暑假强化班高数题型方法总结归纳.pdf

谷哥出品 必属经典 新浪微博 谷存昌 day 1 2 第一第一讲讲 函数函数 极限与连续性极限与连续性 题型题型一一 函数的特性函数的特性 函数 奇偶性 周期性 单调性 有界性 fx 偶 奇 周期函数 t 导函数未必单调 如下 f x 条件 奇 偶 周期函数 t 单调函数 条件 如下 0 x f t dt 偶 奇 未必为周期函数 原函数未必单调 如下 1 关于 函数有界性 与 导数有界性 之间的关系 结论结论 1 若函数 f x在 a b上可导 则 fx 在 a b上有界 f x在 a b上有界 反 之 不 真 反 例 fxxabx 在 a b上 可 导 且 有 界 但 是 2 2 xab fx xa bx 在 a b上无界 逆否命题 f x在 a b上无界 fx 在 a b上无界 结论结论 2 若函数 f x在 上可导 则 fx 在 上有界 是 f x在 上有界 的既非充分条件又非必要条件 sinf xxx 在 上可导且无界 但是 1 cosf xx 在 上有界 2 sin f xx 在 上可导且有界 但是 2 2 cos fxxx 在 上无 界 结论结论 3 若函数 f x在 a 上恒有 0fxm 可导 则lim x f x 2 判断函数 f x在区间i上有界的方法 1 函数 f x在闭区间 a b上连续 则 f x在 a b上有界 2 函数 f x在开区间 a b上连续 且lim lim xaxb f xf x 都存在 则 f x在 a b上 有界 3 0 mstf xmxi 则 f x在区间i上有界 4 导函数 fx 在有限区间i上有界 则 f x在区间i上有界 3 判断函数 f x在区间i上无界的方法 2 1 函数 f x在开区间 a b上连续 lim lim xaxb f xorf x 之一不存在 则 f x在 a b上无界 2 n nn xi stf x 则 f x在区间i上无界 题型题型二二 求极限求极限 记住常用的极记住常用的极限 限 00 11 lim arctan lim arctan 22 xx xx 11 00 lim lim0 xx xx ee 22 00 lim1 lim1 xx xx xx 00 lim0 lim1 xx xx 0 lim1 x x x 1 limlim1 x x xx xx 1 数列的极限 1 夹逼准则 若存在n 当nn 时 nnn yxz 且limlim nn nn yza 则lim n n xa 主要用于 n 项和或者 n 项积求极限 2 单调有界准则 n a单调 且有界 则lim n n aa 存在 3 定积分的定义 1 0 1 1 lim n n i i ff x dx nn 4 转化为函数的极限 设 n xf n 则limlim lim n nnx xf nf x 2 函数的极限 葵花宝典 葵花宝典 先定型 再化简 后定法 见招拆招 见招拆招 先定型 7 种未定式 00 0 0 1 0 0 再化简 1 若lim 0g xk 则 limlim f xg xf x k h xh x 2 等价无穷小替换 3 变量替换 1 2 tx ttx x 4 通分 有理化等 后定法 1 0 0 a 利用等价无穷小量替换 b 洛必达法则 c 利用导数的定义 d 泰勒公式 2 a 洛必达法则 b 分子分母除最大的无穷大 抓大头 3 各种函数关系 ln 0 1 xx xxxaax 3 0 转化成 1 或者 2 4 通分 倒代换 提出最大无穷大 5 00 1 0 lim ln ln lim lim g xg xf x g xf x f xee 特别地 计算1 型极限的最简单方法是使用如下公式 lim 1 lim lim1 lim v x u xv x u xeu xv x 式中 3 已知极限求参数 利用结论 1 lim 0 lim f x g xa g x 则lim 0f x 2 lim 0 lim0 f x f xa g x 则lim 0g x 3 已知lim f x g xa lim f x 则lim 0g x 题型题型三三 无穷小的比较无穷小的比较 无穷小量的比较定义 在自变量同一变化过程下 0 0 xx 1 高阶 若 lim0 x x 记为 xx 2 低阶 若 lim x x 记为 xx 3 同阶 若 lim0 x c x 记为 xox 特别地 若1c 称 xx 是等价无穷小 记为 xx 4 无穷小量的阶 若 lim0 k x c x 称 x 是 x 的k阶无穷小量 无穷小量的比较的方法提示 0 xx 0 0 0 1 利用定义 000 lim lim lim xxxxxx 2 比较 的阶 4 3 求出 关于 0 xx 的阶 i 定义 0 0 lim0 k xx c xx ii 找等价无穷小 0 n n a xx iii 利用泰勒公式 题型题型四四 