高中数学 （主干知识+典例精析）11.10正态分布课件 理 新人教B版.ppt

第十节正态分布 三年5考高考指数 利用实际问题的直观直方图 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 1 正态曲线的性质和服从正态分布的随机变量的概率是高考考查的重点 2 结合正态曲线的性质利用数形结合思想是解决正态分布问题的重要思想 3 题型以选择 填空题的形式考查 属容易题 1 正态变量与正态曲线 1 正态变量服从 的 叫做正态随机变量 简称 正态分布 随机变量 正态变量 2 正态曲线 概念正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 其函数表达式为x r 其中 是参数 且 0 性质 曲线在x轴的 并且关于直线 对称 曲线在 时处于最高点 并由此处向左右两边延伸时 曲线逐渐 呈现 中间高 两边低 的形状 曲线的形状由参数 确定 曲线越 矮胖 曲线越 高瘦 上方 x x 降低 越大 越小 即时应用 1 思考 参数 在正态分布中的实际意义是什么 提示 是正态分布的期望 是正态分布的标准差 2 已知正态分布密度函数为x 则该正态分布的均值为 标准差为 解析 对照正态分布密度函数x 可得 0 答案 0 3 已知某正态分布的密度函数f x 的解析式为f x x 的图象如图所示 则函数 解析 由f x 的图象易得 0 4 所以x 答案 x 2 正态变量的概率值及3 原则 1 正态变量在三个特殊区间内取值的概率值 p x p 2 x 2 p 3 x 3 68 3 95 4 99 7 2 3 原则 服从正态分布n 2 的随机变量x只取 之间的值 简称为3 原则 正态总体几乎总取值于区间 3 3 之内 而在此区间以外取值的概率只有0 3 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 3 3 即时应用 1 若随机变量 n 2 100 若p x k p x k 则k 2 正态分布n 2 2 在区间 3 内取值的概率为 解析 1 正态曲线关于直线x 2对称 故k 2 2 由p x 68 3 知 在区间 3 内取值的概率为68 3 答案 1 2 2 68 3 正态曲线及其性质 方法点睛 正态曲线的性质 1 正态曲线指的是一个函数的图象 其函数解析式是 2 该函数的值域为正实数集的子集 3 该函数的图象关于直线x 对称 且以x轴为渐近线 4 该函数在x 时取得最大值 5 解析式中前面有一个系数 后面是一个以e为底数的指数函数的形式 幂指数为 其中 这个参数在解析式中的两个位置上出现 注意两者的一致性 例1 如图是一个正态曲线 试根据该图象写出其正态曲线函数解析式 求出总体随机变量的期望和方差 解题指南 给出一个正态曲线 就给出了该曲线的对称轴和最大值 从而就能求出总体随机变量的期望 标准差以及解析式 规范解答 从给出的正态曲线可知 该正态曲线关于直线x 20对称 最大值是 所以 20 解得 于是正态分布密度函数的解析式是 x 总体随机变量的期望是 20 方差是 反思 感悟 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式 关键是求解析式中两个参数 的值 其中 决定曲线的对称轴的位置 则与曲线的形状和最大值有关 变式训练 设三个正态分布n 1 1 0 n 2 2 0 n 3 3 0 的密度函数图象如图所示 则 1 2 3按从小到大的顺序排列是 1 2 3按从小到大的顺序排列是 解析 反映的是正态分布的平均水平 直线x 是正态曲线的对称轴 由图可知 2 1 3 反映的是正态分布的离散程度 越小 曲线越 瘦高 总体的分布越集中 越大 曲线越 矮胖 总体的分布越分散 由图可知 1 3 2 答案 2 1 3 1 3 2 正态分布的概率计算 方法点睛 关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法 1 熟记p x p 2 x 2 p 3 x 3 的值 2 充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1 正态曲线关于直线x 对称 从而在关于x 对称的区间上概率相同 p x a 1 p x a p x a p x a 提醒 在利用对称性转化区间时 要注意正态曲线的对称轴是x 0 而不是x 0 例2 1 2012 青岛模拟 已知随机变量x服从正态分布n 3 2 若p x 4 0 2 则p 2 x 3 2 若x n 1 22 则p 3 x 5 解题指南 根据题意确定 的值 然后转化为已知概率的三个区间上进行求解 规范解答 1 由题意可知曲线关于直线x 