（概率论与数理统计专业论文）有关非寿险赔付的若干精算模型及应用.pdf

山东大学博士学位论文 摘要 ：。；，。，一：二i；，；。，。一。，。：，：， 山东大学博士学位论文 、2 包含的分布多。如泊松分布、g a m m a 分布、负= 项分布、泊松逆高斯分布、h o f i n a m l 分布、广义负二项分布、泊松一t w 分布等都是g p s j t 分布类的特例。 3 易于进行模型拟舍g p s j l 分布类本身固有的一些性质使得我们可以迅速求得各个 参数的最大似然估计，若结合我开发的一个软件包，则可以轻而易举地得到模型的拟 合结果。 4 具有较为完备的理论。在我的论文中，我已对g p s j l 分布类的性质、算法的稳定性、 合成假设检验、与其他分布类的关系等问题给予了深入研究。 基于上面的原冈，我们认为用g p s ， 分布类来拟台赔付次数是合适的在这一尊最后， 我们以中国一家保险公司的实际赔付数据为例用此分布类对它进行了拟合，拟合效果令 人满意。 在第三章，通过对非参数混合泊松模型的分析，我们发现用此类模型建立无赔款优 待系统是不合适的。在这一章，我们首先给出了g p s j t 随机过程的定义，然后导出对应 的最优无赔款优待系统和零效用原理下的无赔款优待系统。最后我们将这一章的理论应 用到我国一家保险公司的实际赔付数据，给出了它的最优无赔款优待系统和零效用原理 下的无赔款优待系统 在第四章，我们根据递归方程和相对误差分析理论给出了无穷阶非同质递归方程的 概念及稳定性标准，并应用于g p s j l 分布类的三个递归方程对g p s j l 分布类的递归方 程而言，总共可分成三种情形：一种为强稳定，另一种为局部强稳定，第三种情形是不稳 定。我们给出了前两种情形的理论基础，而对于的三种情形，我们用m o n t ec a r l o 方法产 生模拟数据，通过计算机模拟的方法对这一情形进行讨论，试图发现其内在的规律性。 第五章给出了g p s j l 分布类的合成检验。对于g p s j l 分布类，当c = 0 时对应于s ，t 分布类，当c = 一1 2 时对应于泊松一逆高斯分布作为特例，这里也同时给出了泊松一 逆高斯分布、s j 分布类的合成检验最后，我们将这一合成假设检验方法应用于一个实 例。 在第六章，我们首先证明了h o f l n a n n 分布类、广义负二项分布分布类、泊松一t w e c d i ( j 分布类的等价性，它们都可以通过参数变换转化为g p s j l 分布类的同一子类。在此基础 上，我们给出了这一g p s 。，子类的合成假设检验，并将这一方法应用于一个实例 v i ； 山东大学博士学位论文 在机动车辆赔付次数模型的研究中，考虑分布的离散程度是必要的，它有助于选择 止确的统计模型。在第七章我们用非参数方法给出了反映离散程度的k a r lp c r l s o l ，散度 系数的区间估计，并将这一估计方法应用于我国保险公司的一组实际数据。 第二部分包括第八章和第九章，主要讨论了g p s 也分布类的有关问题在第八章， 我们首先把g p s 1 1 分布类推广到二维的情形： 设二维随机变量( ，m ) 的概率函数为， ， ，( n ，”j ) ，记k = n + m ，若( ，m ) 满 灶： r p ( 圳叫= ( 肭口p( ( 1 l ) lk g p s j l ( 1 ，c ，p ) 其中0 0 ，l e t h ( 0 1 = 0 h ( ) = 南 女，( k ) 一e l - - ，t ( s ) ，( k s ) ) ，k i f7 ( ) s a t i s f i e s m h ( n ) = p ( 一l + c ) h ( n 一1 ) ，n 2 w h mef p l lt h e n ，( ) l m h m g , xt og p s j tc l a s s ，i e ，( ) g p s 。 ( a ，c ，p ) l ，2 v c 山东大学博士学位论文 t h eg p s tt ( ：l a s si n c l u d e 。s , c l o l l l ew e l l k l l o w l ld i s t r i b u t i o n s s u c ha sp o i s s o l l t w e e d i e d i s t li b t l t i o l li l lt h i sc h a t ) t e r ，t i l e1 ) r 0 1 ) e r t i e s ，c o m p u t a t i o n a lt e c h n i q u e sm w e l l8 2 it h em l e so f g p s t ic t a s 8a r ep r e s e n t e d ，c o m p u t a t i o n dt e c h n i q u e