高中数学 2.3函数的奇偶性与周期性配套课件 北师大版.ppt

第三节函数的奇偶性与周期性 三年11考高考指数 1 了解函数奇偶性的含义 2 会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性 3 了解函数周期性 1 函数奇偶性 周期性的应用是高考的重要考向 2 常与函数的图像 单调性 对称性 零点等综合命题 3 多以选择 填空题的形式出现 属中低档题 1 函数奇偶性的定义 1 图像定义 f x 为奇函数 图像关于 对称 f x 为偶函数 图像关于 对称 2 符号定义 对于函数f x 的定义域内的任意一个x f x 为偶函数 f x 为奇函数 原点 y轴 f x f x f x f x 即时应用 1 思考 函数f x x sinx g x x sinx各自图像有什么对称性 提示 f x 为奇函数 所以其图像关于原点对称 g x 为偶函数 所以其图像关于y轴对称 2 判断下列六个函数是否是奇函数 请在括号中填 是 或 否 y x2 x y sin3x y x y 3x 3 x y x cosx y x2 x 1 1 解析 由奇函数 偶函数的符号定义知 函数 为偶函数 为奇函数 是非奇非偶函数 答案 否 是 是 是 否 否 3 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 解析 由已知得a 1 2a 解得a f x bx 又f x f x 即又x b 0 故a b 0 答案 4 已知f x 为r上的奇函数 且当x 0时 f x x2 则f x 解析 由题意知f 0 0 当x0 f x x 2 x2 又f x f x f x x2 答案 2 周期性 1 周期函数 常数t为函数f x 的一个周期 则需满足的条件 t 0 f x t 对定义域内的任意x都成立 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个 就称为它的最小正周期 f x 最小的正数 最小的正数 即时应用 1 已知函数f x 对任意x r 都有f x 4 f x 且x 0 2 时 f x 2012x2 则f 2013 2 函数f x 对于任意实数x满足条件f x 1 f x 则f x 的最小正周期为 解析 1 f x 4 f x f x 的最小正周期为4 f 2013 f 503 4 1 f 1 2012 12 2012 2 f x 1 f x f x 2 f x 1 1 f x 1 f x f x 最小正周期为2 答案 1 2012 2 2 判定函数的奇偶性 方法点睛 判定函数的奇偶性的常用方法及思路 1 符号定义法 2 图像定义法 3 性质法 用奇 偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性 奇函数与奇函数奇函数与偶函数偶函数与偶函数 和差 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 积商 提醒 性质法 中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的 例1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 x 2 f x x 1 3 解题指南 由奇偶性的符号定义 先看函数的定义域是否关于原点对称 再计算f x 并判断其与f x 的关系 从而得出函数的奇偶性 规范解答 1 显然函数f x 的定义域为r 关于原点对称 又 f x x 3 x x3 x f x f x 为奇函数 2 使f x x 1 有意义 则有 0且1 x 0 解得函数的定义域为 1 1 不关于原点对称 因此函数f x 既不是奇函数 也不是偶函数 3 显然函数f x 的定义域为 0 0 关于原点对称 当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上可知 对于定义域内的任意x 总有f x f x 成立 函数f x 为奇函数 互动探究 若将本例 2 的函数改为其奇偶性又如何呢 解析 易知函数f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 又 f x 函数f x 为奇函数 反思 感悟 利用符号定义法判断函数奇偶性时 先求定义域 当解析式较复杂时 要在定义域内先化简 再计算f x 否则可能得到错误结论 变式备选 判断下列函数的奇偶性 解析 1 由 函数f x 的定义域为 1 1 又对于定义域内的任意x f x 0 f x 函数f x 既是奇函数 又是偶函数 2 显然函数的定义域为r 又 函数f x 为奇函数 3 由 函数f x 的定义域关于原点对称 函数f x 为奇函数 函数奇偶性的应用 方法点睛 应用函数奇偶性可解决的问题及方法 1 已知函数的奇偶性 求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 2 已知函数的奇偶性求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上 利用已知区间上的解析式 再利用奇偶性求出 或利用奇偶性构造关于f x 的方程 组 从而得到f x 的解析式 3 求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法 利用f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的方程求解 4 应用奇偶性画图像和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性 例2 1 2011 安徽高考 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 a 3 b 1 c 1 d 3 2 2011 辽宁高考 若函数为奇函数 则a 3 2012 咸阳高考 已知偶函数f x 在区间 0 上单调递增 则满足f 2x f 的x的取值范围是 a 0 b 0 c 0 d 解题指南 解答本题需利用函数的奇偶性 1 将求f 1 的值转化为求f 1 的值的问题求解 2 由题意可知f x f x 0 从而得到关于x的恒等式 再构建a的方程求解 3 得到f 2x f 2x 将原不等式转化为f 2x f 从而求解 规范解答 1 选a 由奇函数的定义得f x f x 所以f 1 f 1 2 1 2 1 3 2 选a 函数f x 为奇函数 f x f x 0恒成立 即恒成立 可化为 2x 1 x a 2x 1 x a 恒成立 整理得2 1 2a x 0恒成立 则必有1 2a 0 a 3 选b f x 为偶函数 f 2x f 2x 又f x 在 0 上单调递增 由f 2x f 得 2x 解得 0 x 互动探究 在本例 1 中的条件下求f x 在r上的解析式 解析 当x 0时 x 0 又x 0时 f x 2x2 x f x 2 x 2 x 2x2 x 又f x f