连续性与间断点的类型判断连续性与间断点的类型判断 1 连续性 f x在 0 xx 连续 0 0 lim xx f xf x 0 lim0 x y 2 间断点 所有可能的间断点集合 ux 没有意义的点 一定是 分段函数的分段点 可能是 利用极限判断是否是间断点 及其类型 0 11 sin cos 0 xx yx xx 左极限 右极限的间断点 可去 左右极限都存在 左极限右极限的间断点 跳跃 左右之一为无穷 无穷 左右极限之一不存在 振荡 3 连续函数在闭区间上的性质 1 最值性 若 f x在 a b上连续 则 f x在 a b上必有最大值和最小值 2 有界性 若 f x在 a b上连续 则 f x在 a b上有界 3 介值性 若 f x在 a b上连续 则 f x在 a b上可取到介于它在 a b上最小值与 最大值之间的一切值 推论 若 f x在 12 上连续 则 12 使得 12 1 01fff 4 零点定理 或根的存在定理 若 f x在 a b连续 且 0f af b 则必 a b 使 0f 推广 若 f x在 a b连续 且lim lim 0 xaxb f af b 包括无穷大 则必 a b 使 0f 5 第二第二讲讲 一元函数微分学一元函数微分学 题型题型一一 导数和微分的概念导数和微分的概念 1 导数定义 0 fx 00 0 lim x f xxf x x 0 0 0 lim xx f xf x xx 左导数 0 fx 00 0 lim x f xxf x x 右导数 0 fx 00 0 lim x f xxf x x 可导 左右导数都存在且相等 导数的等价定义 00 0 0 00 lim x f xxf x fx xxx 00 0 00 lim h f xhf x xhx 0 fx 存在 其中 1 0h 必须要包含两个方向 既要有0 又要有0 如果只有0 只表示右导数 如果只有0 只表示左导数 2 分子中减去的项必须是 0 f x 注 f x在 0 xx 可导 00 0 lim x f xxf xx x 存在 反之不真 2 微分定义 若 00 yf xxf xa xx 则称 f x在 0 x处可微 0 00 d d x x yfxxfxx d dyfxx 3 连续 可导与可微之间的关系 可微 可导 连续 4 导数与微分的几何意义 导数的几何意义 0 tanfxk 过曲线 yf x 上的点 00 xy的切线方程 000 yyfxxx 法线方程 000 0 1 0 yyxxfx fx 微分的几何意义 函数在切线上点的纵坐标的相应增量 题型题型二二 导数和微分的计算导数和微分的计算 6 1 四则运算法则 2 复合函数求导法 3 隐函数求导法 4 反函数求导数 5 参数方程求导法 6 对数求导法 7 高阶导数 题型题型三三 微分中值定理的相关证明微分中值定理的相关证明 一 证明 a b 使得 0f 或 0f 方法提示 对 f x或 fx 使用罗尔定理 二 证明 a b 使得 0gff 方法提示 构造辅助函数 f x 再用罗尔定理 f x的构造方法如下 1 积分法 1 将 换成x得 0g x f xfx 2 恒等变形 便于积分 3 积分 分离变量得 f x f xc 2 公式法 若欲证等式可变形为 0fxp x f x 则应取辅助函数为 p x dx f xf x e 3 经验法 条件中有定积分 则辅助函数为被积函数 常用的凑的形式 如 xx efxf xef x 1 kk xxfxkf xx f x 2 xfxf xf x xx 等 三 证明 a b 使得关于 0g f af bff 的等式成立 方法提示 利用拉格朗日中值定理或者柯西中值定理 四 证明存在两个点 a b 使得 0g ff 7 方法提示 利用两次中值定理 1 证明在 a b内存在 满足某种关系式的命题的程序 1 在欲证的等式中 将 和 分离开来 即把包含 的函数和包含 的函数分别放在等式 的两端 2 选择等式的一端应用一次中值定理或介值定理得到 再对等式的另一端应用一次中值 定理或介值定理得到 2 证明在 a b内存在 且 满足某种关系式的命题 1 关键是通过零点定理 介值定理或其他条件 找出符合题意的分界点 ca b 将区间 a b分成两个不相交的部分区间 2 在 a c和 c b上分别应用中值定理进行证明即可 五 证明存在 使得 0 n fk 方法提示 1 应用泰勒公式 首先要选择一点 0 x 将函数 f x在点 0 x处展开成泰勒公式 一般题设中 会提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点 0 x 通常取 0 x为函数值为零的点 导数值为零 的点 区间中点 函数的极值点或题设中给出的其他特殊的点 2 然后将区间端点a和b分别代入泰勒展开式 把得到的两个展开式相加或相减 如果欲证等 式 则再应用介值定理即可证明 如果欲证不等式 