函数有三个零点与导数.doc

.函数有三个零点与导数解决方法：一、能分离参数，则分离参数，数形结合若直线与函数图象有三个交点，则函数有极大值与极小值，直线应在两个极值点所对应的点之间平移。即：g(x)极小参数g(x)极大。二、不能分离参数，则利用f(x)极小0，f(x)极大0求解，如图。1.若函数f（x）=x3-3x+a有三个不同的零点，求实数a的取值范围解：方法：分离参数，数形结合法由f（x）=x3-3x+a=0得：a=-x3+3x，令y=a，y=-x3+3x,f（x）=x3-3x+a有三个不同的零点，等价于y=a与g(x)=-x3+3x有三个交点，对于函数y=-x3+3x，由g(x)=-3x2+3=0，得x=1，当x-1或x1时，g(x)0，g(x)=-x3+3x在（-，-1）和（1，+）上是减函数；当-1x1时，g(x)0，g(x)=-x3+3x在（-1，1）上是增函数，g(x)极小= g(1)=-2； g(x)极大= g(-1)=2.y=a与g(x)=-x3+3x有三个交点，-2a2，故a的取值范围是（-2，2）方法：f(x)极小0，f(x)极大0由f（x）=x3-3x+a有三个不同的零点，则f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0；由f（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）=0，解得x1=1，x2=-1，所以函数f（x）的两个极值点，x（-，-1），f（x）0，x（-1，1），f（x）0，x（1，+），f（x）0，f（x）的极小值f（1）=a-2和极大值f（-1）=a+2因为f（x）=x3-3x+a有三个不同的零点，所以，解之，得-2a2故a的取值范围是（-2，2）2已知函数f（x）=x2-4x+3lnx+m有且只有三个不同的零点，求实数m的取值范围解：f（x）=x2-4x+3lnx+m，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+）上是增函数；x=1是f（x）的极大值点，x=3是f（x）的极小值点。又f（1）=-4+m=m-，f（3）=-12+3ln3+m=m+3ln3-，函数f（x）=x2-4x+3lnx+m有且只有三个不同的零点，等价于f（1）=-4+m=m-0且f（3）=-12+3ln3+m=m+3ln3-0，m-3ln3m的取值范围为（，）3（2016东湖区月考）已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常数a0（1）当a2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a=4时，若函数y=f（x）-m有三个不同的零点，求m的取值范围本题第（2）问可以改为：（3）当a=4时，若函数y=f（x）-m有且只有一个零点，求m的取值范围（4）当a=4时，若函数y=f（x）-m有两个不同的零点，求m的取值范围（此问无解）解：（1）由f（x）=x2-（a+2）x+alnx可知，函数的定义域为x|x0，且，a2，1当0x1或x时，f（x）0；当1x时，f（x）0，f（x）的单调递增区间为(0，1)，(，+)（2）当a=4时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，1）1（1，2）2（2，+）f（x）+0-0+f（x）单调递增f（x）取极大值单调递减f（x）取极小值单调递增f(x)极大值f(1)1261+4ln15，f(x)极小值f(2)2262+4ln24ln28函数f（x）的图象大致如下：若函数y=f（x）-m有三个不同的零点，则m（4ln2-8，-5）4已知a0，函数f（x）=ax2-2ax+2lnx，g（x）=f（x）-2x（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论g（x）的单调性；（）当a1时，若函数h（x）=g（x）+5+有三个不同的零点，求实数a的取值范围5（2015连云港三模）函数f（x）=ax-x2（a1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 解：先画草图大致分析一下：令y=ax（a1）,y=x2,在同一坐标系中画出它们的图象，当x0时，显然它们的图象，有一个交点，即f（x）=ax-x2（a1）有一个零点。当x0时，由ax-x2=0，可得ax=x2，xlna=2lnx，令，则=0，可得x=e，h(x)在（0，e）上单调增，在（e，+）上单调减，h（x）max=h（e）=，又x0时，；x+时，当0lna，即当时，y=lna与 (x0)有两个不同的交点，即有两个不同的解，当时，f（x）=ax-x2（a1，x0）有两个不同的零点。又x0时，必有一个交点，时，函数f（x）=ax-x2（a1）有三个不同的零点，故答案为：6（2015海淀区一模）已知函数有三个不同的零点，求实数a的范围解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0a1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点0，解得a0或a，综合可得a1，a的取值范围为：a1。7已知函数有三个不同零点，求实数a的取值范围解：当x0时，f（x）=lnx-2x+a，则f（x）=2，由f（x）0得0x，此时函数单调递增，由f（x）0得x，此时函数单调递减，当x=时，函数取得极大值同时也是最大值f（）=ln-1+a，当x0时，函数f（x）=2x-为增函数，如图：要使有