3对称 故p x 4 p x 2 0 2 因此p 2 x 3 0 5 p x 2 0 5 0 2 0 3 2 x n 1 22 1 2 又p 3 x 5 p 3 x 1 p 3 x 5 p 3 x 5 p 1 x 3 p 1 4 x 1 4 p 1 2 x 1 2 p 2 x 2 p x 0 954 0 683 0 1355答案 1 0 3 2 0 1355 互动探究 在本例 2 中条件不变 求p x 5 的值 解析 p x 5 p x 3 1 p 1 4 x 1 4 1 p 2 x 2 1 0 954 0 023 反思 感悟 要求随机变量x在某一个区间内的概率 关键是借助于正态分布曲线的性质 把所求问题转化为已知概率的三个区间上求解 变式备选 设x n 5 1 求p 6 x 7 的值 解析 由已知 5 1 p 4 x 6 0 683 p 3 x 7 0 954 p 3 x 7 p 4 x 6 0 954 0 683 0 271 如图 由正态曲线的对称性可得p 3 x 4 p 6 x 7 p 6 x 7 0 1355 正态分布的应用 方法点睛 正态分布的实际应用在实际问题中进行概率 百分比计算时 关键是把正态分布的两个重要参数求出 然后确定三个区间 范围 x 2 x 2 3 x 3 与已知概率值进行联系求解 例3 设在一次数学考试中 某班学生的分数x服从n 110 202 且知满分150分 这个班的学生共54人 求这个班在这次数学考试中90分以上150分以下的人数和130分以上的人数 解题指南 要求90分以上150分以下的人数及130分以上的人数 即先求出p 90 x 150 和p x 130 而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式 然后利用对称性求解 规范解答 因为x n 110 202 所以 110 20 p 110 20130的概率为 1 0 683 0 1585 所以 x 90的概率为0 683 0 1585 0 8415 所以90分以上150分以下的人数为54 0 8415 45 人 130分以上的人数为54 0 1585 9 人 反思 感悟 解决此类问题 首先要确定 与 的值 然后把所求问题转化到已知概率的区间上来 在求概率时 要充分利用正态曲线的对称性这一性质 变式训练 已知电灯泡的使用寿命x n 1500 1002 单位 h 1 购买一个灯泡 求它的使用寿命大于1400小时的概率 2 这种灯泡中 使用寿命最长的占0 13 这部分灯泡的使用寿命为多少小时以上 解析 1 p x 1400 1 p x 1400 2 设这部分灯泡的使用寿命为x0小时以上 则x0 1500 则p x x0 0 13 p x 1500 x0 1500 p x 1500 x0 1500 1 0 26 0 9974 所以x0 1500 300 x0 1800 故这部分灯泡的使用寿命为1800小时以上 变式备选 某人乘车从a地到b地 所需时间x 分钟 服从正态分布n 30 100 求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率 解析 由 30 10 p x 0 683知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0 683 又由于p 2 x 2 0 954 所以此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0 954 0 683 0 271 由正态曲线关于直线x 30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0 1355 易错误区 正态分布中概率计算致误 典例 2011 湖北高考 已知随机变量 服从正态分布n 2 2 且p 4 0 8 则p 0 2 a 0 6 b 0 4 c 0 3 d 0 2 解题指南 正态曲线的对称轴是x 2 根据正态曲线可将p 0 2 用p 4 与p 2 表示 并且p 2 0 5 由此可求解 规范解答 选c 如图 正态分布的密度函数图象关于直线x 2对称 所以p 2 0 5 并且p 0 2 p 2 4 则p 0 2 p 4 p 2 0 8 0 5 0 3 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示与备考建议 1 2012 佛山模拟 在某项测量中 测量结果 服从正态分布n 2 2 0 若 在 0 2 内取值的概率为0 4 则 在 4 内取值的概率为 a 0 1 b 0 2 c 0 8 d 0 9 解析 选d 正态曲线关于直线x 2对称 则p 0 2 p 2 4