则继续取绝对值放大 缩小即可证明 题型题型四四 利用导数研究函数的性态利用导数研究函数的性态 单调性 凹凸性 极值与最值 渐近线 1 水平渐近线 水平渐近线 若lim x f xa 或lim x f xa 或lim x f xa 则ya 是曲线的水平渐近线 2 垂直渐近线 垂直渐近线 若 d2 d xx aa f xaxf tttf tt 或lim xa f x 则xa 为曲线 yf x 的一条 垂直渐近线 3 斜渐近线 斜渐近线 若 lim0 x f x a x lim x f xaxb 或 lim0 x f x a x lim x f xaxb 则 yaxb 是曲线 yf x 的一条斜渐近线 8 注 注 水平和垂直渐近线都是至多两条 垂直渐近线发生在无穷间断点处 在同一个方向上 水平和斜渐近线不能共存 请大家思考 在求水平和斜渐近线时 什么情况下只需要求x 而有些情况下需要求 x 和 x 第三讲第三讲 一一元函数积分学元函数积分学 题型题型一一 不定积分 定积分和反常积分的概念不定积分 定积分和反常积分的概念 原函数存在性 函数可积及积分变限函数的性质 原函数的存在性 1 如果函数f x 在 a b 内连续 则f x 在 a b 内必存在原函数 2 如果函数f x 在 a b 内有第一类间断点 则f x 在 a b 内一定不存在原函数 3 如果函数f x 在 a b 内有第二类间断点 则f x 在 a b 内可能存在原函数 定积分的存在性 1 设函数f x 在 a b 上连续 则 b a f x dx 存在 2 设函数f x 在 a b 上有界 且只有有限个间断点 则 b a f x dx 存在 3 设函数f x 在 a b 上单调有界 则 b a f x dx 存在 变限积分性质 1 若f x 在 a b 上连续 则 x a f t dt 可导 且 x a f t dtf x 2 若f x 在 a b 上可积 f x 在 a b 上可能有间断点 则 x a f t dt 在 a b 上连续 但不一定可 导 题型题型二二 不定积分 定积分和反常积分的计算不定积分 定积分和反常积分的计算 不定积分的计算不定积分的计算 1 利用不定积分的基本积分公式 对被积函数 f x进行恒等变形 转化为基本积分表中的形式进行积分 一定要把基本积分公 式记牢 以下 9 个基本公式要加强记忆 1 tan dln cosx xxc 2 cot dln sinx xxc 3 sec dln sectanx xxxc 4 csc dln csccotx xxxc 5 22 11 dln 2 xa xc xaaxa 0 a 6 22 11 darctan x xc axaa 0 a 9 7 22 1 darcsin x xc a ax 0 a 8 22 22 1 dln xxxac xa 0 a 9 22 22 1 dlnxxxac xa 0 a 2 第一类换元法 也称凑微分法 d d d ux fxxxfxxf uufxc 3 第二类换元法 也称变量替换法 1 d d t x f xxfttt 主要有三种变量替换法 1 整体代换 被积函数中有哪个因子或哪一项导致不易积分时 以简化被积函数为目的 通常可以令这个因子或这一项为t这种代换称为整体代换 2 三角代换 如果被积函数中含有 22 ax 22 ax 22 xa 时 常常采用三角代 换 具体代换如下 含 22 ax 令 sin 2 2 xat t dcos dxat t 或者令cos 0 xat t dsin dxat t 含 22 ax 令 tan 2 2 xat t 2 dsec dxat t 含 22 xa 令 sec 0 2 xat t dsec tan dxatt t 3 倒代换 被积函数中含因子 1 x 可以考虑令 1 t x 转化为t的函数进行积分 这种代换 称为倒代换 4 分部积分法 ddu vuvv u 凑的原则是 反对幂三指 5 有理函数 有理分式 的积分 6 三角函数有理式 sin cos rxx的积分 仅数学一 数学二要求 可采用万能代换 即令tan 2 x tx 那么 2 2 2tan 2 2 sin 1 1tan 2 x t x x t 2 2 2 2 1tan 1 2 cos 1 1tan 2 x t x x t 2 sin2 tan cos1 xt x xt 10 2arctanxt 2 2d d 1 t x t 7 简单无理函数的积分 仅数学一 数学二要求 简单无理函数的积分也就是含有根号的积分 其求解的主要思路是去根号 去根号主要有两 种方法 1 幂代换 将简单无理函数的积分化为有理函数的积分 对于类型 d n r xaxbx 可令 n taxb 对于类型 d mn r xaxbaxbx 可令 k taxb 其中 k为m和n的最小公倍数 对于类型 d n axb r xx cxd 