sf o rt h ea s s o c i a t e dc o l l l p o l l l l dt o t a lc f a i n l s d i sl l i b u t ，i o ni nt h e ) r e s e n c eo fp o l i c ym o d i f i c a t i o n sm et h e nd e r i v e dt l i ( ! g p s t i ( ：b l u si ) o s s e n , n h f ，v ，r a le x c e l l e n tp r o l i e r t i e s ： t i ii ) l t ) 、7 i d ( - sav e r yg o o df i t ；t oa u t o m o b i l ei n s u r a n c ed a t aa sf a r ik n o w 0 1 1t h eg o o ( i i ( ! s s - ( “一f i t ( 1i t , e li o no fc h i s ( 1 l l m es t a t i s t i c s i ti ss u p e r i o rt oo t h e lc l a s s e s 2 i ti n c l u d e sal a l g ea l i l o l l l l to fd i s t r i b u t i o n s ，s l m h p o i s s o n ，n e g a t i w 、, b i n o n | i a l ，g e o n l e t l i c d i s l l i b u l ，j c j l l n e g a t i v eb i n o m i a l h o f n l a n n f i l eg e n e r a l i z + x ln e g a t i v ei i i n o l l f i a l p o i s s l i a i ，t o i i s e t h i s ( ：l ；m sh i m o d e l l i n g a u t o l l l 0 1 ) i l e i l i s n l i l i ( x ! ( 1 a 1 “ h i ( j h a l ) t e r3 w ef i n di ti l l l p r o t i e rt o ( ；o l l m , r u c tt h eo l l t i i n a lb m sb ye n l l l l o y i n gt i m1 1 1 1 1 1 1 ，r l ib l i l l e t e l m i x e dp o i s s o nm o d e l t om o d e lad a t as e to fac h i n e s ei n , s l l l a l l ( ；ec 0 1 t ) o l a t i o nw e c m i ) l o yt i mg p s , ic l l m s t oe o l l s t r u c , t h ep a l a l l l e t e rm i x e dp o i s s o nd i s t r i l l u t i o l lb a s e de nt h e d e f i n i t i o no fg p s js t o c h a s | , k ：p r o c e s s f i l l l h e r m o r e ，w ey i e l dt h ec o r r e s t ) o n d i n go p t i m a lb m s a l i ( b m sl l i l d e lz e l ( ) l i t | l i l yp r e m i u n l 1 1 lc i i a l ) t e r4 b & s e d0 1 1l e ( z l l r r e l l ( ；ee q u a t i o nt h e o r ya n dr e l a t i v ee r r o ra n a l y s i s t h ec o l 1 l 】t a l l dc r i t e r i o nt b rt h es t a l l | l | t yo fa l lh l f i n i t eo r d e rn o n h o m o g e n e o u si t ! c h i s i o na l ec l a ii f i e d s e v ( u a lf h 【so fg p s j il ：1 a s sl - e ( ：u r l e l l c e ( x l l l a t i o l l ss u ep r o v e dt o1 ) es t l o n g l ys t