x 即 f x 2x2 x f x 2x2 x 综上 反思 感悟 利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值 求解析式 作图像 判定单调性问题转化为已知区间上的函数值 解析式 图像 单调性问题求解 充分体现了数学的转化与化归思想 变式备选 奇函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图像如图所示 则不等式f x 0的解集是 解析 由奇函数图像对称性补出其在 5 0 上的图像 由图像知解集为 2 0 2 5 答案 2 0 2 5 函数周期性的应用 方法点睛 关于函数周期性的几个常用结论 1 若对于函数f x 定义域内的任意一个x都有 f x a f x 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 f x a 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 f x a 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 2 如果t是函数y f x 的周期 则 kt k z k 0 也是函数y f x 的周期 即f x kt f x 若已知区间 m n m n 上的图像 则可画出区间 m kt n kt k z k 0 上的图像 例3 2011 新课标全国卷改编 已知函数f x 对任意的实数x满足 f x 1 且当x 1 1 时 f x x2 1 求f 2012 2 确定函数y f x 的图像与函数y lgx 的图像的交点个数 解题指南 解答 1 题需先由f x 1 探究出函数f x 的周期 进而利用周期性 求f 2012 2 作出y f x 及y lgx 的图像 从而使问题得解 规范解答 1 对任意x r 都有f x 1 f x 2 f x 1 1 f x 是以2为周期的函数 f 2012 f 2 1006 0 f 0 02 0 2 根据f x 的周期性及f x 在 1 1 上的解析式可作图如下可验证当x 10时 y lg10 1 x 10时 lgx 1 因此结合图像及数据特点y f x 与y lgx 的图像交点共有10个 反思 感悟 已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析式或图像 则可求在其他区间上的函数值 解析式或画出其他区间上的图像 关键是用好其周期性进行转化 变式训练 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 1 f 1 x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2013 解析 1 f x 1 f 1 x f x 2 f x 1 1 f 1 x 1 f x f x f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 当x 2 0 时 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函数 f x f x 2x x2 当x 2 0 时 f x x2 2x 又当x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期为4的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 从而求得x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2013 f 0 f 1 0 1 1 变式备选 设函数f x 是 上的奇函数 且f x 2 f x 当x 0 1 时 f x x 1 求f 的值 2 当x 4 4 时 求f x 的图像与x轴所围成的图形的面积 解析 1 由f x 2 f x 得f x 4 f x 2 f x 4 f x 则f x 是以4为周期的周期函数 f f 1 4 f 4 f x 是 上的奇函数 f 4 f 4 4 4 f 4 2 由f x 是 上的奇函数与f x 2 f x 得f x 2 f x 故知函数y f x 的图像关于x 1对称 又x 0 1 时 f x x 且f x 的图像关于原点对称 则f x 的图像如图所示 当x 4 4 时 f x 的图像与x轴所围成的图形的面积为 s 4s oab 4 2 1 4 创新探究 创新应用函数的奇偶性与周期性 典例 2011 福建高考 对于函数f x asinx bx c 其中 a b r c z 选取a b c的一组值计算f 1 和f 1 所得出的正确结果一定不可能是 a 4和6 b 3和1 c 2和4 d 1和2 解题指南 解答本题需根据函数f x 解析式的结构特征 构造奇函数g x f x c 然后利用奇函数的性质 g 1 g 1 0 探究出f 1 f 1 与c的关系 从而由c z限定f 1 与f 1 不可能的取值 规范解答 选d 令g x f x c asinx bx g x asin x b x asinx bx g x g x 为定义在r上的奇函数 则由奇函数的性质 得 g 1 g 1 0 即f 1 f 1 2c 0 f 1 f 1 2c 又c z f 1 f 1 是偶数 而选项中只有d中两数和为奇数 故选d 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 可以得到以下创新点拨及备考建议 1 2011 山东高考 已知f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图像在区间 0 6 上与x轴的交点个数为 a 6 b 7 c 8 d 9 解析 选b 令f x x3 x 0 即x x 1 x 1 0 所以x 0 1 1 因为0 x 2 所以此时函数的零点有两个 即与x轴的交点个数为2 因为f x 是r上最小正周期为2的周期函数 所以2 x 4 4 x 6上也分别有两个零点 由f 6 f 4 f 2 f 0 0 知f 6 也是函数的零点 所以函数y f x 的图像在区间 0 6 上与x轴的交点个数为7 2 2012 长安模拟 已知定义在r上的偶函数f x 满足f 4 x f x 且当x 2 4 时 f x log2 x 1 则f 2010 f 2011 的值为 a 2 b 1 c 1 d 2 解析 选c f x 为偶函数 f 4 x f x f x 8 f x 4 4 f 4 x f x f x f x 为以8为周期的周期函数 f 2010 f 251 8 2 f 2 f 2011 f 251 8 3 f 3 f 2010 f 2011 f 2 f 3 log2 2 1 log2 3 1 1 3 2011 湖南高考 已知f x 为奇函数 g x f x 9 g 2 3 则f 2 解析 因为f x g x 9是奇函数 所以f x f x g x 9 g x 9 g 2 9 g 2 9 g 2