可令 n axb t cxd 2 万能代换 将简单无理函数的积分化为三角函数有理式的积分 定积分的计算定积分的计算 方法提示 1 牛顿 莱布尼茨公式 连续函数 f x在区间 a b上的一个原函数为 f x 则 d b b a a f xxf bf af x 2 定积分的换元积分法 d d xt b a f xxfttt 令 当 xta 时 1 ta 当 xtb 时 1 tb 3 定积分的分部积分法 设函数 u x v x在区间 a b上具有连续导数 ux vx 则 d d bb b a aa u vuvv u 4 求分段函数的定积分 1 将被积函数写成分段表达式 每段上均为初等函数 2 利用定积分的可加性 将积分化为若干个积分之和 分别计算再求和 5 利用积分技巧计算定积分 1 对称区间上的定积分 1 若 f x为奇函数 则 d0 a a f xx 2 若 f x为偶函数 则 0 d2 d aa a f xxf xx 3 一般地 0 d d aa a f xxf xfxx 2 周期函数的定积分 11 设 f x为以t为周期的连续函数 则对于任意的常数a及整数n 有 1 0 d d a tt a f xxf xx 2 2 00 2 d d d d t a ntntt t a f xxf xxnf xxnf xx 3 华里士公式 22 00 131 22 2 sindcosd 132 1 1 23 nn nn n nn x xx x nn n nn 为正偶数 为大于 的正奇数 6 涉及变限积分函数的问题 1 若 f x在 a b上连续 则 d x a f tt 可导 且 d x a f ttf x d b x f ttf x 2 若 f x在 a b上可积 f x在 a b上可能有间断点 则 d x a f tt 在 a b上连续 但 不一定可导 3 若 f x在 a b上连续 x x 在 上可导 且当 x 时 axb axb 则 d x x df tt fxxfxx dx 7 反常积分的计算 有类似的换元法 分部积分法和牛顿 莱布尼茨公式 1 无穷限反常积分 如果 f x是 fx的原函数 则 d lim a ax f xxf xf xf a 类似地有 d lim b b x f xxf xf bf x d l i m l i m xx f xxf xf xf x 分部积分公式 d d a aa u vuvv u 要求 a uv d a v u 都收敛才成立 其他 的形式类似 2 无界函数的反常积分 12 当a为瑕点时 d lim b b a a xa f xxf xf bf x 当b为瑕点时 d b b a a f xxf x lim xb f xf a 当 c acb 为瑕点时 d d d l i m l i m bcb aac xcxc fxxfxxfxxf xf af bf x 分部积分公式 d d bb b a aa u vuvv u 要求 b a uv d b av u 都收敛才成立 注 注 定义很重要 如dlimdv lim d aa a a aaaaa u vuuvv u 题型题型三三 积分等式和不等式的证明积分等式和不等式的证明 方法提示 详见补充材料 不等式的证明问题 和 有关积分的证明 证明定积分的等式 方法灵活 一般使用定积分的换元积分法和分部积分法 具体做法归纳 如下 1 若等式一端的被积函数为 f x 而另一端含有 fx 可作变量代换 ux 2 若等式两端的被积函数均为 f x的形式 而积分区间不同 要根据积分限之间的关系选 取变量代换 3 若被积函数出现sin cosxx或 sin cos fxfx时 常用变量代换 xu 或 2 xu 4 若被积函数含有 fx或 fx时 可考虑用分部积分法 5 若被积函数含有变限定积分 则应将变限定积分作为分部积分公式中的 u x 用分部积 分法进行证明 证明定积分不等式时常用的结论有 定积分的性质 比较大小和估值定理等 函数的单调性 微分中值定理 积分中值定理 泰勒公式等 1 若被积函数在积分区间上连续 则可构造辅助函数 利用函数的单调性证明不等式 辅助函数的构造方法 将要证结论中的积分上限 或下限 换成x 式中相同的字母也换成x 然后移项使不等式一端为 0 另一端的表达式即为所需的辅助函数 2 若被积函数 f x在区间 a b上一阶可导 且 0f a 或 0f b 则由拉格朗日中值 定理得 f xf xf axa f 或 f xf xf bx b f 由牛顿 莱布尼茨公式得 13 d x a f xf xf af tt 或 d d xb bx f xf xf bf ttf tt 然后根据题意进行不等式的放缩 利用定积分的性质 比较大小和估值定理等 分析处理 3 若被积函数 f x二阶以上可导 则可用泰勒公式 1 21 00 000000 1 2 nn nn fxfxf f xf