a l f l eh ii ! v l l l l l a li n g t h e i l1 1 0 1 1 一n c g a ti r es o l u t i o n s o l i l eo t h e lc i l h e so ft l l c s cr e e l l r l e l l ( ；ee q u a l ，i o n sm up r o v e dt ol m l o c a l l ys i , i o l i gs t a l ) l e f o rt l l er e s tc c s i l l u s t , a t i v en u m e r i c a lf i g u r e sa l 。eg i v e nt os h o wk h e i l t a l ) i l i t i e s x i ； 山东大学博士学位论文 、 c l u q ) t m5t n e s e l l t s t h ec o m l ) o s i t eh y p o t h e s i st e s ta b o u tg p s j l ( ：b m s t h ec o u l l ) o s i 一e h y l m t h e s i st e s t sa b o u tt h ep o i s s o n i n v m s og a u s s i a nd i s t r i b u t i o na n ds j ( ：l a s sa r ea l s od i s c u s s e d m le a tl a s tw et r yt h i st e s to nad a t as e t t b ri l h l s t r a t i v e1 ) l l r t ) o s o u i nc h a p t e r6 w ef i r s tp r o v et h ee q u i v a l e n c eo ft h eh o f m a n nd i s t r i l m t i o n s t l mg e n e r a l i z ( x l j l ( ! g a t i v ei ) i n o m i a ld i s t r i l m t i o n s ，a n dp o i s s o n t w e e d i ed i s t r i b u t i o n s ，w h i c hi sa s u h c l a s so fg p s 一1 c l a s s b + l s e d0 1 1t h i sc o n c l u s i o n ，w ep r e s e n tt h ec o m p o s i t et e s to ft i f f ss u b c l a s sa tl a s t w ea p p l y t h i sn m o u ) do fc l n n p o s i t et e s tt oad a t as e t i 】“l cn l ，u ( 1 yo ft h et i e q u e n c yo f ( ： a i m s i l i si i ( ! c e s s a r yt ol n e l q u l 。ei l l sv a r i & j a ：e ，w h i c hh e l l ) st o h h t ，a p l a o p li + d es t a t i s t i c a lm o d e lc h a l ) t c r7i n e s e n t st h ei n t e r v a le s l i m a t , o l ( ) fk a r lp e r u s l t l l h cr m l i i ( ：i t ! n t o fv m l a n c eu s i n g1 1 0 1 1 p a r a l i l e t e jm e t h o d ，g i v e nt h eo b s e r v e dc l a i mf r e q u e n l ：i e smf i n i = 1 t t o ma i m r f f o l i ow i t htp o l i c i e sa tl m s tw et r yt h i st e s t0 1 11 1 d a t as e to fa c h i | m s e i n s ms l i i c ( ! c o l i , ( , 1 1 1 1 i o nt o ri l l u s t r a t i v ep u r p o s e s i np a t - li i t l l eg p s j 2 ( ：b m si st h o l o u g h l ys t u d i e db ye x t e n