高考数学总复习 第七章 第十节抛物线(二)课件 理.ppt

第十节抛物线 二 第七章平面解析几何 基础自测 1 2012 合肥月考 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0相切 则p的值为 a b 1c 2d 4 解析 抛物线y2 2px p 0 的准线为x 圆x2 y2 6x 7 0 可化为 x 3 2 y2 16 则圆心为 3 0 半径为4 又抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 7 0相切 3 4 解得p 2 故选c 答案 c 6x 2 2011 潮州市模拟 已知抛物线y ax2 1的焦点是坐标原点 则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 a b 1c 2d 4 解析 由抛物线y ax2 1的焦点坐标为 由其为坐标原点得a 则y x2 1与坐标轴的交点为 0 1 2 0 2 0 则以这三点围成的三角形的面积为 4 1 2 故选c 答案 c 3 2012 东莞一模 已知抛物线c的顶点为原点 焦点在x轴上 直线y x与抛物线c交于a b两点 若p 2 2 为ab的中点 则抛物线c的方程为 a y2 4xb y2 4xc x2 4yd y2 8x 解析 显然交点a b中有一个是原点 不妨设a是原点 因为p 2 2 是线段ab的中点 所以点b的坐标为 4 4 依题意设抛物线方程为y2 2px p 0 则点b在该抛物线上 所以42 2p 4 得p 2 所以抛物线方程为y2 4x 故选a 答案 a 4 2012 菏泽调研 已知动圆过点 1 0 且与直线x 1相切 则动圆的圆心的轨迹方程为 解析 设动圆的圆心坐标为 x y 则圆心到点 1 0 的距离与其到直线x 1的距离相等 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2 4x 答案 y2 4x 考点探究 考点一 直线与抛物线相切问题 例1 2011 福建卷 如图 直线l y x b与抛物线c x2 4y相切于点a 1 求实数b的值 2 求以点a为圆心 且与抛物线c的准线相切的圆的方程 解析 1 由得x2 4x 4b 0 因为直线l与抛物线c相切 所以 4 2 4 4b 0 解得b 1 2 由 1 可知b 1 故方程 即为x2 4x 4 0 解得x 2 将其代入x2 4y 得y 1 故点a 2 1 因为圆a与抛物线c的准线相切 所以圆a的半径r等于圆心a到抛物线的准线y 1的距离 即r 1 1 2 所以圆a的方程为 x 2 2 y 1 2 4 1 2012 辽宁卷 已知p q为抛物线x2 2y上两点 点p q的横坐标分别为4 2 过p q分别作抛物线的切线 两切线交于点a 则点a的纵坐标为 变式探究 解析 点p q的横坐标分别为4 2 代入抛物线方程得p q的纵坐标分别为8 2 由x2 2y 则y x2 y x 过点p q的抛物线的切线的斜率分别为4 2 过点p q的抛物线的切线方程分别为y 4x 8 y 2x 2 联立方程组解得x 1 y 4 故点a的纵坐标为 4 答案 4 考点二 直线与抛物线的位置关系 例2 2011 福州市模拟 已知抛物线y2 4x及点p 2 2 直线l的斜率为1且不过点p 它与抛物线交于a b两点 1 求直线l在y轴上截距的取值范围 解析 设直线l的方程为y x b 由于直线不过点p 因此b 0 由得x2 2b 4 x b2 0 由 0 解得b 1 所以直线l在y轴上截距的取值范围是 0 1 2 若ap bp分别与抛物线交于另一点c d 证明 ad bc交于定点 变式探究 2 2012 宜宾市调研 设直线y 2x 4与抛物线y2 4x交于a b两点 1 求线段ab的长 2 若抛物线y2 4x的焦点为f 求cos afb的值 考点三 抛物线与其他圆锥曲线知识的综合 例3 2012 合肥市模拟 设b 0 椭圆方程为 1 抛物线方程为x2 8 y b 如图所示 过点f 0 b 2 作x轴的平行线 与抛物线在第一象限的交点为g 已知抛物线在点g的切线经过椭圆的右焦点f1 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设a b分别是椭圆长轴的左 右端点 试探究在抛物线上是否存在点p 使得 abp为直角三角形 若存在 请指出共有几个这样的点 并说明理由 不必具体求出这些点的坐标 解析 1 由x2 8 y b 得y x2 b 当y b 2时 得x 4 点g的坐标为 4 b 2 由y x y x 4 1得过点g的切线方程为y b 2 x 4 即y x b 2 令y 0得x 2 b 点f1的坐标为 2 b 0 由椭圆方程得点f1的坐标为 b 0 2 b b 即b 1 即椭圆和抛物线的方程分别为 y2 1和x2 8 y 1 2 过点a作x轴的垂线与抛物线只有一个交点p 以 pab为直角的rt abp只有一个 同理以 pba为直角的rt abp只有一个 若以 apb为直角 设点p坐标为 a b两点的坐标分别为 0 和 0 关于x2的二次方程有一大于零的解 x有两解 即以 apb为直角的rt abp有两个 因此抛物线上存在四个点使得 abp为直角三角形 变式探究 3 2012 南通市调研 抛物线y2 4x的焦点为f a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 y1 0 y2 0 在抛物线上 且存在实数l 使 1 求直线ab的方程 2 求 aob的外接圆的方程 考点四 抛物线与各部分知识的综合 例4 已知点p a 1 a r 过点p作抛物线c y x2的切线 切点分别为a x1 y1 b x2 y2 其中x1 x2 1 求x1与x2的值 用a表示 2 若以点p为圆心的圆e与直线ab相切 求圆e面积的最小值 变式探究 4 2013 黄冈市黄州一中模拟 已知抛物线d的顶点是椭圆 1的中心 焦点与该椭圆的右焦点重合 1 求抛物线d的方程 解析 1 由题意 可设抛物线方程为y2 2px p 0 由a2 b2 4 3 1 得c 1 抛物线的焦点为 1 0 抛物线d的方程为y2 4x 2 已知动直线l过点p 4 0 交抛物线d于a b两点 若直线l的斜率为1 求ab的长 是否存在垂直于x轴的直线m被以ap为直径的圆m所截得的弦长恒为定值 如果存在 求出m的方程 如果不存在 说明理由 1 直线与抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 相切和相交 如果直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线相交 只有一个交点 2 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行于对称轴的直线 3 凡涉及抛物线的弦长 弦的中点 弦的斜率问题时要注意利用韦达定理 能避免求交点坐标的复杂运算 4 解决焦点弦问题时 抛物线的定义有广泛的应用 而且还应注意焦点弦的几何性质 5 在解题中 抛物线上的点 焦点 准线三者通常与抛物线的定义相联系 所以要注意相互转化 6 弦长公式 若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点a b 且x1 x2分别为a b的横坐标 则 若y1 y2分别为a b的纵坐标 则 若弦ab所在直线方程设为x ky b 则 感悟高考 品味高考 1 2012 重庆卷 过抛物线y2 2x的焦点f作直线交抛物线于a b两点 若 ab af bf 则 af 高考预测 1 2012 三明市模拟 设抛物线y2 4x的准线为l p为抛物线上的点 pq l 垂足为q 若 pqf的