高中数学 2.9函数与方程配套课件 苏教版.ppt

第九节函数与方程 高考指数 0 实数根 交点 零点 即时应用 1 函数f x x3 x的零点是 2 函数f x lgx 的零点个数是 解析 1 令f x 0 即x3 x 0解得x 0 1 1 f x 的零点为 1 0 1 2 由等价关系零点个数转化为方程lgx 0的根的个数 lgx 即又转化为函数y lgx与y 图象交点个数 由图象得 有一个交点 答案 1 1 0 1 2 1 2 函数零点的存在性定理函数f x 在区间 a b 上存在零点的条件 1 在区间 a b 上的图象是一条 的曲线 2 0 不间断 f a f b 即时应用 1 若函数y f x 在区间 a b 上的图象为连续不断的一条曲线 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 若f a f b 0 则不存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则有可能存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 则有可能不存在实数c a b 使得f c 0 2 请思考在定理的条件下 当f x 是 时 在区间 a b 内f x 有惟一的一个零点 3 已知函数f x x3 x 1仅有一个正零点 则此零点所在的最短区间为 区间端点为整数 4 函数f x mx 1在 0 1 内有零点 则实数m的取值范围是 解析 1 如图甲的情况可判断 错 正确 如图乙的情况可判断 不正确 由零点存在性定理可知 不正确 2 由零点存在性定理容易判断f x 是单调函数即可 3 由于f 0 10 f 3 23 0 f 4 59 0 故只有区间 1 2 满足 4 由f 0 f 1 1 答案 1 2 单调函数 3 1 2 4 m 1 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 无交点 x1 x2 x1 无 即时应用 1 二次函数f x ax2 bx c中 a c 0 则函数的零点个数是 2 若函数f x ax2 x 1仅有一个零点 则实数a的取值范围是 解析 1 c f 0 a c a f 0 0 即a和f 0 异号 即 或 函数必有两个零点 2 当a 0时 则f x x 1 易知函数只有一个零点 当a 0时 则函数为二次函数 仅有一个零点 即 1 4a 0 a 综上 当a 0或a 时 函数只有一个零点 答案 1 2 2 a a 0或 函数零点个数的判断 方法点睛 函数零点个数的判断方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是不间断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 利用图象交点的个数 画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 提醒 若函数在 a b 上有零点 不一定有f a f b 0 例1 2011 陕西高考改编 函数f x cosx在 0 内的零点个数为 解题指南 解决本题可转化为两函数y 和y cosx在 0 的交点个数或根据零点存在性定理及函数的性质进行判断 规范解答 方法一 数形结合法 令f x cosx 0 则 cosx 设函数y 和y cosx 它们在 0 的图象如图所示 显然两函数的图象的交点有且只有一个 所以函数f x cosx在 0 内有且仅有一个零点 10 方法二 当x 时 1 cosx 1 所以f x cosx 0 当x 0 时 f x sinx 0 所以函数f x cosx是增函数 又因为f 0 1 f 0 所以f x cosx在x 0 上有且只有一个零点 综上 f x cosx在 0 内有且仅有一个零点 答案 1 反思 感悟 在判断函数y f x 零点个数时 若方程f x 0易解 则用解方程法求解 否则若可转化为两熟悉函数图象的交点 就用图象法求解 但图象画得太粗糙易出现失误 若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解 变式训练 函数y sinx lgx的零点个数为 解析 令函数y sinx lgx 0即sinx lgx 设y1 sinx y2 lgx 这两个函数的图象的交点个数就是函数的零点的个数 y2 lgx过 1 0 点和 10 1 点 与y1 sinx的交点个数是3 函数的零点的个数是3 答案 3 变式备选 1 判断函数f x log2 x 2 x 1 x 3 是否存在零点 2 判断函数f x x3 x2 4x在 1 1 上零点的个数 并说明理由 解析 1 方法一 在同一平面直角坐标系中画出函数y log2 x 2 与函数y x的图象 观察知 两函数在 1 3 上有一个交点 即函数f x log2 x 2 x 1 x 3 存在零点 方法二 显然函数f x log2 x 2 x在 1 3 上是连续不断的 f 1 log2 1 2 1 1 0 f 3 log2 3 2 3 log25 3 0 f x log2 x 2 x 1 x 3 存在零点 2 显然函数f x x3 x2 4x在 1 1 上是连续不断的 f 1 1 3 1 2 4 1 0 f 1 13 12 4 1 0 又 f x 2x2 2x 4 2 x 2 当 1 x 1时 0 f x f x x3 x2 4x在 1 1 上是单调递增函数 f x 在 1 1 上只有一个零点 由函数零点的存在情况求参数的取值 方法点睛 已知函数有零点 方程有根 求参数值常用的方法和思路 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后观察求解 例2 已知函数f x x2 2ex m 1 g x x x 0 1 若g x m有零点 求m的取值范围 2 确定m的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 解题指南 解答 1 可求出g x 的值域或数形结合法求解 2 转化为两个函数f x 与g x 有两个交点 从而数形结合求解 规范解答 1 方法一 g x x 2 2e 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 因此 只需m 2e 则g x m就有零点 方法二 作出g x x x 0 的大致图象如图 可知若使g x m有零点 则只需m 2e e 2 若g x f x 0有两个相异的实根 即g x 与f x 的图象有两个不同的交点 作出g x x x 0 的大致图象 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其图象的对称轴为x e 开口向下 最大值为m 1 e2 故当m 1 e2 2e 即m e2 2e 1时 g x 与f x 有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 2e e 反思 感悟 有些二次 高次 分式 指数 对数及三角式 含绝对值方程根的存在问题 常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解 变式训练 已知函数f x ax3 bx2 c 3a 2b x d a 0 的图象如图所示 1 求c d的值 2 若x0 5 方程f x 8a有三个不同的根 求实数a的取值范围 解析 函数f x 的导函数为f x 3ax2 2bx c 3a 2b 1 由题干图可知 函数f x 的图象过点 0 3 且f 1 0 得 2 依题意f x ax3 bx2 3a 2b x 3 a 0 f x 3ax2 2bx 3a 2b 由图知f 5 0 得b 9a 若方程f x 8a有三个不同的根 当且仅当满足f 5 8a f 1 由 得 25a 3 8a 7a 3 解得 a 3 所以 当 a 3时 方程f x 8a有三个不同的根 创新探究 函数零点的命题新考向 典例 2011 山东高考 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 解题指南 由条件易知函数f x 在 0 上为增函数 然后 根据a b满足的条件及对数的运算性质探究出f x 零点所在的区间 从而对照x0 n n 1 n n 确定出n的值 规范解答 23 b0 f 3 0 即f 2 f 3 0由x0 n n 1 n n 知n 2 答案 2 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 我们得到以下创新点拨和备考建议 1 2012 连云港模拟 关于x的方程3tx2 3 7t x 4 0的两根为x1 x2 满足0 x1 1 x2 2 则实数t的取值范围是 解析 令f x 3tx2 3 7t x 4 由0 x1 1 x2 2 得或 解得 t 5 答案 5 2 2011 浙江高考改编 设函数f x 若f a 4 则实数a 解析 当a 0时 f a a 4 a 4 当a 0时 f a a2 4 a 2 综上 a 4或2 答案 4或2 3 2012 苏州模拟 设函数f x 则函数f x f x 的零点是 解析 由已知当x 1 时 f x 得2x 2 得x 当x 1 时 f x 得x2 2x 即4x2 8x 1 0 解得x又x 1 x 综上可知 f x 的零点是 答案 4 2011 辽宁高