d i n gt h eg p s j i ：l s i c l y i i i c + i i i so te x t e n d i n gt h eu n i v a r i a l ，ec i h s et ot h eb i v a r i a t ec a s e c h a p t e r8p r e s e n t si t sf u n d a a n e n b d o p ( ! it i e s m a r g i l m ld i s t r i b u t i o n s ，m l e s ，a n ds oo n w ea l s os h o wh o wt oe v a l u a t et h e1 ) ! v m i a u ! a g g l ( ! g a t e ( ：l a i m s ( 1 i s t l i l m t i l m t h eg p s j 2c l , a s sh m ss e v e r a li n t e r e s t i n gt ) 1 0 p e l t i e s ：f i l s t ，n a u t h o li z e sa ( 1 l a x i l i l u l ( 1l i k e l i h o o ( 1e s t i m a t ei nat ( 1 l i v a r i a t es e t t i n g s e c o n d i tg i v e nas t a l 1 1 1 a l g ( n i t h mr ) lt i me v a h i a t i o no f t h eb i v a l l a t ea g g r e g a t ec l a i m sd i s t r i l m t i o n t h i l d i te o n l l ) l i s e s 1 11 ；l 。g a l l l ( ) l ( 1j i o fw e l l k n o w nd i s t r i b u t i o n s f o u r t h ，i th a ss e v e r a ln a t u r a la p t l l i e a t i o ne g i n l - e i l l s u ( i t ( 1 ( ：e c h a l ) t e l9l n - e s ( m tt h ec o n a l ) o s i t eh y t l o t h e s i st e s ta b o u tg p s j 2c l a s s f o rt h i st e s t i tc o n s i s t h rt w os t e p s t h e ：( ) l l ( 1s t e pi sj u s ts i m i l a rt ot h eg p s 。，lc o m p o s i t et e s t 1 y eo n l yd i s c u s st l s i i , s ls l e ph ( n ( 、a h f i n t h i ss 1 e p t h e t e s t i n gs t a t i s t i ca n d i t sa l , p r o x i n l a t i l l gd i s t r i b u t i o na r eg i v e n , m s ow ! t , 1 vt h i s t e s to nad a l as e t f o ri l l u s t r a ! 一i r ep u r p o s e s i np a r t1 1 1 w ea r ep a r t i c u l a l l yi n t m e s t e di nm o d e l l i n gt h et a i l so f l o s ss e v e l i t y ( 1 i s h i l ) l l t k n l s t h i si no fp a r t i c u l a rr e l e v a n c ei nr e i n s u r a n c ei fw ea r er e q u i r e dt oc h o o s eo ri a i c eah i g h e x e ! s n 1 l v mi nt h i ss i t u a t i o ni t i xe s s e n t i a lt of i n dag o o ds t a t i s t i c a lm o d e lf o rt h el a r g e s t0 1 ) s e l 。