xfxxxxxxxxx nn 其中 介于 0 x与x之间 通常情况下 点 0 x一般选取为 000 2 ab xa xb x 或题设中的 0 fx 还可选 f x的极值点或最值点 一般有 0 0fx 题型题型四四 定积分的应用定积分的应用 方法提示 1 求平面图形的面积有 1 求直角坐标系中图形的面积 d b a af xg xx 或 d d c af yg yy 2 求边界曲线为参数方程 xt yt t 的图形的面积 数一 数二 d t day xtt 3 求极坐标系下平面图形的面积 21 d 2 a 2 求旋转体的体积 1 如图 1 所示的区域 1 d绕x轴旋转所得旋转体的体积为 2 d b x a vfxx 2 如图 1 所示的区域 1 d绕y轴旋转所得旋转体的体积为 2 d b y a vxf xx 其中0 0af x 3 如图 2 所示的区域 2 d绕y轴旋转所得旋转体的体积为 2 d d y c vgyy 4 如图 3 所示的区域 3 d绕x轴旋转所得旋转体的体积为 14 22 21 d b x a vfxfxx 图 1 图 2 图 3 day 3 4 第第六六讲讲 多元函数微分多元函数微分学学 题型题型一一 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 方法提示 1 求二重极限及证明二重极限不存在 求二重极限常常借助于夹逼定理 两个重要极限推广形式 极限四则运算性质及初等函数的 连续性等 证明二重极限不存在 存在不同的两个变化趋势 极限都存在但是不相等 2 多元函数连续性 偏导数 全微分的概念 3 几个关系 二元函数 f x y在点 00 xy处 偏导数连续 可微 偏导数存在 0 0 lim xx yy f x y 存在 连续 4 判断二元函数 f x y在点 00 xy是否可微的方法 step1 f x y在点 00 xy的两个偏导数 00 x fx y与 00 y fxy是否都存在 若 00 x fx y与 00 y fxy其中之一不存在 则 f x y在点 00 xy不可微 若 00 x fx y与 00 y fxy都存在 则转入 step2 继续判断 step2 令 0000 zf xx yyf xy 若 0000 220 0 lim0 xy x y zfxyxfxyy xy 则 f x y在点 00 xy可微 且 00 0000 d d d xyxy zfxyxfxyy 否则 不可微 题型题型二二 多元函数偏导数多元函数偏导数 全微分的计算 全微分的计算 方法提示 1 求复合函数的偏导数 1 若 uu x y 和 vv x y 在点 x y处的偏导数存在 函数 zf u v 在对应点 15 u v 具有连续偏导数 则复合函数 zf u x y v x y 在点 x y处的偏导数存在 且 zfufv xuxv x zfufv yu yv y 这个公式的结构可简记为 2 设 zf u v 有连续偏导数 ut vt 都可导 则 ddd ddd zfufv tutvt 这个公式的结构可简记为 3 设 zf u v w 有连续偏导数 ux y vx y wx y 的偏导数存在 则 zfufvfw xuxv xwx zfufvfw yu yv yw y 这个公式的结构可简记为 由上述法则可看出 求复合函数对自变量的偏导数时 必经过所有的中间变量而最后到达自变 量 有几条分线 通道 该偏导数就有几项相加 每条分线有几条线段 该项就有几个因子相乘 即遵循 分线相加 连线相乘 的法则 2 求复合函数的全微分 求函数 zf x y 的全微分有两种方法 1 对题目所给函数或方程直接求全微分 利用全微分的形式不变性及全微分的四则运算法 则计算出含d dxy和dz的式子 解出dz即为所求 2 先求出 zz xy 再代入全微分公式ddd zz zxy xy 1 由一个方程确定的隐函数求导法 1 一元隐函数 设 f x y在点 00 xy的某邻域内有连续的偏导数 且 00 0f xy 00 0 y fxy 则方程 0f x y 在点 00 xy的某邻域内恒能唯一确定一个有连续导 16 数的函数 yy x 它满足 00 yy x 且 d d x y fy xf 2 二元隐函数 设 f x y z在点 0000 mxyz的某邻域内具有连续的一阶偏导数 且 000 0 f xyz 000 0 z fxyz 则在点 0 m的某邻域内由方程 0f x y z 可以确 定 唯 一 的 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数 zz x y 它 满 足 000 zxyz 且 x z fz xf y z f z yf 也可用全微分的形式不变性 对方程两边求全微分 得 d 0f x y z 即ddd0 xyz f xf yf z 可得 dd d