高中数学 4.2平面向量基本定理与坐标运算配套课件 苏教版.ppt

第二节平面向量基本定理与坐标运算 三年2考高考指数 不共线向量 有且只有一对 互相垂直 即时应用 判断下列关于基底的说法是否正确 请在括号内打 或 1 在 abc中 可以作为基底 2 在可以作为基底 但不能作为基底 3 能够表示一个平面内所有向量的基底是惟一的 4 零向量不能作为基底 解析 由基底的定义可知 1 2 4 正确 3 只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底 故 3 错误 答案 1 2 3 4 x y 终点a x y 即时应用 1 思考 向量的坐标与基底的关系是怎样的 提示 向量的坐标由基底惟一确定 对于同一向量 不同的基底 有不同的坐标 2 已知o为原点 则x y 解析 答案 1 2 3 平面向量的坐标运算 即时应用 1 已知 2 已知点a 1 5 和向量则点b的坐标为 3 设则实数p q的值分别为 解析 1 2 设b x y 则 x y 1 5 6 9 5 4 3 3 2 p 1 2 q 1 1 p q 2p q 答案 4 向量平行的坐标表示设 即时应用 1 已知 2 设 2 1 共线 则 解析 1 2 又答案 平面向量基本定理及其应用 方法点睛 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 1 已知基底时 可将条件和结论中的向量用基底表示 再通过基底的运算来解决 2 未知基底时 要先根据题目条件合理选择基底 3 注意平面几何中平行线 三角形中某些性质的应用 例1 如图所示 在平行四边形abcd中 m n分别为dc bc的中点 已知 解题指南 直接用有难度 可换一个角度 把看成基向量 用再利用方程思想求出 规范解答 设因为m n分别为cd bc的中点 所以因而 反思 感悟 基底的作用 1 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底 该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合 基底不同 表示也不同 2 利用基底表示未知向量 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行基底的加减运算或数乘运算 变式训练 已知梯形abcd 如图所示 m n分别为ad bc的中点 设试用表示 解析 平面向量的坐标运算 方法点睛 1 向量的几种运算体系 1 向量有三种运算体系 即几何表示下的几何运算 字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算 2 几何表示下的几何运算应注意三角形法则 平行四边形法则 字母表示时 注意运算律的应用 坐标运算时要牢记公式 细心计算 3 向量的坐标运算实现了向量运算代数化 将数与形结合起来 从而使几何问题可转化为代数运算 2 两向量相等的充要条件两向量相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等 即利用向量相等可列出方程组求其中的未知量 从而解决求字母取值 求点的坐标及向量的坐标等问题 例2 1 设平面向量 2 已知a 2 3 b 5 4 c 7 10 求 若 解题指南 1 由向量的坐标运算法则求解即可 2 利用为点b的坐标减去点a的坐标求解 利用向量相等列出关于m n的方程组求解 规范解答 1 答案 7 3 互动探究 本例中第 2 题条件不变 问题变为 若试求 为何值时 点p在一 三象限的角平分线上 又该如何求解 解析 设p x y 则 x y 2 3 x 2 y 3 5 4 2 3 7 10 2 3 3 5 1 7 若点p在一 三象限的角平分线上 反思 感悟 向量坐标运算的注意点 1 求解平面向量坐标的加法 减法 数乘运算 以及求向量的坐标表示等问题 关键是理解平面向量线性运算和坐标形式的性质与规律 2 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 变式备选 已知a 1 2 b 2 1 c 3 2 和d 2 3 解析 由题知又为平面内不共线的向量 故根据平面向量基本定理 一定存在实数m n 使得 12 8 m 1 3 n 2 4 也就是 12 8 m 2n 3m 4n 平面向量共线的坐标表示 方法点睛 利用两向量共线解题的技巧 1 在求与一个已知向量共线的向量时 可设所求向量为然后结合其他条件列出关于 的方程 求出 的值后代入即可得到所求的向量 2 如果已知两向量共线 求某些参数的取值时 则利用 若则的充要条件是 解题比较方便 提醒 1 利用向量共线的充要条件解题时 易忽视条件中 非零向量 的限制 解题时要注意零向量的特殊性 方向的任意性 避免造成不必要的错误 2 若为非零向量 当时 的夹角为0 或180 求解时容易忽视其中一种情形而导致出错 例3 已知 1 当k为何值时 2 若且a b c三点共线 求m的值 解题指南 1 利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求解即可 2 可引入参数 使的坐标形式求m 规范解答 2 方法一 a b c三点共线 即 a b c三点共线 8m 3 2m 1 0 即2m 3 0 反思 感悟 向量平行的坐标表示的应用 1 向量平行的坐标表示既可以判定两向量平行 也可以由平行求参数 2 在利用求参数值时 可以引入参数利用列方程组求解 如均为坐标形式 可直接列方程求解 变式训练 已知向量若点a b c能构成三角形 则实数m满足的条件是 解析 因为所以由于点a b c能构成三角形 所以不共线 而当共线时 有故当点a b c能构成三角形时实数m满足的条件是答案 变式备选 向量若方向相反 则x 解析 因为所以x2 9 所以x 3 又因为方向相反 所以x 3 答案 3 易错误区 忽视向量平行的充要条件导致错误 典例 2011 湖南高考 设向量满足且的方向相反 则的坐标为 解题指南 设利用列出关于 的方程求解即可 规范解答 方向相反 可设解得 2 或 2 舍 故答案 4 2 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 北京高考 已知向量则k 解析 又共线 解得k 1 答案 1 2 2011 上海高考改编 设a1 a2 a3 a4是平面上给定的4个不同点 则使成立的点m的个数为 解析 方法一 取特殊值 令a1 0 0 a2 0 1