r e d x i i i 山东大学博士学位论文 h i s t ( a i c ml o s s e st ot h i sa i l n ，i nc h a p t e r1 0w ep a ya t t e n t i o nt ot h ep e a k s - o v e r - t h r e s h o l d a p p r o a c h ( p o t ) o u rm o d e l l i n gi sb a s e d0 1 1e x t r e m ev a h mt h e o r y ( e v t ) ，“s n n p l es i m u l a t i o n s t u d yi si ) p i f o , l n e ( 1t ov c m i d a t et h em e t h o df o , e s t i m a t i n gc x c c s s - o f - l o s si n s u r a n c ep r e m i u m s w ei n o v i d ea l le x t ( m d e dw o r k sw h e i ew et r yt op o i n to a t t h ep i t f a l l sa n dl i m i t a t i o n so ft h e l i m t h o d sa sw e l la st h e i rc o n s i d e r a b l es t r e n g t h s f u r t h e rr e f e r e n c e sa r eg i v e na tt h eb e g i n n i n go fe a c hc h a p t e r k e yw o r d s ：p o i s s o n t w e e d i ed i s t r i b u t i o n ；g p s j ic l a s s ；b o n u s m a l u ss y s t e m ；s t a b i l i t y c o m p o s i t et c s i ；g p s j 2c h e s s ；p o tm e t h o d 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 f 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：擗冀师签名_ 蹲日期：型 山东大学博士学位论文 符号说明 舵：全体实数； 咿：，n 维实数全体； m 一：几乎处处； i id ：独立同分布； m “川i ：i i i i , x i ，i a i j i ； n l ：全体非负整数； n l + ：n 1 一 0 ； n 。：i l l , 为全体非负整数全体； m ：n 。一( o ) m x l ； ( t ( 一1 ) ( n i + 1 ) ； x ，：用来表示第i 次赔付的赔付量； ：i j 来表示赔付次数的随机变量； 田( ) ：随机变量的母函数； ，( ，z ) = p l ( = n ) ：计数随机变量的概率函数； x ，。“x i ，孔，x 。的第r 个顺序统计量； 啊肌，m ：收自随机变撼、样本容量为t 的一组样本； x j 托：取自随机变量x 、样本容量为，a 的一组样本； e s ，( p ) ：参数为c 、p 的e s j 函数类，具体定义见第1 3 页 丁 ( ) ：计数函数7 。( ) 的几何变换，具体定义见第1 3 页和第8 3 页； r j ”一7 1 t ”( ，) ：泊松一q w l ! ! d ic 分布类，具体定义见第3 页。 g p s j l ( a 仁p ) ：一维g p s ，分布类，具体定义见第2 2 页； g p s h ( 0 1 ， ，c ，p ) ：二维g p s j 分布类，具体定义见第9 i ) 页； e d p ( f ) ：计数函数，( ) 的e d p 变换，具体定义见第2 0 页和第8 5 页； e d p ( h a ) ：计数函数7 ( ) 的i e d p 变换，具体定义见第2 l 页和第8 5 页。 第一部分 一维赔付次数模型 第一章泊松一t w e e d i e 分布类 1 1 简介 我们假定实际个体赔付模型可由一个强度为a 的泊松过程所决定。当考虑集体赔付 模型时，我们主要考虑其中的任意一个体实际赔付次数的无条件分布。为了解决这个问 题，我们最感兴趣的是关于个体风险过程和个体期望风险e ( n ) 分布的信息。我们用随 机变量a 来表示个体期望风险，并假定其分布函数为v ( ) ，此时函数u ( a ) 被称为结构 函数并常常用来刻画在给定保单集合内各期望损失问的差异到目前为止，已有多种不 同类型的矿( a ) 被用来拟合实际赔付次数。 赔付次数的经典模型是混合泊松分布。一种最常用的情形是j h j 伽马分布作为混合分 布，这时索赔次数的无条件分布就是负二项分布有时也用逆高斯作为混合分布从而得 到泊忪一逆高斯分布。