xy z f xf y z f 则有 x z fz xf y z f z yf 0 z f 2 由方程组确定的隐函数求导法 数一 数二 设有方程组 0 0 f x y u v g x y u v 其中 fg有连续偏导数 若在区间i上存在函数 uu x y vv x y 满 足 该 方 程 组 则 说 此 方 程 组 确 定 了 隐 函 数 uu x y vv x y 若它们可导 则由 0 0 f x y u x y v x y g x y u x y v x y 及复合函数求导法 则 可得 uf gf g x vu vx vf gf g u xu vx 同理可解出 u y v y 注 重点掌握复合函数和隐函数的二阶偏导数 请大家思考 隐函数的二阶偏导数怎么和隐函数的最值联系起来 题型题型三三 多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用 无条件极值 条件极值和最值 注 注 重点掌握条件极值 请大家思考 最值和极值的区别和联系 怎么求最值 如二元连续函数在闭区域上的最值 17 第七第七讲讲 二重积分二重积分 题型题型一一 二重积分的计算二重积分的计算 1 直角坐标 1 d为x型区域 设区域d可以用不等式 12 axb y xyyx 表示 则 2 1 byx ayx d f x y ddxf x y dy 口诀 后积先定限 限内穿条线 先交为下限 后交为上限 2 d为y型区域 设区域d可以用不等式 12 cyd x yxxy 则 2 1 dxy cxy d f x y ddyf x y dx 2 极坐标 设积分区域d可表示成 12 rrr 则 2 1 cos sin r r d f x y ddf rrrdr 注 注 1 适合用极坐标计算的被积函数 22 yx fxyff xy 2 适合用极坐标的积分域 与圆域有关的区域 3 简化运算 1 若积分域d关于y轴对称 则 0 2 d 0 dx d f x yfx yf x y f x y d fx yf x y 2 若积分域d关于x轴对称 则 0 2 d 0 dy d f x yf xyf x y f x y d f xyf x y 3 轮换对称性 18 若d关于yx 对称 则 1 d d d 2 ddd f x yf y xf y xf x y 特别的 1 2 ddd f x df y df xf yd 题型题型二二 分段函数的二重积分分段函数的二重积分 利用积分的区域可加性 重点是考虑取什么的曲线分割积 题型题型三三 交换积分次序交换积分次序 2 1 12 byx ayx dxf x y dyxa xb yyxyyx 换元积分区域 d 再用其他方式 穿线 化重为累 题型题型四四 无界区域上的反常二重积分无界区域上的反常二重积分 数三 数三 用有界区域上的二重积分取极限来定义无界区域上的二重积分 day 4 上午 第八第八讲讲 常微分方程常微分方程 题型题型一一 一阶微分方程求解一阶微分方程求解 dy f x g y dx 可分离变量方程 解法 1 dyf x dxc g y y yf x 齐次方程 解法 令 y u x yp x yq x 一阶线性微分方程 解法 p x dxp x dx yeq x edxc 0 1 n yp x yq x yn 伯努利微分方程 数一 解法 令 1 n yz 则 1 1 dz n p x zn q x dx 0p x y dxq x y dy 其中 pq yx 全微分方程 数一 解法 1 00 0 xy xy u x yp x y dxq xy dyc 2 凑微分 题型题型二二 高阶微分方程求解高阶微分方程求解 一一 可降阶可降阶微分微分方程 数一 二 方程 数一 二 1 方程形式 yf x 解法 两边积分2次 2 方程形式 yf x y 不显含y 解法 令 dp yp y dx 3 方程形式 yf y y 不显含x 解法 令 dp yp yp dy 二二 高阶线性微分方程高阶线性微分方程 19 方程形式 yp x yq x yf x 1 0yp x yq x y 2 1 1 解的解的性质和性质和结构结构 1 12 y y为 2 的解 则 1122 c yc y 为 2 的解 2 12 y y为 2 两线性无关解 1 2 y c y 则 1122 c yc y 为 2 的通解 3 12 y y为 1 的解 则 12 yy 为 2 的解 4 12 y y为 2 两线性无关解 y为 1 的特解 则 1 122 yc yc y 为 1 的通解 5 如果 1 y x是 1 yp x yq x yf x 的特解 2 y x是 2 yp x yq x yfx 的特解 则 12 y xy x 是 12 yp x yq x yf xfx 的特解 2 2 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 