高考数学 2.11 变化率与导数、导数的计算课件 文 新人教A版 .ppt

第十一节变化率与导数 导数的计算 三年12考高考指数 1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 3 能根据导数定义求函数y c c为常数 y x y x2 y x3 y 的导数 4 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 1 导数的几何意义是考查重点 2 导数的运算是导数的基本内容 在高考中每年必考 一般不单独命题 常在考查导数应用的同时进行考查 3 题型以选择题和填空题为主 在解答题中会渗透导数的运算 1 导数的定义及几何意义 1 定义 函数在x0处的平均变化率当 x 0时的极限 即瞬时变化率 叫做函数y f x 在x x0处的导数 记作f x0 或y x x0 即 2 几何意义 函数y f x 在x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点p x0 y0 处的 切线的斜率 即时应用 1 思考 f x 与f x0 有何区别 提示 f x 是x的函数 f x0 只是f x 的一个函数值 2 曲线y x2在点 1 1 处的切线斜率是 解析 y 2x 曲线y x2在点 1 1 处的切线斜率是2 答案 2 3 函数f x lnx的图象在点 e f e 处的切线方程是 解析 f e x e 所求的切线方程为y f e f e x e 即y lne x e 化简得x ey 0 答案 x ey 0 2 基本初等函数的导数公式 1 c c为常数 2 x q 3 sinx 4 cosx 5 ex 6 ax a 0 7 lnx 8 logax a 0且a 1 0 x 1 cosx sinx ex axlna 即时应用 1 y x 5 则y 2 y 4x 则y 3 y log3x 则y 4 y 则y 答案 1 5x 6 2 4xln4 3 4 0 3 导数的运算法则若y f x y g x 的导数存在 则 1 f x g x 2 f x g x 3 g x 0 f x g x f x g x f x g x 即时应用 1 y x3 sinx 则y 2 y x4 x2 x 3 则y 3 y 2x2 3 3x 2 则y 4 f x 则f x 解析 1 y x3 sinx 3x2 cosx 2 y 4x3 2x 1 3 y 2x2 3 3x 2 2x2 3 3x 2 4x 3x 2 2x2 3 3 18x2 8x 9 或 y 6x3 4x2 9x 6 y 18x2 8x 9 4 f x 答案 1 3x2 cosx 2 4x3 2x 1 3 18x2 8x 9 4 导数的运算 方法点睛 求函数的导数的方法 1 总原则 先化简解析式 再求导 2 具体方法 连乘积的形式 先展开化为多项式形式 再求导 根式形式 先化为分数指数幂 再求导 复杂分式 通过分子上凑分母 化为简单分式的和 差 再求导 例1 1 2011 江西高考 若f x x2 2x 4lnx 则f x 0的解集为 a 0 b 1 0 2 c 2 d 1 0 2 求下列函数的导数 y x2sinx y 解题指南 1 首先求出f x 的导数 再解分式不等式 2 利用积的导数法则 利用商的导数法则或先化简分式再求导 规范解答 1 选c f x 2x 2 0 即 0 x 0 x 2 x 1 0 x 2 2 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 方法一 y 方法二 y y 1 即y 互动探究 把本例 2 中函数改为y 如何求导 解析 反思 感悟 准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则 根据所给函数解析式的特点 确定求导方法 变式备选 求下列函数的导数 1 y 2 y 3xex lnx e 解析 1 y y 2 y 3xexln 3e 导数的几何意义 方法点睛 导数几何意义的应用导数的几何意义是切点处切线的斜率 应用时主要体现在以下几个方面 1 已知切点a x0 f x0 求斜率k 即求该点处的导数值 k f x0 2 已知斜率k 求切点a x1 f x1 即解方程f x1 k 3 已知过某点m x1 f x1 不是切点 的切线斜率为k时 常需设出切点a x0 f x0 利用k 求解 提醒 审题时注意所给点是否是切点 例2 1 2011 湖南高考 曲线y 在点m 0 处的切线的斜率为 a b c d 2 2011 山东高考 曲线y x3 11在点p 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是 a 9 b 3 c 9 d 15 解题指南 利用导数的几何意义 1 可以直接求出切线斜率 2 先求出切线方程 得到与y轴交点的纵坐标 规范解答 1 选b y 所以 2 选c y 3x2 切线斜率为3 切线方程为y 3x 9 与y轴交点的纵坐标是9 互动探究 若把本例 2 中 在点p 1 12 处 改为 过点p 1 12 其他条件不变 求此时切线与y轴交点的纵坐标 解析 当p为切点时 由例题 2 知 切线与y轴交点的纵坐标为9 当p不是切点时 设切点坐标为 x0 y0 则即解得x0 或x0 1 舍去 切点为 切线方程为y 与y轴交点的纵坐标为 反思 感悟 1 要体会切线定义中的运动变化思想 由割线 切线 由两个不同的公共点无限接近 重合 切点 2 利用导数的几何意义求曲线的有关切线问题时 一定要抓住切点的多面性 在曲线上 在切线上 该点处的导数是切线斜率 变式备选 函数y x2 x 0 的图象在点 ak ak2 处的切线与x轴的交点的横坐标为ak 1 其中k n 若a1 16 则a1 a3 a5的值是 解析 由y x2 x 0 得y 2x 所以函数y x2 x 0 在点 ak ak2 处的切线方程为 y ak2 2ak x ak 当y 0时 解得x 所以ak 1 a1 a3 a5 16 4 1 21 答案 21 易错误区 导数几何意义应用的易错点 典例 2012 杭州模拟 若存在过点 1 0 的直线与曲线y x3和y ax2 9都相切 则a等于 a 1或 b 1或 c 或 d 或7 解题指南 因为点 1 0 不在曲线y x3上 所以应从设切点入手来求切线方程 再利用切线与曲线y ax2 9相切求a的值 规范解答 选a 设过 1 0 的直线与y x3相切于点 x0 x03 所以切线方程为y x03 3x02 x x0 即y 3x02x 2x03 又 1 0 在切线上 则x0 0或x0 当x0 0时 由y 0与y ax2 9相切可得a 当x0 时 由y 与y ax2 9相切可得a 1 所以选a 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 重庆高考 曲线y x3 3x2在点 1 2 处的切线方程为 a y 3x 1 b y 3x 5 c y 3x 5 d y 2x 解析 选a 由y 3x2 6x知 切线斜率为k 3 6 3 所以切线方程为y 2 3 x 1 即y 3x 1 2 2012 深圳模拟 已知f x lnx x 0 f x 的导数是f x 若a f 7 b f c f 则a b c的大小关系是 a cb a 3 2012 黔东南州模拟 函数f x mx3 m 1 x2 x 2 若f 1 18 则m a 4 b 3 c 5 d 6 解析 选b f x 3mx2 2 m 1 x 1 f 1 3m 2m 2 1 18 m 3 4 2012 合肥模拟 设曲线y 在点 1 1 处的切线与直线ax y 1 0垂直 则a 解析 y y y 在点 1 1 处的切线斜率k 1 又 该切线与ax y 1 0垂直 k a 1 a 1 答案 1 5 2012