鉴于有许多实际数据当用这两种分布进行拟合时效果很好，我们 在这里主要考虑在结构函数u ( a ) 中包括伽马分布和逆高斯分布的分布族。这样的分布族 是很多的，其中最早的是广义逆高斯分布族，见w i l l m o t ( 1 9 8 6 ，1 9 8 7 ) 、b e s s o n p a r t r a t ( 1 9 9 0 ) 、l c m a i r e ( 1 9 9 1 ) ，对应的无条件分布族称为s i c h e l 分布，见s i c h c l ( 1 9 7 i ) 。 广义逆高斯分布族是一个三参数的指数族，其中概率密度 ，( z ) o ( z n 一。c x l ) f 一卢m 一1 1 、 “， 作为广义逆高斯分布族几种特殊情形，当7 = 0 时是伽马分布，当cv = 一；时尾逆高斯 分布。广义逆高斯分布有许多好的性质，详见1 0 r g e n s e n ( 1 9 8 7 ) ；它的缺点在于一些显式 的表达式需要用到第三类修正的b e s s e l 函数，这使得许多精算师对此望而却步。g m i m , ( 1 9 9 2 ) 提出了广义伽马分布族，并用来作为混合分布从而导出所谓的广义负二项分布。 s c o l l n i k ( 1 9 9 8 ) 利用b a y e s i a n 方法对截尾广义泊松分布进行了分析。 在本文中，我们以t w c e d i c 作为混合分布从而得到泊松t w e e d i e 分布族，并利用此 分布族对两组数据进行了拟合，效果比较理想。 ? 山东大学博士学位论文 1 2 预备知识 首先我们来回顾一下单变量指数散度模型e d ( o ，) ，具体见。 o r g e n s e n ( 1 9 8 7 ) 。 设l ，为具有分布e d ( o ：咖) 的随机变量，即对应于瞬上的特定的一一有限测度，它的 密度函数为 f ( a ) = e x l ) 半堋纠) ( 1 z - ) 其中b ( ) 和一( ) 足某些特定的函数。 如果我们记r ( = ( 日) ，那么，= r ( 口) 是( 1 2 1 ) 的数学期望，而d 2 = 曲称为离散 参数，并且v a r - ( y ) = 0 - 2 t m t ) ，其中 ( f t ) = r 7 ( t - - i ( p ) ) 是方差函数 t w c e d i c 分布族作为指数散度模型中的一类，它由方差函数t ，( ，z ) = ，f 所完全确定， 其中取值于卜。g ，o juf 1 + 。) ，一般用，1 。) 来表示。t w e e d i e 分布族比较重要的 几种特例是l = 0 ，l 、2 、3 ，分别对应于正态分布、泊松分布( 此时= 1 ) 、伽马分布和逆 高斯分布。在本文中，我们主要考虑( 1 ，+ 。) 的情形 对于t w e e d ic ：模型，其卷积公式有下面的形式： 若z l 玩独立并且五t 瞰( 口，也) ，那么4 = z 1 + + z 。的分布满足 z + 一t w ( 0 ，机) 其中咖；1 = 咖i 1 + - + 咖i 1 由卷积的可加性我们可得到一个随机过程z ( t ) ，它具有独立甲稳增量且满足z ( ( j ) = 0 ，其增量z ( t - 一】_ z ( t ) 具有分布丁。( 口，；) 。在这里我们考虑连续时问情况下的t w “t l i c 分布族，所以此模型是无穷可分的并且支撑集为峨。这样我们就得到了一个连续时问 过程f w c m d i e 过程，实际上它是一个l e v y 过程有关t w e e d i e 过程的文献最早见j o t g l ：l l s f l l l ( 1 9 9 2 ) 、l e e & w h i t m o r e ( 1 9 9 3 ) 。 1 3 泊松- t w e e d i e 模型 下面我们考虑计数随机变量，代表在特定时间区间内一定数目保单的赔付次数。 3 山东大学博士学位论文 具体的模型定义为 这里结构函数u ( a ) = t 。( o ，毋) 随机变量的概率母函数，g ( = ) = e ( = ”) ，可用a 的矩母函数 f ( ，) 或蚓r t 纠 表示，即 g ( ；) = 四【e ( z 蚓= 日p “) = m ( z 一1 ) ( _ j ) 显然p k = p i ( = k ) 是v ( z ) 的幂级数展开式中z 。的系数。 冈为 m ( f 。；0 ，) = e x p 咖一1 【b ( o + 7 。) 一b ( p ) 】) ( i ： i ) 所以的概率母函数 g ( z ；0 ，咖) = m ( z 一1 ；0 ，) = e x p 一1f b ( o 一毋+ = ) 一b ( p ) 】( 1 ：；j ) 并且 吣扣击一) ) 。 ( 1 _ 【j j 其中 c = 善 ”， 在表1 1 中我们列出了c 和的关系 表1 1 ：f 和( 的关系 ( 1 ，2 ) 2 ，+ 。) 