1 1 二阶常系数齐次线性二阶常系数齐次线性微分方程微分方程 1 方程形式 12 0ya ya y 2 解法 特征方程 2 12 0aa 设 12 是特征方程两个根 1 不等实根 12 12 12 xx ycec e 2 相等实根 12 12 x yecc x 3 共轭复根 1 2 i 12 cossin x yecxcx 2 2 高高于二于二阶常系数齐次线性阶常系数齐次线性微分方程微分方程 数一 二数一 二 与二阶常系数其次线性微分方程解法类似 3 3 二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程 该考点是重要考点 出现在考题中的可能性比较大 12 ya ya yf x 1 ux n f xp x e 令 kux n yx q x e 其中k等于u作为特征方程根的重数 20 2 cos x n f xe p xx 或 sin x n f xe p xx 令 cos sin kx nn yx eq xxw xx 其中k等于i 作为特征方程根的重数 其中数三只考 sin ux n f xp x ex 3 3 二阶二阶欧拉方程 数一 欧拉方程 数一 1 方程形式 2 x yaxybyf x 2 解法 0 x 令 t xe 0 x 令 t xe 题型题型三三 微分方程的应用微分方程的应用 常微分方程与微分结合 如 牛顿第二定律 切线 切平面 因变量改变量等 常微分方程与积分结合 如 平面图形面积 旋转体体积 侧面积等 训练将实际问题转化为微分方程的能力 题型题型四四 差分方程 数三 差分方程 数三 一一 一阶常系数线性齐次差分方程一阶常系数线性齐次差分方程 1 方程形式 1 0 tt yay 1 2 解法 t c y tca 二二 一阶常系数线性非齐次差分方程一阶常系数线性非齐次差分方程 1 方程形式 1 tt yayf t 2 2 解法 tct yy ty 其中 t y 是非齐次差分方程 2 的特解 f x的形式 取待定特解的条件 试取特解的形式 m f tp t 01 m m bbtb t 1a 01 tm yq tbbt m m b t 01 m b bb 为待定 常数 1a tm ytq t t m f tdp t d为非零常数 0ad t tm ydq t 0ad t tm yt dq t 12 cossin f tbtbt 0 且 1 b 2b为不同时为 零的常数 cossin t ytt 为待定常数 0d cossin t yttt cossin 0 sincos a d a 21 day 4 下午 数一 数三 第九讲第九讲 无穷级数无穷级数 题型题型一一 数项级数敛散性的判定数项级数敛散性的判定 一一 概念与性质概念与性质 1 定义 1 lim nn n n us 极限存在 则称 1 n n u 收敛 否则发散 2 性质 1 1 n n u 与 1 n n ku 同敛散性 其中0k 2 若 1 n n u 和 1 n n v 分别收敛于 s 则 1 nn n uv 收敛于s 3 改变级数前有限项不影响级数的敛散性 4 收敛级数加括号仍收敛且和不变 5 1 n n u 收敛 则lim0 n n u 反之不一定成立 二二 数项级数敛散性的判别数项级数敛散性的判别 1 正项级数 1 n n u 0 n u 定理 1 n n u 为正项级数 则 1 n n u 收敛 n s有界 1 比较判别法一般形式 设 nn uv 则 1 n n v 收敛 1 n n u 收敛 1 n n u 发散 1 n n v 发散 2 比较法极限形式 设lim n 0 n n u ll v 1 若0l 则 1 n n u 与 1 n n v 同敛散 若 nn uv 则 1 n n u 与 1 n n v 同敛散 2 若0l 则 1 n n v 收敛 1 n n u 收敛 1 n n u 发散 1 n n v 发散 22 3 若l 则 1 n n v 发散 1 n n u 发散 1 n n u 收敛 1 n n v 收敛 3 比值法 设 1 lim n n n u u 则 1 n n u 1 1 1 收敛 发散 不一定 4 根值法 数一 设lim n n n u 则 1 n n u 1 1 1 收敛 发散 不一定 注 两个重要级数 1 等比级数 几何级数 0 1 0 1 1 1 1 n n a q q a q q 当时 发散当时 2 p 级数 1 1 1 1 p n p pn 收敛 发散 2 交错级数 1 1 1 0 n nn n u u 莱布尼兹判别法 若 1 n u单调不增 2 lim0 n n u 则 1 1 1 n n n u 收敛 3 任意项级数 1 n n u n u为任意实数 1 绝对收敛与条件收敛概念 2 绝对收敛的级数一定收敛 即 1 n n u 