很大进展 这种对t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子兴趣不断增长的势头至少有以下两个方面的原 因一方面t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子与物理、概率论、信息控制论等别的学科中的问 题有着广泛而重要的联系；另一方面，除了微分算子外，t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子组成 了最重要的非自伴算子类，它们与算予理论、函数论、b a n a c h 代数等数学分支中的问题 相互联系、相互影响、相互推动，从而成为这些学科必不可少的重要组成部分 经典的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论是关于h a r d y 空间上的算子，关于这部分 理论可见专著| 4 ，5 1 以及【1 6 】近几十年来，经典的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论己 被拓展到了各种不同的函数空间上，在不同的函数空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算 子理论得到了广泛的研究，取得了长足进展这大致可以分为四类 第一类是b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子由c “中不同类型的区 域就构成了不同类型的b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子关于单位圆盘 b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子理论可见f 7 1 关于c ”中各种类型区域b e r g m a n 空间 上的t o e p l i t z 算子理论可见 17 】关于b e r g m a n 空间上的h a n k e l 算子理论可见 7 ，1 8 _ 2 1 b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子与h a n k e l 算子和h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子与 h a n k e l 算子是有本质区别的以我们最熟悉的单位圆盘的b e r g m a n 空间瑶) 来看，它 与h a r d y 空间的区别是众多的比如：h a r d y 空间上不存在非零的紧t o e p l i t z 算子，但 瑶( d ) 上存在大量的紧t o e p l i t z 算子；h a r d y 空间上的h a n k e l 算子是紧的当且仅当其 2 大连理工大学博士学位论文 符号在c ( t ) + 日。( t ) 中，但鹾( d ) 上存在大量的由非有界符号诱导的紧h a n k e l 算子； h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子的谱总是复平面上的连通子集但容易找到b e r g m a n 空间 上的t o e p l i t z 算子，它的谱是离散的( 紧算子即如此) 另外，h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算 子和h a n k e l 算子若是有界线性算子，则它的符号一定是本性有界的，但在b e r g m a n 空间 上，以无界函数为符号完全可以确定一个有界的t o e p l i t z 算子或h a n k e l 算子更为引入 注目的区别还有h a t d y 空间上的t o e p l i t z 算子完全是由一个算子方程决定但b e r g m a n 空间上不存在刻画t o e p l i t z 算子的这样的方程【2 2 】这使得b e r g n u m 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论更复杂，由此也变得更精彩 第二类是推广的h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子关于这类t o e p l i t z 算子理论首先是由d e v i n a t z 【2 3 】在d i r i c h l e t 代数上开始研究的，之后m u r p h y 【2 4 - - 2 6 在 更一般的函数代数上研究了这类t o e p l i t z 算予卢玉峰f 2 7 】研究了推广的h a r d y 空间上 的h a n k e l 算子给出了刻画h a n k e l 算子的算子方程推广的h a r d y 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子与经典的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子是紧密联系的，因后者是前者 的一个特例这些理论不仅丰富了t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论，更为重要的是为抽 象的函数代数理论找到了恰如其分的应用，并将t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论由具 体的函数空间拓展到了抽象的函数空间上去 第三类是将l 2 ( r 十) 上的w i e n e r - h o p f 算子推广到更一般的关于锥的l 2 空间上 【2 8 】l 2 ( 酞+ ) 空间上的w i e n e r - h o p f 算子理论一直是平行于t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算 子理论发展的，直到r o s e n b l u m 【2 9 和d e v i n a t z 【3 0 证明w i e n e r - h o p f 算子是酉等价于 t o e p l i t z 算予的尽管w i e n e r - h o p f 算子与t o e p l i t z 算子是酉等价的但在某些背景下 考虑w i e n e r - h o p f 算子可能是更自然的，因而人们也在关注和研究w i e n e r - h o p f 算子的 各种推广情形 第四类是d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子r o c h b e r g 和w u 首先讨 论了d i r i c h l e t 空间上以非负测度为符号的t o e p l i t z 算子【3 1 - 3 3 】c a o 讨论了d i r i c h l e t 空间上以连续函数为符号的t o e p l i t z 算子【3 4 - 3 6 1 ，之后曹广福等人研究了不同类型区域 的d i r i c h l e t 空间上t o e d l i t z 算子的紧性、凸性、f r e d h o l m 性质、谱性质和若于代数性质 f 3 7 _ 4 3 1 l uy f 和s u ns h 讨论了d i r i d l l e t 空间上的t o e p l i t z 算子的代数性质【4 4 1 ， 在文献【4 5 1 中部分地回答了【3 1 】中的问题，并给出了d i r i c h l e t 空间上t o e p l i t z 算子的 一个稠密性定理李冀申讨论了圆环的d i f i c 跳空问上的h a n k e l 算子和t o e p l i t z 算予 以及以解析函数为符号的这类算子的有界性和紧性的充分必要条件i 矧d i r i c h l e t 空间 上的t o e p l i t z 算子理论的研究才刚刚开始 t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子理论内容非常丰富、庞杂，并且有许多非常重要的问题仍 未得到解决t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子中许多重要问题的解决除要利用函数论、b a n a c h 代数、复几何等工具外，还依赖于拓扑学、李代数、微分方程等理论 3 多变量的对偶t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子乘积 1 2 t o e p l i t z 算子和对偶t o e p l