4 ( 一。，o ) 0 ，1 ) op 钟 以 柚 “ = 研 竹 a ，fillif、_iii、 山东大学博士学位论文 n i i - ln 的头三阶矩是 e ( n ) = e 【e ( n i a ) = e ( a ) = n ”= ” v m ( ) = v a t ( a ) + e ( a ) = 曲n 卜2 + a 一1 e ( n 一”) 3 = e ( a 一肛) 3 + 3 v a t ( a ) + 四( a ) = 扩一：+ 3 如。一2 + a 一 “3 8 1 ( i39 ) ( 13l 0 其中h = 口( 1 一o ) 既然a 的分布是无穷可分的，那么n 的分布是复合泊松分布，即 g ( z ；0 ，咖) = e x p a 曲( z ) 一1 1 ( 1 3 j 1 ) e 中 是泊松分布的强度参数，( z ) 是某计数随机变量的概率母函数。a 的几种特定的 形式如下表1 3 所示： 垂! ：! ! i 皂垫= ! ! ! ! ! 堡坌查耋竣煎壅堡鱼塑 情形 u ( z 1 窘垃l - - p - e c = 0 一十“l o g p 甚嚷笋 ( ) c l 错一警 其中p = i 与，n = ( p 一十) ( 1 一 ) ， g = l p 我们可以用下面的式子来验证上面的公式( 1 38 ) 、( 1 3 9 ) 和( 1 3 1 0 ) e ( n ) = a g ( 1 )( 13 j 2 ) v a t ( v ) = 州g n ( 1 ) + g ，( 1 ) 】 ( 13 j 3 ) e ( n p ) 3 = a ”( 1 ) + 3 9 ”( 1 ) + g ( 1 ) ( 131 4 】 因此随机变量的慨率可以利用p a n , i e r 的方法来递归求得：令g 表示对应于口( ：】 的概率，即 5 山东大学博士学位论文 那么pn = c 。以及 p = ；咖z 协“= l ，2 ，3 州 这样通过将表1 2 中的g ( z ) 展开，我们可以得到g k 的显式表达式t 舻苦r ：一k 当i _ = 【l ( 1 6 ) 口女2 而i 女9 。，当“” 埔j 珊一面q - ，当c = o 【1 3 ，1 7 ) 舻去( 弦扩，当。 c ，( 1 a 1 8 ， 它们分别足负二项分布( c 【l ，简称n b ) 、l o g a r i t h m i c 分布( c = ( 】) 、和扩展截尾负二 项分布( e x t e n d e dt i u n c a t e dn e g a t i v ed i s t r i b u l i o l i ，简称e t n b ) ( 0 c 1 ) 的概率。 注1 1 若c = ( j ，贝l i 服从负二项分布，从而m 作为e ( z n ) = ( 蒜) 1 肺展开式巾 的系数可宦捶由下式得到： p k =( ( ；) 盘= 0 i 2 若c = j 1 则n 服从泊松一逆高斯分布。此时我们可得到比r j 3j 5 ，式更简单的递归 算法： 因为 l o g g ( z ；目咖) = 6 ( p 一曲+ z ) 一b ( 0 ) 所以 g r ( 。：口) = g ( z ；日，咖) f 2 ( p 一曲z ) 】一 g ，( 。：日，) ：g ( z ；0 ，) 咖【2 ( 一口一z ) 】一 + g ( z ；o ，) 【2 ( 咖一目一廿2 ) 】一1 从而有 【2 ( 咖一日) 一2 咖z g ”( z ：p 咖) = g ( z ；8 ，毋) + g z ：p 毋) 6 m z 9 = z 口 山东大学博士学位论文 按= 的幂展开上面方程并比较z ”一2 的系数。有 2 ( 咖0 ) ( k 1 ) p = ( k 1 ) ( 2 k 1 ) p k l + p 女一2( 1 ：1 1 9 这是v i i t 7 n o t ( 1 9 8 6 ) 中递归式似鄙的特殊形式 1 4从b a y e s i a n 方法角度进行分析 混台泊松分布t g - l l 二( 从b a y e s i a n 方法角度进行分析假定赔付次数过程 ( ) t f ) ) 是加权的泊松过程，其强度参数a 是一个随机变量，先验分布函数( ，( a ) = p i ( a a ) 令 m ( r ) = e ”。d u ( z ) 代表a 的矩母函数，对于给定的观测值( ) = 地a 的后验分布为 p rc asa l e t ，= n ，= ；糍 冈此其后验矩母函数为 圳= 瑶j d 鬻ed u = 桨并t ( i t z 。) z “ 【2 j、“卜j 其中”( ”( ，) 表示m ( r ) 的阶导数 如果没有赔付，即n ( t ) = 0 ，那么 e ( 1 i n ( 归。) = 筹训，扣( 目加协) - 6 ”删 此时a 的后验分布依然是t