收敛 1 n n u 收敛 注注 1 1 1 1 n p n n 当1p 绝对收敛 当01p 条件收敛 当0p 发散 题型题型二二 幂级数收敛半径 收敛区间和收敛域幂级数收敛半径 收敛区间和收敛域 1 不缺项 1 lim n n n a r a 则 2 缺项 1 lim1 n n n ux rxr u x 23 题型题型三三 幂级数求和函数幂级数求和函数 掌握 1 1 n n x n 1 n n nx 1 1 n n nx n 的和函数的求法 这是其他题目的基础 题型题型四四 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 几个常见函数的麦克劳林级数 2 0 1 2 nn x n xxx ex nn x 213521 0 sin 1 1 21 3 5 21 nn nn n xxxx xx nn x 2242 0 cos 1 1 1 2 2 4 2 nn nn n xxxx x nn x 1231 0 ln 1 1 1 1231 nn nn n xxxx xx nn 1 1 x 2 0 1 1 1 nn n xxxx x 1 1 x 题型题型五五 傅里叶级数 数一 傅里叶级数 数一 一一 傅里叶系数与傅里叶级数傅里叶系数与傅里叶级数 设函数 f x是周期为2l的周期函数 且在 l l 上可积 则称 1 cos 0 1 2 l n l n af xxdx n ll 1 sin l n l n bf xxdx n ll 为 f x的傅里叶系数 称级数 0 1 cossin 2 nn n ann axbx ll 为 f x的傅里叶级数 记作 0 1 cossin 2 nn n ann f xaxbx ll 二二 收敛定理收敛定理 设 f x是周期为2l的周期函数 如果它满足 1 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2 在一个周期内至多只有有限个极值点 则 f x的傅里叶级数收敛 且收敛于 1 f x 当x为 f x的连续点 24 2 0 0 2 f xf x 当x为 f x的间断点 3 0 0 2 flf l 当xl 三三 将函数展开成傅将函数展开成傅里里叶级数叶级数 1 l l 上展开 1 cosd l n l n x af xx ll 0 1 2n 1 sind l n l n x bf xx ll 1 2n 0 1 cossin 2 nn n ann f xaxbx xl l ll 2 l l 上奇偶函数的展开 1 f x为奇函数 0 n a 0 1 2n 0 2 sind l n n x bf xx ll 1 2n 1 sin n n n f xbx xl l l 2 f x为偶函数 0 2 cosd l n n x af xx ll 0 1 2n 0 n b 1 2n 0 1 cos 2 n n an f xax xl l l 3 在 0 l上展为正弦或展为余弦级数 1 展为正弦级数 0 n a 0 1 2n 0 2 sind l n n x bf xx ll 1 2n 1 sin 0 n n n f xbx xl l 2 展为余弦级数 0 2 cosd l n n x af xx ll 0 1 2n 0 n b 1 2n 0 1 cos 0 2 n n an f xax xl l 25 day5 数一 第十讲第十讲 多元函数积分学及多元函数积分学及其应用其应用 题型题型一一 三重积分的计算三重积分的计算 一 一 利用直角坐标利用直角坐标 投影法 截面法 先一后二和先二后一法 先一后二和先二后一法 投影投影 22 11 ddd d byxzx y ayxzx y f x y zvxyf x y zz 二 二 利用柱面坐标利用柱面坐标 cos sin xr yr zz 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围适用范围 1 1 积分区域积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单 方程简单 如 旋转体旋转体 2被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量易分离变量易分离 如 2222 f xyf xz 2 1 ddd cos sin d br ar f x y zvzfz 三 三 利用球面坐标利用球面坐标 cossincos sinsinsin cos xr yr zr dvrdrd d 2 sin 适用范围适用范围 1积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单 如 球体 锥体 2被积函数被积函数用球面坐标表示时变量易分离变量易分离 如 222 f xyz 22